源于课本提炼模型灵活运用

张凤丽

摘要：解答数量积问题的常用方法主要有基底法（利用模和夹角定义）和坐标法（利用坐标运算），而对于那些共起点的、具有中点或可以构造中点的两个向量的数量积问题，若运用极化恒等式求解，则能缩短思维路径，简化运算过程.

关键词：极化恒等式；源于课本；提炼模型；灵活运用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0053-03

极化恒等式源自课本中的一道练习题，下面从这道题目谈起，提炼两种几何图形模型，并通过例题说明极化恒等式解题应用的灵活性及优越性.

1 源于课本

题目（人教A版普通高中教科书﹒数学必修第二册（2019年版）第22页练习第3题）［1］求证：（a+b）2-（a-b）2=4a·b.

简证左边=（a2+2a·b+b2）-（a2-2a·b+b2）=4a·b=右边.故等式得证.

这样一道看似名不見经传的课本题目，其实蕴含着一个重要的结论：设a，b均为非零向量，则

a·b=14［（a+b）2-（a-b）2］（或a·b=14（|a+b|2-|a-b|2））.

我们把这一公式称之为极化恒等式，它反映了两个非零向量的数量积与它们的和及差之间的等量关系，三个量可知二求一.

2 提炼模型

极化恒等式主要用来求解共起点向量的数量积问题，可从几何图形模型提炼出三角形模型以及平行四边形模型.

2.1 三角形模型

如图1，在△ABC中，D是BC的中点，则AB·AC=AD2-14BC2=AD2-（BC2）2.

证明因为D为△ABC的边BC的中点，

所以AB+AC=2AD，

AB-AC=BC，

BC=2BD=2DC.

根据极化恒等式，则

AB·AC=14［（AB+AC）2-（AB-AC）2］

=14［（2AD）2-（BC）2］

=AD2-14BC2

=AD2-（BC2）2.

文字诠释三角形相邻两边向量的数量积等于第三边中线向量的平方与第三边向量一半的平方的差.简记为：数量积等于中线方减去底半方.

推论1如图1，在△ABC中，D是BC的中点，则AB·AC=AD2-BD2=AD2-DC2.

推论2（三角形中线长定理）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，则

|AD|=12（AB2+AC2）-14BC2.

2.2 平行四边形模型

如图2，已知ABCD，则AB·AD=14（AC2-BD2）.

证明在ABCD中，

AB+AD=AC，AB-AD=BD.

根据极化恒等式，则

AB·AD=14［（AB+AD）2-（AB-AD）2］

=14（AC2-BD2）.

文字诠释平行四边形相邻两边向量的数量积等于这两边向量的和对角线向量与差对角线向量的平方差的14.

3 灵活运用

极化恒等式把两个非零向量数量积化归为它们和向量与差向量平方差的四分之一，因此当和向量与差向量都为已知时，可以运用极化恒等式求解，尤其是求解含有中点或能构造中点的两个共起点向量的数量积问题时，运用极化恒等式或它的几何模型解答可达到事半功倍之效.

3.1 求数量积

例1如图1，在△ABC中，D是BC的中点，AD=4，BC=12，则AB·AC=.

解析因为D是BC的中点，所以由极化恒等式的三角形模型，得

AB·AC=AD2-14BC2=42-14×122=-22.

点评若运用基底法和坐标法解答本题，求解过程运算量大，过程复杂.这里根据D是BC的中点的题设条件，直接运用极化恒等式的三角形模型求解，则求解十分快速、简捷.

3.2 求数量积的取值范围

例2已知正△ABC内接于半径为2的圆O，点P为圆O上的一个动点，则PA·PB的取值范围是（ ）.

A.［-3，1］B.［-1，3］

C.［-4，2］D.［-2，6］

解析如图3，取AB中点D，连接CD.

因为△ABC为正三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC=2OD=2.

所以CD=OC+OD=3，

AB=2AD=2OA2-OD2=222-12=23.

根据极化恒等式的三角形模型，得

PA·PB=PD2-14AB2=PD2-（232）2=PD2-3.

因为点P为圆O上的一个动点，所以当P在点C处时，|PD|有最大值为3；当P在CO的延长线与圆O的交点时，|PD|有最小值为1.

因此1≤|PD|≤3，1≤PD2≤9，-2≤PD2-3≤6，-2≤PA·PB≤6，故PA·PB∈［-2，6］.故选D.

点评该题若运用坐标法化为三角函数求解或运用基底法把向量分解，设角运用数量积定义化为三角函数求解，其过程均比较繁琐.而这里通过取AB中点D，运用三角形模型把所求数量积转化为PA·PB=PD2-3，再运用圆的几何性质来求解，思路清晰、自然.

3.3 求数量积的最值

例3设|AB|=10，若平面上点P满足：对任意t∈R，有|AP-tAB|≥3，则PA·PB的最小值为，此时|PA+PB|=.

解析由|AP-tAB|≥3，可知点P到直线AB的距离为3.取AB中点D，则|PD|≥3.

所以由三角形模型极化恒等式得

PA·PB=PD2-14AB2

=PD2-25

≥9-25=-16，

当且仅当|PA+PB|=2|PD|=2×3=6时取等号.

故PA·PB的最小值为-16，此时|PA+PB|=6.

点评本题若按常规方法求解，需运用向量的线性运算、数量积运算及模的概念等知识，过程冗繁.由于PA，PB共起点，取AB中点，利用三角形模型极化恒等式即可轻松获解.

3.4 其他应用

例4（2023年高考甲卷理第12题）已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=（ ）.

A.25B.302C.35D.352

解析根据椭圆定义，得

|PF1|+|PF2|=2a=6.①

在△F1PF2中，由余弦定理，得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，

即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12.

联立①②，解得|PF1||PF2|=152.

由三角形模型极化恒等式推论，得

PF1·PF2=PO2-F1O2.

即|PF1||PF2|cos∠F1PF2=PO2-c2.

所以152×35=PO2-3.

所以PO2=92+3=152.

故|OP|=|PO|=302.點评本题作为选择压轴题，常规解法较多，但运算过程都很复杂.本题中虽然没有直接涉及向量数量积，但利用椭圆定义和余弦定理求得|PF1|·|PF2|值后，在△F1PF2中根据O为F1F2中点，构造共起点的向量PF1，PF2，运用三角形模型极化恒等式快速求解，是一种颇有创意的解法.

4 结束语

通过上述题目可以看出，极化恒等式能够有效地建立起数量积与几何图形中长度大小的联系，是连接代数与几何之间的桥梁和纽带.对于那些共起点且与中点相关联的向量数量积运算问题，灵活运用极化恒等式是一条颇为有效的途径.

参考文献：

［1］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（A）版：数学（必修第二册）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李璟］