考虑周期折减的结构弹性时程分析调整方法

吴克川 陶忠 潘文 兰香 余文正 张龙飞

摘要：針对结构弹性时程分析时无法考虑周期折减的问题展开研究，通过对比结构时程分析的过程中，地震波的选取是否考虑周期折减的差异，提出采用增大系数放大时程分析法输入地震波有效峰值加速度以及地震响应；考虑弹性时程分析过程中，周期折减对结构地震作用的增大效应。理论分析增大系数取值的影响因素，并基于单自由度体系对比两种调整方法的效果及差异，采用实际算例以验证所提出弹性时程分析中考虑周期折减调整方法的有效性。结果表明：增大系数的取值与周期折减系数、结构自振周期及场地特征周期等因素有关;对于单自由度体系，两种调整方法具有完全相同的调整效果;按文章提出方法考虑周期折减的算例结构，弹性时程分析所得各楼层地震剪力及层间位移角与考虑周期折减的反应谱（CQC）计算结果均较为接近。

关键词：弹性时程分析; 周期折减; 增大系数; 反应谱; 地震波调整

中图分类号： TU352.1;P315.97      文献标志码：A   文章编号： 1000-0844（2024）03-0548-10

DOI：10.20000/j.1000-0844.20220529002

Adjustment method for elastic time-history analysis of structures considering period reduction

WU Kechuan1， TAO Zhong2， PAN Wen2， LAN Xiang1， YU Wenzheng1， ZHANG Longfei1

（1. College of Architecture and Civil Engineering， Kunming University， Kunming 650214， Yunnan， China;2. Institute of Civil Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， Yunnan， China）

Abstract： The problem that the period reduction cannot be considered in a structural time-history analysis was studied. Structural time-history analyses considering and neglecting the period reduction were compared， and then the amplification coefficient was proposed to amplify the effective peak acceleration of the input ground motion and the seismic response in time-history analysis to consider the amplification effect of period reduction on the structural seismic response in elastic time-history analysis. The influences of involved parameters on the amplification coefficient were studied theoretically. Then， the adjustment effects and differences between the two adjustment methods were compared on the basis of the single-degree-of-freedom system. Moreover， an engineering example was used to verify the effectiveness of the proposed methods considering period reduction in the elastic time-history analysis. The results show that the value of the amplification coefficient is related to the period reduction coefficient， the natural vibration period of the structure， and the characteristic period of the site. For the single-degree-of-freedom system， the two adjustment methods have identical adjustment effects. The seismic shear force and story drift ratio of each floor of the example structure obtained using the elastic time-history analysis are near those calculated by the response spectrum considering the period reduction.

Keywords：elastic time-history analysis; period reduction; amplification coefficient; response spectrum; seismic wave adjustment

0 引言

振型分解反应谱法［1］目前广泛应用于建筑结构地震作用的计算，该方法是一种基于弹性理论的“伪动力”方法。时程分析法［2］可计算结构在任一时刻的地震反应，并能对结构构件的损伤过程进行详细的数值模拟。许多地震多发国家及地区已将时程分析法纳入抗震设计规范，并将该方法作为不规则复杂结构、超限高层结构以及特殊重要结构静力计算的必要补充［3］。自1989年起，我国《建筑抗震设计规范（GBJ 11—1989）》［4］开始将时程分析法作为振型分解反应谱法的补充计算手段，并对时程分析输入地震波的选取要求作出了明确规定：弹性时程分析时，选取的每条时程曲线计算得到的结构基底剪力不应小于振型分解反应谱法计算结果的65％，各时程曲线计算得到的结构基底剪力的平均值不应小于振型分解反应谱法计算结果的80％。

由于当前国内的主流结构设计软件PKPM及YJK等在建立结构计算模型时并未真实建立非承重墙单元，而是通过折减结构基本自振周期的方式考虑其刚度贡献，即采用振型分解反应谱法计算出的地震力为结构周期折减后的地震力；且目前的商用结构设计和分析软件（SAP2000、ETABS、Midas等）在弹性时程分析的过程中，由于时程分析自身算法的原因而无法考虑结构周期折减这一因素［5-6］，并且规范要求用于时程分析的地震波计算所得基底剪力与反应谱计算得到的基底剪力需满足相应的误差要求，两者间存在并非同一自振周期对应地震动进行比较的矛盾，即在选取地震波的过程中是否考虑目标反应谱周期折减的问题。

