不胜“枚举”的寒假作业

未来的网络大崩溃

陆小豆无奈地翻开寒假作业，准备开始奋战。可还没等他准备好文具，学霸精灵一下子从学霸变身器中跳了出来，吓了陆小豆一跳。

学霸精灵看起来很焦急，还有点儿生气，对着陆小豆就是一抓，然后说道：“都是你这个糊涂虫，出大事了！”

陆小豆被这一抓有点儿发懵，待他回过神来，略带哭腔地说道：“怎么都来欺负我，我可什么坏事也没干，我今天只是想补补作业。”

学霸精灵跳上桌子，看了看陆小豆的作业，“果然就是你，你看看你这粗心大意的劲儿，连假期一共有多少天都算不明白，难怪未来的网络会大面积崩溃！”

“啊？这和我算错了日子有什么关系？”陆小豆惊讶地张大了嘴。

“当然有关系，你连最基本的枚举法都算不对，未来的你当然也不会枚举法，那未来的你研究出来的新型互联网自然也就有大量的数据错误，经常会出现崩溃。我得到未来的你传来的消息，他们正经历最严重的一次网络崩溃。”

“可是……”

“没有可是，你赶紧给我变身，好好学会‘枚举法，这会改变历史，也就可以拯救未来的互联网了！”

枚举法的重要性

说完没等陆小豆反应，学霸变身器自己就飞了出来，落到了他的手中。陆小豆心想，也许变身了就能轻松地完成寒假作业了，何乐而不为？于是马上按下变身按钮。

一阵光芒闪过，紧接着陆小豆感觉自己的头脑一下子清晰了不少，关于寒假算错日期的问题，也想清楚了。

“变身前的我，确实有点儿粗心大意，1月10日最后一天去学校，3月1日正式开学，1月11日放假不上学，3月1日开学要上学，所以寒假是从1月11日开始，2月29日截止。要算有多少天，就是一共持续了多少天，减完要加1。我之前把1月10日和3月1日也算成放假了，所以一下子少了2天，偶尔我还会偷一天懒，难怪最后还剩了这么多作业。”

“想明白了就好，这就是最简单的枚举法之一，你可以挑战更难的！先让我好好给你介绍一下枚举法。”

补充对话内容

枚举法起源于原始的计数方法，说白了就是—数数。

枚举法的基本思想是：将问题所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。

由于枚举法需要将所有可能的答案列举出来，因此，就不能毫无头绪地去尝试、瞎蒙瞎撞，否则效率就会很低下，而且很容易出现遗漏或重复。

通常有三種方法：字典排列法、分类枚举法、树形图法

字典排列法是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有的答案。

分类枚举法是指根据题目中的条件，将符合要求的全部情况一一分类枚举出来，然后再求解或运算。

树状图法是指借助树状结构的分层特征，对某一事件可能发生的所有情况逐一枚举，从而直观求解的一种解题方法。

难度：

学霸精灵在一张纸上画了一些图形，每个图形都是由若干条线段连接而成的。请你数一数，纸上一共有多少条线段？

答案：24条

解答：整个纸片上有6个图形，为了便于说明，把各个图形编号为A、B、C、D、E、F，如右上图所示。

A号图形由5条线段连成，B号图形由3条线段连成，C号图形由4条线段连成，D号图形由3条线段连成，E号图形由5条线段连成，F号图形由4条线段连成。

因此，这些图形中一共有线段5+3+4+3+5+4=24（条）。

难度：

班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？如果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？

答案：5种；3种

解答（1）要从5个人中去掉一个不选，那只有5种可能性，分别是去掉甲、乙、丙、丁、戊。

所以从5个小朋友中选4个人有5种选法。

（2）与甲搭档的只可能是乙、丙、丁3个人中的一人，也就是说只有甲乙（丙丁），甲丙（乙丁），甲丁（乙丙）3种分组方式。

难度：

小高、墨莫和卡莉娅三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多。请问：每个人吃的薯条数量有多少种情况？

