聚焦数学思想 贯彻核心素养

宋方宁 李硕

摘要：本文所探究的教学设计从整体出发，由特殊到一般，继而归纳出偶函数的定义，再将其符号化，然后让学生类比研究奇函数，深刻贯彻核心素养，强调学习过程.

关键词：函数；奇偶性；数形结合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0002-03

函数的奇偶性是在学习函数单调性与最大（小）值后又学到的一函数性质，是对函数概念的深化学习，是经历大量函数的具体事例，从中分化、类比、抽象概括而得到的[1].本文从教学内容解析、教学目标设置、学生学情分析、教学过程设计、教学反思五个方面进行教学设计.

1 教学内容解析

函数的奇偶性属于人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容，这是学生掌握函数单调性与最大（小）值后的一个重要的函数性质，也是后面学习幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基础.

“函数的奇偶性”作为一节概念课，是在上节课学习完函数单调性的基础上进行的.教材中通过对两个熟悉函数特征的继续研究，发现其具有对称性的特征，由此在函数的性质与函数的对称性之间构起一座桥梁，为新知识的学习提供教学思路，进而利用函数解析式描述函数图象的这个特征.要经历对不同函数实例进行研究的过程，从中推理、概括得到函数奇偶性的概念，同时提升学生的数学运算、数学抽象等素养.

基于以上分析，确定本节课的重点是函数奇偶性的概念和奇偶函数的判断.

2 教学目标设置

本节课的教学目标设置如下：

（1）能从“数”和“形”两个角度认识函数的奇偶性，感悟数形结合的内涵.

（2）经历奇偶性概念的探究历程，由特殊到一般，由图形语言到符号语言，理解函数的图象特征与形式化定义.

（3）理解函数奇偶性的概念，掌握用奇偶性的概念判断奇偶性的方法，并能够解决一些简单问题.

（4）培养学生的观察、归纳、抽象的能力，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.

3 学生学情分析

在学习本节课之前，学生在初中已经学习了轴对称、中心对称等知识，并且已掌握一次函数、二次函数、反比例函数的相关知识点，能够画出其图象，因此学生能够通过画图来观察其特征.

对学生来说发现函数奇偶性是比较容易的，但是用数学符号语言描述数与形之间的联系存在困难，也就是说灵活转换图象与语言的能力较弱，并且存在小组合作交流能力较弱的现象.

基于以上分析，确定本节课的难点是能够将函数的图象特征转化为符号语言.

4 教学过程设计

引言设计：数与形是数学中的两个最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这道出了“数”和“形”不可分割的特点.

4.1 创设情境，提出问题

师：“数形结合”的思想在数学学习过程中运用得非常广泛，上一节课我们就运用数形结合的思想，以函数f（x）=x2，f（x）=x为例研究了函数的单调性，从形的角度以函数的图象入手，来研究图象的特征；再从数的角度将其特征符号化，最终抽象出函数的性质，同时也发现了函数的单调性是局部性质.那么这两个函数的图象除了单调性外，还具有哪些其他的特征呢？

生：对称性.

师：其实，对称性就是函数的一种性质“奇偶性”.接下来我们将继续运用数形结合的思想，来研究“函数的奇偶性”.（板书课题）

4.2 运用方法，研究性质

师：首先从函数的图象入手进行思考.

问题1：我们知道函数f（x）=x2，f（x）=x的图象是对称的，那么它们的图象有何具体的特征呢？

追问1：你如何判断这个函数的图象就是对称的呢？

追问2：如何判断函数f（x）=x4-5x2+7图象的对称性呢？

预案：（沉默）

师：看来对于解析式较为复杂、难以画出图象的函数，我们无法准确判断函数图象的对称性，那么究竟应该根据什么来判断呢？我们一起来进行探究.

师：以f（x）=x2的圖象为例，从“形”的角度看，这个图象关于y轴对称，折叠后完全重合.我们通过几何画板的动态演示来具体观察（动态图）.

师：我们知道函数的图象是由点构成的，那么完全重合意味着什么呢？

预案：意味着折叠后函数图象上的每一个点与其对应点是完全重合的.

师：接下来我们类比研究“单调性”时数形结合的方法，从“数”的角度来研究函数f（x）=x2的图象中的点与其对应点有何特征.