目前，国内外关于弹性时程分析过程中如何考虑结构周期折减的研究较少［7-8］，已有的少数研究也仅指出采用时程分析法计算结构地震作用效应时，应当考虑非承重墙的刚度贡献［9］，但并未给出具体的考虑周期折减的方法。基于此，本文对选波过程中是否考虑目标反应谱周期折减的差异进行了对比，基于对比分析结果给出考虑相应周期折减的结构弹性时程分析调整方法，并采用工程案例验证分析所提出调整方法的有效性，以供工程设计参考。

1 目标反应谱周期是否折减的差异

1.1 目标反应谱考虑周期折减

在选取地震波的过程中，当考虑结构非承重墙的刚度贡献，即考虑结构周期折减系数的影响时，由前文分析可知，由于基于地震波的弹性时程分析法无法考虑该因素，因此，选波时将结构折减后周期T1对应的规范反应谱地震影响系数α1［图1（a）中C点］与结构折减前周期T0对应的地震波反应谱地震影响系数α0［图1（a）中B点］进行比较，当α1与α0的取值较为接近时，则可通过比较结构的基底剪力得到满足规范要求的地震波。但此时注意到，地震波反应谱曲线相较于规范反应谱曲线有向右“漂移”的趋势，这是因为在比较地震影响系数时，采用不同周期点（周期折减前与折减后）对应值进行比较，这将导致所选取的地震波与规范反应谱的频谱成分有较大差异［如图1（a）］，即所选取的地震波虽然计算得到的基底剪力与振型分解反应谱法的结果接近，但并不符合地震波选取的本质条件，也就是说，考虑目标反应谱周期折减后选取得到的地震波在场地类别以及地震分组等方面并不能很好地与规范要求进行匹配。图1为按照上述方法选取的地震波对应的加速度反应谱、位移反应谱、速度反应谱与相应的规范反应谱曲线的对比。从图1中可以看出，各类谱曲线与规范反应谱均有较大的差异，这也在一定程度上说明考虑目标反应谱周期折减的选波方法虽能较好地反映非承重墙对结构地震作用的增大效应，但其合理性也有待商榷［10］。

1.2 目标反应谱不考虑周期折减

如果在选取地震波的过程中不考虑结构周期折减系数的影响，即地震影响系数采用同一周期（T0）对应值进行比较，此时选取得到的地震波反应谱曲线与规范反应谱曲线拟合程度较高，如图2所示。从图中也不难看出，由于未对结构自振周期进行折减，采用上述方法选取的地震波进行结构时程分析时，将低估结构的地震需求，从而使结构在地震作用下的各项性能指标验算结果不够可靠［11］，这主要是由于结构自振周期的折减与否对地震影响系数的取值有较大的影响。因此，按不考虑目标反应谱周期折减的方法选择的地震波虽在频谱特性及有效峰值等方面能较好地与规范反应谱进行匹配，但并不能真实地估计和考虑非承重墙对结构地震需求的增大作用。

2 考虑周期折减的时程分析调整方法

通过前文结构时程分析选波过程中是否考虑周期折减的差异性对比容易看出，既要满足《建筑抗震设计规范（GB 50011—2010）》（简称《抗规》）的选波要求，又要能够考虑填充墙对结构地震需求的影响，可通过选取与目标反应谱频谱特性相匹配的地震波，并采用相应的方法合理调整地震波输入强度或调整时程分析输出结果。基于该原则，提出调整地震波有效峰值加速度及调整时程分析计算所得地震反应力的方法来考虑周期折减对结构抗震需求的增大作用，即：（1）根据周期折减系数的取值调整输入地震波的有效峰值加速度;（2）根据周期折减系数的取值调整弹性时程分析计算结果。周期折减系数的具体取值可根据结构所采用的结构体系及填充墙类型（参考文献［12-14］）进行确定。

2.1 调整地震波有效峰值加速度（方法1）

结构自振周期的折减程度将直接影响反应谱曲线的地震影响系数取值［15］，也即影响结构地震反应力计算结果的大小。为考虑周期折减对结构地震需求的增大作用，文中建议在时程分析过程中，根据周期折减系数R的取值调整频谱特性与目标反应谱匹配的地震波的有效峰值加速度，即將《抗规》中规定的时程分析有效峰值加速度EPA乘以增大系数β后再进行弹性时程分析。不难看出，β取值的合理性决定着调整结果的合理性。本文建议β的取值为目标反应谱折减后周期T1对应地震影响系数α1与折减前周期T0对应地震影响系数α0之比：

