高中数学中的“同构”

乔建元

摘要：文章列举了相关的试题和解析，让学生体会同构思想在解题中的优越性，从而提高学生相关的数学核心素养.

关键词：同构；变形；核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0059-03

在高中数学中，同构是一种重要的思想或方法，意指构造相同形式的结构，其不仅仅是一个表面上的等价关系，还是指两个数学结构之间具有相似的性质和结构特征.其虽未出现在教材中，但是却在某些方面起着举足轻重的作用.

1 同构在高中数学各方面的应用

1.1 集合方面

要找两个集合有某种关系时，先研究限定条件的相同点和不同点，通过相同点发现或者构造出相似的结构，这样只需研究不同点就可判断二者的关系.

例1集合M=x|x=kπ2+π4，k∈Z，集合N=x|x=kπ4+π4，k∈Z，则下列选项正确的（）.

A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=

解析因为M=x|x=kπ2+π4，k∈Z=x|x=（2k+1）π4，k∈Z，N=x|x=kπ4+π4，k∈Z=x|x=（k+1）π4，k∈Z，當k∈Z时，2k+1是奇数，k+1是整数，所以MN，故选B.

1.2 方程方面

若f（x1）=a，f（x2）=a， 则x1和x2就是方程f（x）=a的两个根，如果两个式子的形式不统一，则需要对其中一个或者两个方程变形，使两个式子的形式相同，从而达到解题的目的.

例2已知x，y∈［-π4，π4］，a∈R，且x3+sinx-2a=0，（1）4y3+siny·cosy+a=0，（2） 则cos（x+2y）=.

解析（2）式左右两边同时乘以-2得（-2y）3+sin（-2y）-2a=0，构造函数f（t）=t3+sint-2a，f ′（t）=3t2+cost>0，则函数f（t）单调递增，方程组变为f（x）=0，f（-2y）=0，由单调性的定义得x=-2y，即x+2y=0，所以cos（x+2y）=1.

1.3 三角函数方面

对于同名三角函数，只需根据单调性得到两变量的大小关系；对于非同名三角函数，通过诱导公式和二倍角公式等将其化为同名三角函数即可.

例3在△ABC中，角A和角B满足sinA-cosB+A+B<π2，则下列选项正确的是（）.

A.sinAcosB

C.sinB

解析sinA-cosB+A+B<π2变形为sinA+A

则函数f（t）单调递增.

上式等价于f（A）

由单调性的定义得A<π2-B，即A+B<π2，所以C>π2.

对于A，sinA>0，cosC<0，所以sinA>cosC，A选项错误；

对于B，由0

同理，C选项正确；

对于D，由0

1.4 数列方面

若数列的通项公式为an=f（n），其同构式为an+1=f（n+1）（n∈N*）或an-1=f（n-1）（n∈N*且n≥2），则由an+1-an=p或an-an-1=p（其中p为常数）来判断原数列an为等差数列；由an+1an=p或anan-1=p（其中p为常数）来判断原数列an为等比数列.

例4已知数列an满足a1=3，an+1=5an-8an-1（n∈N*），求证：数列an-2an-4为等比数列，并求出数列an的通项公式.

解析令bn=an-2an-4，则bn+1=an+1-2an+1-4.

则bn+1bn=（an+1-2）/（an+1-4）（an-2）/（an-4）

=an+1-2an+1-4·an-4an-2

=（5an-8）/（an-1）-2（5an-8）/（an-1）-4·an-4an-2

=3（an-2）an-4·an-4an-2=3=q，

bn=a1-2a1-4=-1，

则数列bn是以-1为首项3为公比的等比数列，所以bn=b1·qn-1=-3n-1=an-2an-4，解得数列an的通项公式为an=4·3n-1+23n-1+1（n∈N*）.

