用运动的分解法处理两道粒子摆线运动高考真题

罗章 彭知文

摘要：在中学物理问题中，带电粒子在正交电、磁场中运动，即在复合场中的运动，比较复杂.这种运动也称为摆线运动或滚轮线运动.本文从运动的合成与分解的角度，巧妙解决了该复杂运动.结合2023和2013年两道高考真题给出的情景，运用本文所述方法快速解答.

关键词：粒子运动；复合场；运动的合成与分解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0109-03

一个物体的实际运动往往同时参与几个运动，我们把这几个运动叫作实际运动的分运动，把这个实际运动叫作分运动的合运动.复杂的曲线运动往往不好理解或者定量分析，但是如果能化曲为直或者化繁为简，则有助于对物体运动的深入理解.解决带电粒子摆线运动的方法可称为“速度补偿法”，也称为“速度构造法”.这一方法将复杂的摆线运动分解为匀速圆周运动以及匀速直线运动[1].1 问题的提出

如图1所示，金属空腔内部加上垂直纸面向里的匀强磁场及垂直极板向下的匀强电场，两端开有在同一水平直线上的小孔.这样，将带正电荷q的粒子沿水平方向打入左端小孔时，该装置便能选择出v=EB的粒子.对此，一般的解释是：

当v=EB时，有qE=qvB，粒子在竖直方向上受力平衡，则沿直线运动直至从右孔射出；

当v>EB时，有qE

当vqvB，则粒子向下偏.

这样，就达到了选择的目的.但是，那些v≠EB的粒子将何去何从？它们的运动轨迹将会是什么样子？

2 解决问题的办法

下面，介绍一种处理办法——运动的合成与分解法.

假设v>EB，令v=v1+v2=EB+（v-EB），即把v看成两部分速度的合成.对于v1=EB，其产生的洛伦兹力与电场力平衡，因此这部分速度保持恒定，粒子参与一个x轴方向的速度为v1=EB的匀速直线运动；对于v2=v-EB，使粒子参与一个以x轴为切线、R=m（v-E/B）qB为半径的逆时针方向上的匀速圆周运动.其运动分解情况如图2所示.

更一般地，当v≠EB时，带电粒子在xOy平面内参与了两个运动，一个是x轴方向上的速度为EB的匀速直线运动，另一个是以x轴为切线、以mv-E/BqB为半径的逆时针方向的匀速圆周运动，其在y轴方向上的最大位移为2mv-E/BqB.由此可以判定，速度选择器所选择的是速度v=EB及v=EB附近一定范围的粒子.因为速度选择器的孔径是有一定限度的，当其半径大于2mv-E/BqB时，粒子便会被选择出来.因此，为使仪器精良，两侧小孔要尽量小.而未被选择的粒子可能打在上下两侧壁上，也可能打在左右两侧壁上.由于粒子参与两个运动，一个为EB的匀速直线运动；另一个为匀速圆周运动，其周期为2πmqB，所以，粒子在x轴方向每移动2πmEqB2便到达x轴即两侧小孔连线一次.而实际制作时，两侧小孔的距离不等于2πmEqB2的整数倍，以排除粒子“误”出小孔的可能.

下面用此法来解决两道高考真题.

3 高考真题的处理

例1（2023年高考江苏卷）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图3所示的模型.Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射.入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图3中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.

（1）求电场强度的大小E；

（2）若电子入射速度为v04，求运动到速度为v02时位置的纵坐标y1；

（3）若电子入射速度在0

解析（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，则有

eE=ev0B

解得：E=v0B

（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为v04，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有：

eEy1=12m（12v0）2-12m（14v0）2

解得：y1=3mv032eB

（3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有

eEy=12mv2m-12mv2

由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有

F合=evmB-eE

在最低点有：

F合=eE-evB

联立有：vm=2EB-v、y=2m（v0-v）eB

要让电子达纵坐标y2=mv05eB位置，即y≥y2

解得v≤910v0

则若电子入射速度在0

下面另解第（3）问：设以v1入射时恰好能到达y2=mv05eB，将粒子分解为沿x轴速度为v0的匀速运动和以y22为半径，（v0-v1）为速率的匀速圆周运动.则

y22=m（v0-v1）eB

可以解得：v1=0.9v0.后续分析与前面相同.

例2（2013年高考福建卷）如图4，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.让质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中.不计重力和粒子间的影响.

（1）略；（2）略；

（3）如图5所示，若在此空间再加入沿y正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正方向发射.研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的坐标成正比，比例系数与电场强度大小E无关.求该粒子运动过程中的最大速度vm.

解析带电粒子的初速度v0沿y轴正方向，而在x轴方向上速度为零.我们可以将速度为“零”分解为向右和向左的两个等大反向的速度，向右的速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，则：

qv右B=qE

因此向右的速度保持恒定，粒子参与一个x轴方向上的速度为v右=EB的匀速直线运动；而向左的速度v左=EB与y轴正方向的速度v0合成后的速度v=（EB）2+v20，使得粒子参与一个半径r=mvqB的顺时针方向的匀速圆周运动.

当粒子运动到最高点时，圆周运动的线速度也向右，则粒子在该点的实际速度就是粒子运动过程中的最大速度，所以

vm=v右+v=EB+（EB）2+v20

采用“零”分解法处理该题，巧妙地将复杂的螺旋线运动等效为匀速直线运动与匀速圆周运动的合成，直观而且深刻.

4 结束语

带电粒子在复合场中的运动是一类相当复杂的问题，尤其是做摆线或滚轮线运动，还经常出现在高考真题中，用以考查学生的核心素养.处理这类运动通常有“运动的分解与合成法”和“相对运动法”以及“微积分法”.用中学生普遍易于接受的运动的合成与分解的角度展开分析：确定分运动为圆周运动的分速度的方向，从而得出初末位置及速度偏转角，进而得出运动时间和两分运动的分位移[2].本文提供了快速解答2023年和2013年高考真题的思路.

参考文献：

[1]俞超，黃晶.“速度补偿法”解决粒子复杂运动时的运动独立性分析[J].物理教学，2019（4）：66-67，45.

[2] 王鑫.“利用运动分解分析摆线运动中一般过程的时间和位移问题”[J].物理教学，2021（5）：43，62-63，67.

［责任编辑：李璟］