β=α1α0 （1）

将《抗规》中各周期范围内地震影响系数计算公式代入式（1）可得出：

β=1，T1∈［0.1，Tg］，T0∈［0.1，Tg］T0Tgγ，T1∈［0.1，Tg］，T0∈［Tg，5Tg］1Rγ，T1∈［Tg，5Tg］，T0∈［Tg，5Tg］（Tg）γη2（R·T0）γ［η20.2γ-η1（T0-5Tg）］，T1∈［Tg，5Tg］，T0∈［5Tg，6］［η20.2γ-η1（RT0-5Tg）］［η20.2γ-η1（T0-5Tg）］，T1∈［5Tg，6］，T0∈［5Tg，6］ （2）

式中：Tg为结构所在场地特征周期;η1为规范反应谱下降斜率调整系数;η2为阻尼调整系数;γ为衰减指数。

图3为式（2）中结构折减前周期与折减后周期处于不同范围时，增大系数β与周期折减系数R的关系曲线。从图3中可以看出：（1）当周期折减系数R取值相同的情况下，T0及T1处于［Tg，5Tg］时，增大系数β取得最大值;（2）当T1处于［0.1，Tg］，T0处于［0.1，Tg］或处于［Tg，5Tg］时，增大系数β的取值不随折减系数R的变化而改变，为常数值;（3）当T0及T1处于［Tg，6］时，增大系数β的取值随折减系数R的增加而减小。

图4为式（2）中周期折减系数R取定值时，增大系数β随结构自振周期T0的变化关系。从图中可以看出：（1）当T0及T1处于［0.1，Tg］或T0及T1处于［Tg，5Tg］时，增大系数β的取值不随结构自振周期的变化而改变;（2）当T0处于［Tg，5Tg］，T1处于［0.1，Tg］或T0及T1处于［5Tg，6］时，增大系数β的取值随结构自振周期的增加而增大;（3）当T0处于［5Tg，6］，T1处于［Tg，5Tg］时，增大系数β的取值随结构自振周期的增加而减小。

值得注意的是，对于多自由度结构体系，上述增大系数β应考虑结构满足有效参与质量系数所要求的前n阶振型所对应自振周期的影响，即应考虑结构各主要周期的折减对增大系数β的贡献，且应考虑各振型的参与程度对增大系数β的取值影响。参考结构振型组合方法［16-17］，多自由度体系的等效增大系数βe建议按下式计算：

βe=∑ni=1γiγtα1iα0i2 （3）

式中：α1i ，α0i分别为结构第i阶折减后周期与折减前周期对应地震影响系数（i=1～n，γi为结构第i阶振型的参与系数）；γt为结构前n阶振型的总参与系数。

2.2 直接调整时程分析计算结果（方法2）

文中建议的另一种考虑周期折减对结构地震需求增大作用的方法为：根据结构各阶周期对应计算所得增大系数βi调整弹性时程分析中相应振型的加速度响应，即将弹性时程分析计算所得结构各阶振型地震力乘以相应的增大系数βi，列于式（4），从而实现调整结构时程分析中各地震波作用下结构的总地震力。

（Fij）r=βiFij （4）

式中：（Fij）r为考虑周期折减调整后的结构第i振型第j层地震力;Fij为未经调整的结构弹性时程分析计算所得结构第i振型第j层地震力。

3 调整方法的对比

3.1 对比分析概况

上述两种考虑自振周期折减对结构地震需求增大效应的方法有所差异：方法1通过调整弹性时程分析输入地震波有效峰值加速度的方式间接增大结构的地震力;方法2通过直接调整弹性时程分析计算所得结构各阶振型加速度的方式增大结构的地震力。两调整方法的原理不尽相同，因此，对两方法在不同周期折减系数取值下的调整结果进行对比分析。为便于揭示一般性规律，采用具有不同自振周期的单自由度体系（SDOF）对比两调整方法的差异，各单自由度结构体系基本参数如表1所列。基于MATLAB编制单自由度体系弹性时程分析程序［18］，各体系分别选择符合规范要求的7条地震波（5条天然波+2条人工波）进行地震力计算，各体系所选地震波反应谱曲线与目标反应谱曲线的对比如图5所示。从图5中可以看出，各地震波反应谱曲线频谱特性与目标反应谱频谱特性匹配程度较高，可用于验证两种调整方法的差异。

3.2 对比结果分析

图6为单自由度体系SODF1、SODF2、SODF3在周期折减系数R不同取值下，增大系数β的分布情况。从图6中可以看出，增大系数β的取值与周期折减系数、结构基本自振周期及场地特征周期等因素有关，其取值的变化规律与前文2.1节分析结果一致。

