聚焦教学质量的高三数学微专题复习设计

李中阳 纪晖

摘要：本文以函数的最值问题为例，探讨高三数学微专题复习设计方案，希望能够为高中数学教师提供参考及帮助.

关键词：高三数学微专题；复习设计；函数最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0062-03

“微专题”，即将某一特定知识点作为专题开展的教学[1].与传统“串讲式”的教学相比，微专题切入点小，针对性更强，同时内容紧凑，能够实现多角度的教学.在高三数学复习中，教师也可以借助微专题的优势，选取有效专题进行复习.转变传统将知识重复讲解的复习教学模式，借此降低学生理解难度，引导其对知识进行更加深入的理解，实现其知识结构的优化和知识体系的完善.如此，才能让教学质量得到有效提升.

1 教学内容分析

函数是历年高考复习的重点，其中“函数的最值问题”因涉及知识点较多，能够与方程、不等式的广泛知识建立联系，成为学生学习的难点之一.另外，“函数的最值”是高中函数的一类常见题型，解答方法多样，不同方法均具备各自的优劣和注意点，适宜方法的选用能够实现解题的速度和正确率的共同提高，但需要更加基础的数学函数知识做铺垫.学生对于函数最值的定义等有了较为深入的理解，且掌握了一定的函数最值求解方式，改变惯于使用特定的某种求解方式，能让其从未曾考虑的求解角度出发，提升函数最值知识的认知[2].

2 教学流程

2.1 一题多解，全面回顾知识

教师出示例1：请求函数y=2x2x-3x≥4的最值.引导学生借助独立思考、与周边同学交流讨论等方式尝试求解.

学生1：因为y=2x2x-3=2x-3+9x-3+6≥2×2x-3×9x-3+6=24.当x-3=9x-3，即为x=6或x=0时，函数存在最小值24.但不存在最大值.

教师：这样的方法将多层函数化为了基本不等式问题进行求解，叫作配凑法.但是，不等式中的等号能够成立吗？

学生1：不能成立.x=0应该被舍弃.

学生2：我想到了另一种得出不等式的方式.设x-3=a，那么x即为3+a.因为x≥4，所以a≥1.那么函数可以化为y=2a+32a=2a+9a+6，且大于22a×9a+6=24.

教师：很好.这样巧妙地将含有x的整式运用新的未知数a替代的方法，叫作换元法.虽然实质上为第一种配凑法的变形，但更加直观明了，解题时也需注意不等式中的等号能否成立.此外，a的取值范围也是需要考虑的地方.

学生3：我有另一种不一样的方法.可以将函数转化为方程2x2-yx+3y=0，因为x≥4，所以x-3≠0，方程能够成立.从一元二次方程的判别式即可以知道：△=y2-24y≥0，所以y≥24或y≤0.从x≥4可以知道y一定大于0，因此y≥24成立.所以函数有最小值24，但没有最大值.

教师：这样的方法貌似可行，但是只要△大于0，x就一定大于4吗？能够用哪种方法证实呢？

学生4：从二次函数的实数根分布可以得到△=y2-24y≥0--y2×2≥4f（4）=32-4y+3y≥0，因此24≤y≤32.

教师：大家可以代入一个随机数进行检验.当y=40时，x2-20x+60=0，解得x=10+210或x=10-210.因為x≥4，所以x的值为10+210.也就是说x≥4时，y=40>32.所以这样的证明仍然存在纰漏.为什么呢？

学生5：这些求解方式都假定x≥4时，二次函数有两个实数根.当二次函数有一个实数根时又会怎样呢？只有一个实数根意味着f（4）≤0，也就是y≥32.综合可得函数有一个最小值24，但没有最大值.

教师：经过大家的努力，这样的解法终于趋向完善.这种方法从二次函数的判别式入手，叫作二次函数实根分布法.

学生6：二次函数的根的求法给了我一种思路.题目中的函数可以化为21x-3×1x2=2-31x-162+112，因此x=6时，函数有最小值24.同时因x≥4，所以0<1x≤14.当-31x-162=112时，y为正无穷；但-31x-162<112.所以函数不具备最大值.