答案：6种

解答：从条件来看，小高吃了至少6根薯条；又墨莫和卡莉娅也都至少吃了6根，总共就是12根，则最多还有20－12=8（根）薯条给小高吃。所以小高吃的薯条根数是在6～8根之间，分情况进行讨论：

所以一共有6种情况。

难度：

在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对阵底特律活塞队。比赛采用7场4胜制，每胜一场会获得1分的积分。最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4：2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？

答案：5种

解答：由题意知，湖人队总是不会落后的，所以第一场必然是湖人队取胜。

由于湖人队以4：2取得了胜利，所以，最后一共进行了6场比赛，最后一场也必须是湖人队取胜。

从图中可以直接看出，一共有5种胜负情况的可能。

难度：

（1）如图，方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一小段的长度都是1厘米。试问：小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出来。（不包括出发点）

（2）如图，方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？

答案：（1）有8种可能的位置，如图：

（2）20种

解答：（1）蚂蚁爬了2厘米，也就是2小段，那么距离黑点2段的点都是可能的位置，而且要达到距离黑点2格的地方，也就需要不走重复的线路。如果走的2段有重复的线路，那么也就是说这两段是一来一回，肯定就回到了出发点。所以不包括出发点，一共有8种可能的位置。

（2）小蚂蚁的第一步可以往上、下、左、右4个方向走。

可以看到黑点、黑线都在整个图形的中间，那么往上或往下最后可能的情况是一样的，左右也是，所以需要考虑的只是第一步往上和往左的情况就可以了。

①若第一步往上，列出相应的树形图：

②若第一步往左，列出相应的树形图：

开始时第一步往上或往左走的情况一共有10种，那么往下和往右的情况也一共有10种。所以总共就有10×2=20（种）走法。

枚举法原来这么有趣有用，不过我还是不太了解它为什么对计算机和网络影响那么大！

计算机具有运算速度快、精确度高的特点，即使把所有情况都一一列出，也用不上几毫秒，所以计算机中大量应用了枚举法。

枚举法在计算机应用中具有重要性，它是一种基础而强大的問题解决方法。在一些复杂问题的解决中，枚举法常常作为算法设计的起点。

以下是枚举法在计算机中的一些重要应用：

1.搜索和优化问题：在搜索算法和优化问题中，枚举法常常用于穷尽可能的解空间，找到问题的最优解。特别是在离散化问题和组合优化中，枚举法能够帮助寻找到最佳解或最优组合。

2.密码破解：在密码学和安全领域，枚举法可以用于破解密码。通过逐一尝试所有可能的密码组合，攻击者可以找到正确的密码。因此，在设计密码时，要考虑密码的复杂性，以防止被枚举攻击破解。

3.测试和调试：在软件开发中，枚举法常用于测试和调试阶段。通过逐一检查可能的输入组合，开发人员可以发现潜在的错误、边界条件和异常情况，从而提高软件的稳定性和质量。

4.图形学中的渲染：在图形学中，枚举法用于渲染图像中的像素。通过逐一计算每个像素的颜色和位置，可以生成最终的图像。这在图形学和游戏开发中是一种常见的应用方式。

5.穷举密码和密钥：在加密和解密领域，枚举法用于穷举可能的密码或密钥。这对于恢复丢失的密码或对加密数据进行破解是至关重要的。

6.算法设计：在算法设计中，有时候穷举所有可能的情况是解决问题的唯一有效方法。虽然在一些问题上枚举法可能会效率不高，但在某些情况下，它是最直接、简单的解决方案。

7.决策问题：在决策问题中，枚举法可以用于列举所有可能的决策组合，以找到最佳的决策方案。

原来一个小小的数数问题，竟然这么重要！

是啊，还好你及时修正，现在未来世界的网络已经恢复正常了！