图7为单自由度体系SODF1、SODF2、SODF3在不同周期折减系数取值下，采用调整方法1和调整方法2得到的弹性时程分析地震剪力V（地震剪力取各地震波计算结果的平均值）与考虑周期折减的反应谱计算结果的对比。从图中可以看出：（1）对于各单自由度体系，两调整方法计算得到的地震剪力完全一致，即采用增大地震波有效峰值加速度的方法和直接放大时程分析计算所得振型地震力的方法具有相同的调整结果;（2）各体系经过调整后的地震反应力与考虑周期折减的反应谱结果较为接近。SDOF1在周期折减系数R取值为［0.6、0.65、0.7、0.75、0.8］时，调整后结果与反应谱计算结果误差最大，为2.5%;SDOF2在周期折减系数R取值为［0.6、0.65］时，调整后结果与反应谱计算结果误差最大，为2.35%;SDOF3在周期折减系数R取值为［0.65、0.7］时，调整后结果与反应谱计算结果误差最大，为0.52%，说明两调整方法均具有较好的调整效果，且能通过调整后的结果有效反映周期折减对结构地震作用的增大效应。

4 工程实例验证分析

4.1 工程概况

为验证文中所提出考虑周期折减的弹性时程分析调整方法的有效性，采用某实际工程案例进行验证分析。某钢筋混凝土框架结构共4层，底层层高5.1 m，標准层层高3.9 m，结构总高度16.8 m，结构抗震设防烈度为7度，基本设计加速度为0.15g，地震分组为第二组，场地类别为Ⅱ类，场地特征周期Tg=0.4 s，结构固有阻尼比为5%。采用YJK（4.0版本）软件建立上述工程案例计算模型，其中框架梁柱构件采用杆单元模拟，楼板采用弹性楼板6（壳单元）模拟，并在梁和板上施加荷载，计算模型如图8所示，结构的动力特性如表2所列。

从表2中可以看出，结构一阶振型为Y向平动，二阶振型为X向平动，三阶振型为竖向扭转，当结构计算振型总阶数n（结构各方向振型数量之和）≥4时，结构两主轴方向的有效振型参与质量系数均满足规范不小于90%的要求。

4.2 两方法调整结果与反应谱（CQC）结果对比

基于有效峰值加速度、地震波持时以及频谱特性，选择符合规范要求［19］的5条天然波和2条人工波对以上结构进行多遇地震作用下的弹性时程分析，所选地震波反应谱曲线如图9所示。主要对比分析结构在不同周期折减系数取值下以及不同计算振型总阶数下两调整方法的有效性，并与反应谱（CQC）计算结果进行比较。表3为根据式（2）计算得到的结构在不同周期折减系数取值下，各阶振型对应增大系数βi分布情况，以及按式（3）计算的不同计算振型总阶数n取值下，多自由度结构体系等效增大系数βe的取值情况。由表3可知，增大系数的分布规律与前文的理论分析结果一致，即增大系数的取值主要与结构周期折减系数R、结构自振周期及场地特征周期等参数有关;等效增大系数βe随结构计算振型总阶数n的增大而减小，这主要是由于结构的高阶振型往往具有较小的自振周期，其范围主要位于设计反应谱的直线上升段和平台段，对应的增大系数取值范围≤1。但采用方法1调整地震作用时，主要调整输入地震波的有效峰值加速度EPA，这相当于各阶振型的地震力都相应地进行了放大，然而，等效增大系数βe在较大计算振型总阶数下取值更小，这也相当于“调和”了结构各阶振型地震力的放大效应，后文将进一步验证采用式（3）计算等效增大系数βe的有效性。

根据表3中等效增大系数βe取值及结构各阶周期对应增大系数βi取值，采用方法1调整结构在不同计算振型总阶数（结构各方向振型数量之和）下输入地震波的有效峰值加速度EPA的大小，即将EPA乘以表3中相应周期折减系数及相应计算振型总阶数对应的等效增大系数βe后进行弹性时程分析;采用方法2调整结构在不同计算振型总阶数下弹性时程分析输出的各阶振型地震力，即将结构分析软件计算所得第i阶振型地震力乘以相应的增大系数βi后再进行振型组合。将两调整方法得到的结构底部剪力V（取7条地震波的平均值）与相应的考虑周期折减的反应谱（CQC）计算结果进行对比，对比结果如图10所示，采用式（5）表达对比结果：

