核心素养导向下的高中数学解题研究

陈立云

摘要：本文主要分析核心素养导向下的高中数学解题，以期为促进高中数学解题教学改革提供参考与借鉴.

关键词：核心素养；高中数学；解题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0065-03

教师需重视对学生数学解题思维与能力的培养，立足于核心素养导向，不断强化学生对数学知识的灵活应用，进而帮助学生取得理想成绩.鉴于此，对核心素养导向下的高中数学解题研究具有一定的现实意义与教育价值.

1 核心素养导向下的高中数学解题

高中数学解题思维与能力的培养对促进学生全面发展具有重要作用.但相比于其他学科而言，高中数学学科的知识点众多，具有分布范围广泛、知识抽象等特征，且学习难度较大.大部分学生在应用数学知识点进行解题时都会遇到各种困难与问题，若无法有效克服困难、及时解决问题，则会影响学生数学核心素养的培养效果.核心素养是高中数学解题教学的重要参考依据，在解题教学中灌输核心素养能够使学生逐渐掌握适应社会发展应具备的素质和能力，同时学会利用数学知识解决现实问题.

2 核心素养导向下的高中数学解题培养

新高考背景下，高中数学教师在解题教学时必须充分立足于数学核心素养，全面培养学生综合素质与能力.数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、方程思想是培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象以及数学运算核心素养的重要途径，教师应在教学时合理渗透这些解题思想，提高学生数学能力.

2.1 数形结合思想在解答集合题目中的应用

集合知识是整个高中数学知识体系的基础，在解答集合题目时，往往会涉及抽象度较高的运算或概念，对于部分逻辑思维或抽象思维能力不强的学生而言具有一定难度.因此，需要结合实际情况，引导学生以多元化手段对此类问题进行分析與解答，如运用数形结合知识以更加直观、清晰的方式梳理集合题目中所给条件，尽可能将抽象的条件转化为具体条件，锻炼学生灵活解决问题的能力，以此提升学生的高中数学核心素养.

例1某高中向高一年级开放了三门选修课，分别为围棋课、书法课以及绘画课，某班有40名学生自愿报名参加选修课，具体报名情况如下：该班级中的40名学生每人至少选择了一门选修课；在没有选择绘画课的学生群体中，选择书法课的人数为选择围棋课人数的2倍；只选择绘画课的学生人数比剩余的学生选择绘画课的多1人；在只选择一种选修课的学生群体中，有一半学生并未选择绘画课.

问题1：只选择书法课的学生人数为多少？

问题2：选择绘画课的学生人数为多少？

分析已知条件错综复杂，若以传统的计算方式或分析方式则无法确保学生快速、精准地理清思路.此时，学生可以结合实际情况运用数形结合手段对该类题目进行分析，即分别将选择围棋课、书法课以及绘画课的学生分别视为一个集合.以韦恩图方式将题目中所给数据信息以及所绘制的集合进行关联，以此快速明确各类信息之间的关系，如图1所示，集合图.

解设集合A为选择绘画选修课的学生；集合B为选择书法选修课的学生；集合C为选择围棋选修课的学生，而其中的a、b、c、d、e、f、g，分别代表仅选择绘画课的学生、仅选择书法课的学生、仅选择围棋课的学生、选择绘画课与书法课的学生、选择绘画课与围棋课的学生、选择书法课与围棋课的学生、选择三种选修课的学生.然后根据题目中所给条件可以得出方程组：a+b+c+d+e+f+g=40

b+f=2（c+f）

a=b+c

d+e+g=a-1.最终解得a=11，b=10，c=1，a+d+e+f=21，d+e+g=10[1].综上，可以得出只选择书法课的学生人数为10人，选择绘画课的学生人数为21人.

2.2 分类讨论思想在解答高中数列问题中的应用

在高中数学问题中难免会存在分类讨论，此时学生需要结合实际情况以分类讨论思想对此类问题进行解答.以数列问题为例，在分类讨论数列相关问题时存在通项公式的不确定性、公差和公差比的不确定性等，尤其是对于部分分别考虑奇数项与偶数项通项公式的数列，在实际解答过程中需要明确偶数项、奇数项之间潜在的关系，确保所形成的推理逻辑有据可依，使整个推理流程清晰明确、严谨正确[2].

例2已知数列1，2x，3x2，4x3，…，求它的前n项和.

分析通过对题目分析，可以发现本题并没有明确指出数列为等比数列，所以，在分类讨论时还需要考虑x=0这一情况.

解假设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

当x=0时，Sn=1；

当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=n（n+1）2；

当x≠0且x≠1时，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+…+（n-1）xn-1+nxn，

两式相减：（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-xn1-x-nxn，

∴Sn=1-xn-nxn（1-x）（1-x）2.

