挖掘试题价值 促进深度学习

胡立业 练育宏

摘要：本文从一道调研试题出发，通过归纳、类比、变式、抽象等手段探究圆锥曲线的一类性质，旨在挖掘试题的潜在价值，促进学生深度学习，发展核心素养.

关键词：探究；推广；类比；变式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0050-03

“深度学习”就是教学中教师引领学生围绕具有挑战性、能够解决实际问题的学习主题，以任务和项目为驱动，全身心积极参与，主动学习，解决问题，体验成功，获得自身发展的有意义的学习过程[1].那么，我们研究一道试题需要从哪些角度出发呢？笔者以 2022年江苏省无锡市高三期末调研试卷的解析几何题为例展开研究.1 试题呈现

例题如图1，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点（2，53），过点F2且不平行于坐标轴的直线l交椭圆于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M.

（1）求△PF1Q的周长；

（2）求△PF1M面积的最大值.

2 试题解法

本文主要对第（2）问进行探究.

解由（1）得椭圆C方程为：x29+y25=1，

设直线l的方程为：x=my+2，Px1，y1，Qx2，y2，Rx2，-y2，

PR：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1，

令y=0得：My1x2+x1y2y1+y2，0.

由x=my+2

5x2+9y2=45得：5m2+9y2+20my-25=0.

△=900m2+1≥0，y1+y2=-20m5m2+9，

y1y2=-255m2+9.

S△PF1M=12y1x2+x1y2y1+y2+2|y1|

=122my1y2y1+y2+4|y1|

=134|y1|≤1345.

评注本题在设线时，之所以用此形式主要考虑到面积表达式化简的方便，在面积表达式化简时要注意合理运算（分离常数）.除此方法外，也可由对称性得到∠OMQ=∠OMP，进而转化为直线MQ、MP的斜率互为相反数去处理.

在以上解题过程中，我们不难发现y1x2+x1y2y1+y2为一定值，即点M是一个定点，这里可引导学生思考：这是巧合还是必然呢？此结论能否作进一步的推广呢？此结论有何潜在的价值呢？

3 试题研究

3.1 一般化研究

对于一般的椭圆满足以上条件，是否同样有直线PR过某一定点呢？

研究1（曲线一般化）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F且不平行于坐标轴的直线l交椭圆与P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M，求证：M点为定点.

证明设直线l的方程为：x=my+c，Px1，y1，Qx2，y2，则Rx2，-y2，

PR：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1，

令y=0得：My1x2+x1y2y1+y2，0，

由x=my+c

b2x2+a2y2=a2b2，

得：（b2m2+a2）y2+2b2mcy+b2c2-a2b2=0，

△>0，y1+y2=-2b2mcb2m2+a2，

y1y2=b2c2-a2b2b2m2+a2=-b4b2m2+a2，

y1x2+x1y2y1+y2=2my1y2+c（y1+y2）y1+y2=2my1y2y1+y2+c=b2c+c=a2c，故Ma2c，0.

若将以上结论中的焦点推广到一般情形，是否能得到更一般的性质呢？

研究2（点一般化）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过点Nn，0 -a

解设直线l直的方程为：x=my+n，Px1，y1，Qx2，y2，则Rx2，-y2，

PR：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1，

令y=0得：My1x2+x1y2y1+y2，0，

由x=my+n

b2x2+a2y2=a2b2

整理得：（b2m2+a2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0.

△>0，y1+y2=-2b2mnb2m2+a2，y1y2=b2n2-a2b2b2m2+a2，

y1x2+x1y2y1+y2=2my1y2+n（y1+y2）y1+y2=2my1y2y1+y2+n=a2-n2n+n=a2n，故Ma2n，0.

评注从特殊到一般，从具体到抽象，属于归纳推理，是合情推理的一种，也是我们研究问题常用的方法，这样的研究能有效发展学生的“数学抽象”“逻辑推理”等素养.

3.2 变式研究

如果把以上结论中的部分条件与结论加以置换，命题还能成立吗？

变式1如图2，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过点N（n，0）0

證明设直线l的方程为：x=my+n，Px1，y1，Qx2，y2

由x=my+n

b2x2+a2y2=a2b2整理得：（b2m2+a2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0，

△>0，y1+y2=-2b2mnb2m2+a2，y1y2=b2n2-a2b2b2m2+a2，

kMQ+kMR=y1x1-a2n+y2x2-a2n

=2my1y2+n-a2ny1+y2my1+n-a2nmy2+n-a2n，

又2my1y2+（n-a2n）（y1+y2）

=2b2n2m-2ma2b2-2b2n2m+2ma2b2a2+b2m2=0.

故OM的平分∠PMQ.即点Q、R关于x轴的对称.

变式2如图3，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），与坐标轴不平行的直线l交椭圆于P、Q两点，存在点Mm，0（m>a或m<-a），使得OM平分∠PMQ，求证：直线l恒过定点.（答案：a2m，0） 證明过程略.

3.3 类比研究

椭圆有上述性质，双曲线、抛物线是否也有同样的性质？通过探究，我们发现双曲线、抛物线也有此性质，证明过程此处不再赘述.

结论1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过焦点Fc，0且不平行于坐标轴的直线l交椭圆于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR过定点Ma2c，0.

结论2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），过焦点Fc，0且不平行于坐标轴的直线l交双曲线于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR过定点Ma2c，0.

结论3已知抛物线C：y2=2pxp>0，过焦点Fp2，0且不平行于坐标轴的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR过定点M-p2，0.

结论4已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过点Nn，0 -a

结论5已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过点Nn，0 -a

4 结束语

教学中，教师要善于发现一些优质试题，引导学生深度学习，激发学生的学习兴趣，提升学生发现、提出问题及分析、解决问题的能力，从而促进其核心素养的养成与提升.

参考文献：

［1］ 郭华.深度学习及其意义［J］.课程·教材·教法，2016（11）：25-32.

［责任编辑：李璟］