1.5 解析几何方面

在高考圆锥曲线问题中，常常会涉及三角形，而这些三角形中，往往会有几个点的运动是较为相似的，一般是在同一条直线上且在同一曲线上.因此，我们只需研究其中一个点和第三个点的关系，进而得出另一个点与第三个点的关系，亦即同构［1］.

例5已知抛物线C：x2=4y，⊙M：x2+（y+4）2=1，若点P在⊙M上，且PA，PB为C的两条切线，切点分别为A，B，求ΔPAB面积的最大值.

解析设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），对于抛物线C：y=x24，则y′=x2，因此在点A，B处的切线斜率分别为x12，x22，则在点A处的切线方程为y-y1=x12（x-x1），化简得切线PA：y=x12x-y1.

同理得切线PB：y=x22x-y2.

因为点P（x0，y0）在直线PA，PB上，所以y0=x12x0-y1，y0=x22x0-y2，则点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y=x02x-y0上，则直线AB：y=x02x-y0，联立y=x02x-y0，x2=4y，得x2-2x0·x+4y0=0.

由韦达定理，得x1+x2=2x0，x1·x2=4y0.

则|AB|=1+kAB·（x1+x2）2-4x1·x2

=x20+4·x20-4y20.

点P到AB的距离d=|x20-4y0|x20+4，则

S△PAB=12·d·|AB|=12（x20-4y0）3.

又因为点P在⊙M上，所以x20+（y0+4）2=1.所以S△PAB=12［21-（y0+6）2］3≤205（其中y0∈［-5，-3］），当且仅当y0=-5时取“=”，所以ΔPAB面积的最大值为205.

1.6 函数和导数方面

函数的同构问题常见于指对混合函数的恒成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性较强.当然这类试题也可以用其他方法完成，那么在这里用同构思想，更多的是提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养［2］.

例6已知函数f（x）=exx-lnx+x-a.

（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；

（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1·x2<1.

解析（1）由已知得exx-lnx+x-a≥0.

则等价于a≤ex-lnx+（x-lnx）.

令t=x-lnx，则a≤et+t.

令h（x）=x-lnx，则h′（x）=x-1x.

易知h（x）的单调递增区间是（1，+

SymboleB@

），单调递减区间为（0，1），h（x）≥h（1）=1，即t≥1，易知et+t在t≥1时单调递增，所以a≤e+1（当t=1即x=1时取“=”.）

（2）f ′（x）=（ex+x）（x-1）x2，f（x）的单调递增區间是（1，+

SymboleB@

），单调递减区间为（0，1），则不妨设0

即证f（x1）>f（1x2）.

因为f（x1）=f（x2）=0，即证f（x2）>f（1x2）.

即证ex2-1x2-2lnx2+x2（1-e1x2）>0.

令h（x）=ex-1x-2lnx+x（1-e1x）（其中x>1），

则h′（x）=（x-1）（ex-1）x2+x-1x（1-e1x），

易知当x>1时，（x-1）（ex-1）>0，1-e1x>0，

所以h′（x）>0，h（x）在x>1时单调递增，

所以h（x）>h（1）=0.

2 结束语

教育部考试命题专家表示：数学学科高考加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，试卷深入考查关键能力，优化试题设计，发挥数学学科高考的选拔功能，助力提升学生的综合素质.数学核心素养的体现媒介之一就是同构思想，它几乎贯穿高中阶段的各个章节，在每年的高考题中都有体现.同构也是一种对称美，数学学科不仅深刻严谨，同时也给人以美的感受，所以广大考生应该重视同构

思想，找到题中的关键点，化繁为简，在学习过程中注重积累总结，这样才能在考试中从容不迫，应对自如.

参考文献：

[1]张祖兰，黎福庆.归类教材中递推式 同构求解数列通项[J].中学教学参考，2023（11）：29-33.

[2] 夏继平.例谈“同构法”在高中数学解题中的应用[J].中学数学研究，2023（08）：46-48.

［责任编辑：李璟］