κ=VVc （5）

式中：V为采用方法1或方法2调整后的结构底部剪力时程结果平均值;Vc为相应考虑周期折减的反应谱（CQC）计算所得底部剪力。κ的取值越接近1，相应的调整方法则具有较高的调整精度。

从图10中可以看出，不同计算振型总阶数及不同周期折减系数取值下，两方法调整结果与反应谱（CQC）结果均较为接近，最大误差值小于4%，这表明两方法均具有较高的调整精度，能在弹性时程分析过程中有效考虑周期折减对结构地震作用的增大效应。特别的，当计算振型总阶数n=2时，两方法调整得到的结构两主轴方向的底部剪力完全一致，这与前文基于单自由度体系分析得到的结论相同，当n=2时，相当于时程分析仅计算了结构在两主轴方向的一阶振型地震力，此时两方法具有相同的调整精度，与单自由度体系分析结论一致。

4.3 两方法调整后结构楼层剪力及位移角对比

图11为结构计算振型总阶数n=8，周期折减系数R=0.7时，采用方法1及方法2调整弹性时程分析后结构的楼层剪力（取7条地震波的平均值）及层间位移角（取7条地震波的平均值）分布情况。从图中可以看出，采用方法1调整后，结构X向及Y向的底部剪力分别为3 010 kN、2 856 kN，最大层间位移角分别为1/715、1/704;采用方法2调整后，结构X向及Y向的底部剪力分别为3 027 kN、2 849 kN，最大层间位移角分别为1/709、1/696;考虑周期折减的反应谱（CQC）工况下，结构X向及Y向的底部剪力分别为2 998 kN、2 765 kN，最大层间位移角分别为1/693、1/712。方法1、方法2 X向及Y向底部剪力与反应谱（CQC）计算结果的误差分别为0.41%、0.98%和3.29%、3.02%，这表明通过两方法调整后，结构各楼层地震剪力、层间位移角与考虑周期折减的反应谱（CQC）计算结果均较为接近，也说明采用文中两调整方法均能较好地解决目前商用结构分析软件弹性时程分析过程中不能考虑周期折减的问题。图11中蓝色虚线为通常情况下结构分析软件在时程分析过程中无法考虑周期折减计算得到的楼层剪力及层间位移角，X向及Y向的结果分别为2 229 kN、2 115 kN和1/966、1/951。不难看出，未考虑周期折减影响的时程计算结果不能較为真实地反映结构的地震需求［两主轴方向底部剪力与考虑周期折减的反应谱（CQC）计算结果误差分别为25.66%、23.52%］，从而降低了结构在地震作用下各项抗震性能指标验算结果的可靠性，因此，建议在结构弹性时程分析过程中采用合理方法考虑周期折减对结构地震作用的增大效应。

5 结论

本文对选波过程中是否考虑目标反应谱周期折减的差异进行了对比，提出考虑周期折减的结构弹性时程分析调整方法，并运用工程算例以验证分析所提出调整方法的有效性，得到以下结论：

（1） 时程分析选波过程中不考虑周期折减将低估结构的地震需求，考虑周期折减则所选地震波频谱特性与目标反应谱频谱特性匹配程度较低。

（2） 在进行结构弹性时程分析时，周期折减对地震作用的放大效应可通过文中提出的增大输入地震波有效峰值加速度或增大输出振型地震力的方法考虑。

（3） 增大系数β的取值与结构自振周期、周期折减系数及场地特征周期等因素有关，具体可按文中式（2）、式（3）计算。

（4） 对于单自由度体系，文中提出的两种时程分析过程中考虑周期折减的调整方法具有相同的调整精度。

（5） 工程算例分析表明，采用方法1及方法2调整后的结构各楼层地震剪力及层间位移角与考虑周期折减的反应谱（CQC）计算结果均较为接近，最大误差为3.29%。

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（本文编辑：任 栋）

基金项目：云南省地方高校基础研究联合专项项目（202101BA070001-176）;国家自然科学基金项目（52368019）;昆明学院人才引进项目（YJL19011）

第一作者简介：吴克川（1988-），男，博士，讲师，主要从事工程结构减震控制研究。E-mail：452969980@qq.com。

吴克川，陶忠，潘文，等.考虑周期折减的结构弹性时程分析调整方法［J］.地震工程学报，2024，46（3）：548-556.DOI：10.20000/j.1000-0844.20220529002

WU Kechuan，TAO Zhong，PAN Wen，et al.Adjustment method for elastic time-history analysis of structures considering period reduction［J］.China Earthquake Engineering Journal，2024，46（3）：548-556.DOI：10.20000/j.1000-0844.20220529002