教师：这样的方法叫配方法，也十分适用.还有其他方法吗？

学生7：我认为可以从导数知识入手求解.将函数求导，y′=4xx-3-2x2x-32=2x2-12xx-32=2xx-6x-32=0.即为x=0或x=6时，y′为0，可以得到如表所示（表1），观察表格可知，当x=6时，函数存在最小值24.

教师：这样的方法叫作导数法，能够借助求导得到函数各定义域内的极值和端点值，进行横向比较，其中最小的值即为整体函数的最小值，最大的值为整体函数的最大值.

2.2 巧用变式，发展学生思维

教师：如果将之前例题中的“x≥4”变为“x≥8”，这样的题目应该怎样求解呢？我建议大家首先尝试一下换元法和配方法.

学生8：我尝试用换元法解答：设x-3=b，因为x≥8，所以b≥5.y=2b+32b=2b+9b+6≥22b×9b+6=24，因此得出函数最小值为24.

教师：很好，将换元法的知识代入题目中.但有没有需要思考的地方呢？

学生9：应当思考不等式中的等号能否成立.如果等号成立，b2=9，这时b=±3，但从题目中条件可以知道b≥5，等号无法成立.这样的解答错了.

教师：那应当怎样解决呢？大家可以从函数的单调性入手.y=x+9x的单调性是怎样的呢？将其求导，y′=1+-9x2=x2-9x2，当其为0时，x=±3且x≠0，可以将函数的单调性以如下表所以（表2）：

教师：依据表格，也能够画出函数y=x+9x的图象（图1）.

教师：可以看到，函数y=x+9x在区间5，+∞为增函数，因此当x=5时原函数的最小值为，为1285，但没有最大值.

学生10：我使用配方法求解.y=2x2x-3=2-31x-162+112.因为x∈8，+∞，所以0<1x≤18.函数对称轴与x轴的交点坐标为16，0，并不在x的取值区间内.因此函数的最小值不为这时的24.函数图象开口向下，因此在x取值区间内，fx=-31x-162+12为增函数.当1x=18，即x=8时，函数有最小值1285，但没有最大值.

2.3 继续深入，锻炼学生能力

教师：如果将题中x的取值区间变为x≥tt>3的话，前面介绍的两种方式还能够适用吗？请大家再次尝试独立挑战.

学生12：运用换元法时，设x-3=c，y=2c+32b=2c+9c+6≥22b×9c+6=24.但x≥t，因此c≥t-3，当t>6时不等式无法取等号.只能借助函数单调性判断出函数最小值为2t2t-3.当3

学生13：我运用配方法解答.将函数配方为2-31x-162+112，当t>6时，x≥t，因此160，1x，所以函數最小值为ft=2t2t-3.当3

3 结束语

在问题链设计时，笔者认为应当注意如下几点：

（1）围绕教学大纲.教材是高中数学教学和复习的基础，也是问题链设计的基本素材[3-4].教师应当抓住问题链层层递进、逐级深入的特点，发现大纲中知识点的横、纵向联系，借此有意引导学生思维，使其在多角度思考中探究知识的本质.

（2）尊重学生主体.促进学生学习主观能动性的发挥是问题链设计的关键.教师应当把握班级学生学习特点，借助引导性、启发性原则以及学生思维发展区中的问题，推动其自主发现构建，在题目变化中推翻原有知识结构，完善新的知识体系，锻炼思维能力，从而保障教学过程的启发性、科学性.

（3）注重情感、态度、价值观.学生情感、态度、价值观的培养是新课改下各学科教学的必然要求.设计问题链时，教师应当“见微知著”，利用不断深入的问题揭示数学知识的本质，促使学生感悟数学之美，进而实现融会贯通.

参考文献：

[1]曹昕，洪家凤.利用均值不等式求函数最值的六种方法[J].中学数学，2023（01）：80-81.

[2] 何海花.数学思维培养导向下初中数学函数最值和存在性问题的教学研究[J].理科爱好者，2022（06）：126-130.

[3] 汪佳婕.例谈拉格朗日乘数法在解多元函数最值中的应用[J].高中数理化，2022（07）：69-70.

[4] 王惠文.探析导数中含有参数的不等式的证明策略：广东省2021届高三八省联考模拟卷第22题第（2）问[J].数理天地（高中版），2022（03）：72-73.

［责任编辑：李璟］