具有状态时滞和死区的非线性多智能体系统一致性

邓莎莎,吴 燕

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

近几年来多智能体系统一致性在交通、无人机、网络线路等实际工程中广泛应用，为此许多学者对多智能体系统进行了一系列的研究[1-3]。 由于实际工程中机械故障或者其它外部因素，导致智能体与智能体之间信息传输过程中出现时滞[4-6]，从而造成信号出现偏差而无法精确控制系统；其次，在工程中由于摩檫力和负载等因素，导致系统的控制阀在转动的过程中出现死区现象[7-9]，使得系统稳定性降低。因此不少学者考虑到死区和时滞可能会同时影响系统的稳定性，文献[10]针对具有未知时变输入死区的多智能体系统一致性控制问题，提出了一种事件触发自适应神经网络控制协议；文献[11]针对具有非对称死区输入的非线性时滞系统控制问题，提出了一种基于动态增益设计方法的事件触发输出反馈控制协议。

由于现在关于具有死区的时滞非线性多智能体系统的研究相对较少，且主要是处理控制输入时滞的，但状态时滞对实际系统的稳定性影响更大，在系统中更为常见。所以本文研究了在死区约束的影响下，具有状态时滞的非线性多智能体系统一致性。

1 预备知识

引理1.1[12](Schur 补引理）若为对称矩阵,其中都是块矩阵，且为方阵,以下三个条件是等价的：

引理1.2[13]若满足，则下列不等式成立

2 多智能体系统模型

死区函数如下所示

根据系统(2.1)，本文设计的控制器需要考虑死区对系统的影响，为此本文将对不同条件下控制器进行分类讨论。由于系统中还有时滞的影响，所以需要构造Lyapunov 函数，再使用对称矩阵及Kronecker积的性质，和Schur 补引理进行处理，最后得到带有状态时滞和死区的非线性多智能体系统一致性并稳定的控制方案。

在一致性控制器中，首先需要设计相应的误差函数来反应智能体与智能体之间的误差，即，其中为智能体i的邻接节点的集合。由于系统受死区的影响，为此本文可将控制器设计如下

其中为常数增益,根据控制器(2.3)，具体分析如下。

综上所述，根据矩阵Kronecker 积的性质，我们可将系统(2.6)及(2.7)分别整理为(2.8)和(2.9)

定理2.1 设P 是一个正定矩阵，Y 是一个矩阵,且Q，X，Z 是对称矩阵，若存在(2.10)，且满足(2.11)和(2.12)，则系统(2.1)是渐近稳定的。

证明：取满足不等式(2.11)和(2.12)的矩阵P，Q，Z，构造Lyapunov 函数如下

接下来我们将对系统(2.8)进行讨论, 根据牛顿莱布尼兹公式可得，将(2.8)转换如下

对(2.14)关于时间t 求导，并代入(2.17)得

由假设1，(2.18)化简得

其中

则(2.20)可写为

将(2.23)代入(2.19)中

对(2.15)关于时间t 求导得

对(2.16)关于时间t 求导得

对(2.26)中第一项进行分析，将(2.8)代入第一项得

根据假设1，对(2.27)进行化简为

将(2.28)代入(2.26)得

对(2.13)关于t 求导，将(2.24)，(2.25)和(2.29)代入得

由于矩阵(2.33)小于等于零，且根据引理1.1 可得

同理，我们将对系统(2.9)进行讨论,根据牛顿莱布尼兹公式将(2.9)转换如下

对(2.14)关于时间求导得

由假设1，(2.36)化简得

根据引理1.2，可得

将(2.39)代入(2.37)中得

对(2.15)关于时间t 求导得

对(2.16)关于时间t 求导得

对(2.42)中第一项进行分析，将(2.9)代入第一项得

根据假设1，对(2.43)进行化简有

将(2.44)代入(2.42)得

对(2.13)关于t 求导，将(2.40)，(2.41)和(2.45)代入得

由于矩阵(2.49)小于等于零，且根据引理1.1 可得

综上所述，定理2.1 得证。

3 结论

对于具有死区的时滞非线性多智能体系统，由于系统受死区的影响，本文针对误差ei 的不同情况设计了不同的控制器，并对不同的控制器进行了分类讨论。为了计算方便，对系统进行了转换；当ei=0时，系统显然一致并稳定的，因此只需要讨论当ei 0，ei 0 时的情况即可。本文利用积分的性质构造相应的李雅普诺夫函数来处理时滞因素，然后利用对称矩阵的性质及Kronecker 积的性质对矩阵进行处理。最后将Lyapunov 函数求导后转换为的形式，利用Schur 补引理证明了，ei 0 时，文中的多智能体系统达到稳定且一致的。