综上所述：

Sn=1，（x=0）

n（n+1）2，（x=1）

1-xn-nxn（1-x）（1-x）2，（x≠0，x≠1）

2.3 化归思想在解答高中平面向量与三角函数问题中的应用

例3已知向量a=（2sinx，cos2x-sin2x），向量b=（3cosx，1），且x∈R.函数f（x）=a·b的最小正周期为π，若在△ABC中f（B）=-2，BC=3，sinB=3sinA，求BC·BA的值.

分析该题属于综合性题目，主要考查学生对向量相关知识与三角函数相关知识的掌握程度.在解答该题目时需要学生利用化归思想，根据具体要求灵活运用三角函数、向量等高中数学知识对问题进行转化，从而化难为易完成解题［3］.

解设△ABC中A、B、C三个角分别对应的边为a、b、c，已知f（x）=a·b=23sinxcosx+cos2x-sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），f（B）=-2，可以得出2sin（2B+π6）=-2，又因为B∈（0，π），∴B=2π3.由BC=3，可以得出a=3，又因为sinB=3sinA，所以b=3，a=3.利用正弦定理可得3sinA=3sin2π3，进而计算出sinA=12.由于A的取值范围是（0，π3），所以A=π6，所以c=π6，c=a=3.故BC·BA=cacosB=3×3×cos2π3=-32.

2.4 方程思想在解答高中导数问题中的应用

例4已知两实数m、n分别满足方程式lnx+x-2=0、ex+x-2=0，则函数y=xln|x|+m+n的极大值为（）.

A.2-eB.2+1eC.1+1eD.1+e

解析通过对题目进行分析可知，ex+x-2=0、lnx+x-2=0，∴ex=2-x、lnx=2-x，又因为y=ex与y=lnx互为反函数，因此图象关于y=x对称.由x=y

x=2-y，得：x=y=1.又因为实数m、n分别为y=lnx，y=ex和y=2-x交点的横坐标，所以m+n=2，则函数为y=lnx|x|+2，此时去掉绝对值可以得到f（x）=xlnx+2，x＞0

xln-x+2，x＜0

当x＞0时，f ′（x）=1+lnx，可以得到当x∈（0，1e）时，f ′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x∈（1e，+∞）时，f ′（x）＞0，此时f（x）单调递增[4].因此，f（x）在x=1e取得极小值，题目中并未给出该选项，故不满足题意.

当x＜0时，f ′（x）=1+ln （-x），可以得到当x∈（-∞，-1e）时，f ′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈-1e，0时，f ′（x）＜0，所以f（x）单调递减.因此，f（x）在x=-1e处时取得最大值，此时f（-1e）=2+1e.所以正确选项为B.

在解答高中数学导数问题时，运用方程思想进行解答的方式较为常见.由于导数问题本身具有较强的复杂性与逻辑性，需要在实际解题前以宏观视角对整个问题进行分析与挖掘.

3 核心素养导向下提高高中数学解题思维与能力的方法3.1 理解与掌握数学知识点，做好归纳与整理

数学知识点之间具有一定的潜在联系，为帮助学生系统化地理解与掌握数学知识点，教师应立足于大单元概念，借助思维导图、流程图等现代化教育教学工具，引导学生学会归纳与整理数学知识点，进而使学生能够对数学知识点有深层次的理解，促进数学知识点的应用转化.

3.2 总结与反思解题过程，做好梳理与优化

通過总结与反思解题过程，能够让学生再次思考解题步骤方法，进而梳理出最佳的解题流程，达到校验与优化解题的目的.同时，在总结与反思期间，学生的数学思维能够得到进一步的启发，进而对相关数学知识点的运用有更深的理解，并对掌握举一反三的解题思想与技巧十分有利.

4 结束语

在核心素养导向下，高中数学教师应重视对学生数学解题思维与能力的培养.具体可以从强化数形结合思想、分类讨论思想等方面开展高中数学解题培养，同时从理解与掌握数学知识点，做好归纳与整理、总结与反思解题过程，做好梳理与优化两方面，不断提高学生的数学解题思维与能力，进而有效促进学生全面发展，提高学生解题效率和质量.

参考文献：

[1]季金斌.核心素养视角下的高中数学解题教学策略[J].数理化学习（教育理论），2022（3）：38-40.

[2] 杨永梅.基于核心素养下的高中生数学解题能力的培养[J].考试周刊，2020（27）：89-90.

[3] 李玉华.高中生数学核心素养在解题能力中的培养[J].魅力中国，2020（34）：46.

[4] 唐向前.在高中数学解题教学中运用设问渗透数学核心素养[J].数学大世界（上旬版），2020（6）：70.

［责任编辑：李璟］