问题2：我们先在图象上取一点A（1，1），过点A作y轴的垂线，与图象交于另一点A′（-1，1），可知这两点是关于y轴对称的，你能发现它们的横坐标、纵坐标有何特征吗？

追问1：同样的，再取一个点B（2，4），过其作y轴的垂线，与图象交于它的对称点B′（-2，4），现在你又发现了什么规律？

追问2：你还能举出一个例子吗？

问题3：我们通过三个实例得到这个规律，是否函数图象上任意一个点都满足这个规律呢？

师生活动：教师通过几何画板演示在f（x）=x2的图象上任取点P，P′是P的对称点，拖动点P，P′的横坐标总与P相反，纵坐标相等，从而验证刚才得出的规律是正确的.

追问1：那么如何将得到的规律用数学符号语言表示出来？

预案：对于任意一个x，都有f（-x）=f（x）.

师：刚才我们是通过图象进行分析得到的，其实从数的角度也可以进行证明（语言解释）：f（-x）=（-x）2=x2；也就是说对于任意一个x，都有f（-x）=f（x）.

追问2：那么对任意一个x还有什么要求？（定义域R）.

追问3：那么你能概括出f（x）=x2是偶函数的定义了吗？

预案：对于定义域内R的任意一个x，都有f（-x）=f（x），这时我们称此函数为偶函数.

问题5：函数f（x）=|x|的图象是否也具有类似的特征呢？请同学们以小组为单位，类比上面的研究方法进行探究.

师生活动：教师用几何画板演示在图象上任取点P，P′是P的对称点，拖动点P，发现P′的横坐标总与P相反，纵坐标相等.

追问1：那么如何将得到的规律用数学符号语言表示出来？

师：可以符号化为对于任意一个x，都有f（-x）=f（x），同样可进行证明：f（-x）=|-x|=|x|.

追问2：那么对任意一个x还有什么要求呢？

追问3：你能给出它是偶函数的定义了吗？

预案：对于定义域R内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），这时我们称此函数为偶函数.

问题6：你能根据这两个具体的偶函数，概括出一般的偶函数定义吗？

预案：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.

【设计意图】通过对两例函数的研究，都是由特殊点到一般点，由特殊函数到一般函数，最后概括归纳其定义，体现了由特殊到一般的数学思想.

问题7：请同学们观察以下函数f（x）=x和

f（x）=1x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么共同特征吗？（小组讨论）

预案：这两个函数，总是有当横坐标互为相反数时，纵坐标也互为相反数；符号化为对于任意一个x，都有f（-x）=-f（x）；任意一个x要满足在定义域内.

问题8：你能归纳出奇函数的定义吗？

预案：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.

【设计意图】通过小组讨论，借助研究偶函数的方法类比研究奇函数，自主归纳出奇函数的定义，有助于培养学生逻辑推理的能力，符合核心素养的基本要求，同时巩固数形结合的思想方法，加強记忆.

4.3 巩固练习，加强记忆

题形一判断下列函数的奇偶性.

（1）f（x）=2x2+2xx+1；

（2） f（x）=x3-2x;

（3）f（x）=|x|x2+1.

【设计意图】通过对不同函数类型的判断与类比，强化学生用定义判断函数奇偶性的步骤与方法.

题型二函数奇偶性的应用.

（1）若函数f（x）=2x-a2x+1的图象关于y轴对称，则常数a=.

（2）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x）=2x+2x-a，则f（1）=.

【设计意图】通过对函数奇偶性的实际应用，让学生感悟其内涵与本质，促进学生对其性质的内化与理解.

4.4 课堂小结，提高升华

（1）本节课我们是如何对函数奇偶性进行研究的？

（2）偶函数和奇函数有什么不同？如何用符号来表示？

（3）本节课体现了哪些数学思想？

【设计意图】让学生回顾所运用的思想方法，体现的数学思想，从而提升学生的数学素养，加强对函数奇偶性概念的记忆.

5 教学反思

函数奇偶性是一个形式化概念，具有抽象性，因此本节课采用整体教学策略.让学生完整经历概念的形成过程，引导学生用数形结合的方法探究问题，让学生能够在以后的学习过程中继续沿用该数学思想，促进学生的发展.

参考文献：

［1］黄邦杰.直观想象·类比提高·提升素养：对“函数的奇偶性”一课的几点思考[J].中国数学教育，2021（08）：7-8.

［责任编辑：李璟］