通晓概率公式 尽显数学魅力*——生物概率问题中“贝叶斯公式”的应用

聂振荣 潘小峰

1.南京市第九中学(210023);2.江苏省外国语学校(215100);3.华中师范大学人工智能教育学部(430070)

生物数学是近现代应用数学中有着最大进展和发展潜力的领域,数学的几乎所有分支都己经渗透到了生物学中并产生了许多对理论数学不具有普适性,但却很适合于研究生物学问题的专门技巧与方法[1].高考生物大纲中明确指出考生要能用文字、图表及数学方式等多种形式准确描述生物学方面的内容,并能通过建立模型、系统分析等数学方法解决生物问题.因此数学知识是否掌握牢固对生物的学业成绩有很大影响.灵活运用高中数学知识解决生物问题,有利于学生能够体会和理解数学的应用价值,从而提高学习兴趣.下面我们以贝叶斯公式解决生物中的概率问题为例做简要分析.

例1 某一特定地区对任意一个人而言感染艾滋病的概率为0.001.医学研究表明,化验结果是存在错误的.已知患有AIDS 的人其化验结果99%呈阳性,而没患AIDS 的人其化验结果97%呈阴性,现某人的检验结果呈阳性,问他真的患有AIDS 的概率是多少?

这是生物中经常遇到的概率计算问题,在数学中属于贝叶斯公式的应用.如果将“被检查者患有AIDS”记作事件B,将“检查结果呈阳性”记作事件A,本质是求在检查结果是阳性的结果中患有AIDS 的概率,即本质为数学中的求条件概率P(B|A).

这就要引入概率论与数理统计中的著名公式——贝叶斯公式.它是基于乘法公式与全概率公式,用来求解条件概率的工具.

贝叶斯公式也常称为逆概率公式,即在已知“结果”的条件下,求出“原因”的概率.如果称P(Bi)为Bi的先验概率,称P(Bi|A)为Bi的后验概率,则贝叶斯公式是专门用于计算后验概率的,也就是通过A发生的这个信息,来对Bi的概率做出修正.

即贝叶斯定理可表述成:后验概率=调整因子×先验概率.在不少国外教材中,也有把P(B|A)称为“似然度”,P(B)称为“标准化常量”等.但个人认为前者的方式更利于对该定理的理解.回到例题, 则可以清晰的发现P(B) = 0.001,由贝叶斯公式可得

现在来分析这一结果,首先,如果不做检查,该地区对任意一人而言感染的概率为P(B)=0.001,根据检查后的阳性反应,此人是AIDS 患者的概率为P(B|A)=0.032,从0.001到0.032 增加约31 倍,说明这项检查对于诊断个人是否患有AIDS 是有意义的.

其次, 在检查结果呈阳性的人中, 真患AIDS 的人不到3.2%,这个结果可能令人吃惊,但稍作分析便可理解.由于艾滋病发病率低,在1000 个人中约有1 人,也就是约有999 人不患艾滋病.对这1000 个人进行检查,按其错检的概率可知,999 个不患病的人中约有999×0.03 = 29.97 个呈阳性.而另外1 个真患艾滋病的检查者中约有1×0.99 = 0.99 个呈阳性.如果仅仅从30.96 个呈阳性检查者中,真患病的患者0.99 人约占3.2%.

因为艾滋病潜伏期很长, 所以即便感染了也可能在相当长的一段时间内不会有任何不适, 所以艾滋病检测的假阳性会造成非常严重的心理压力.而在现代医学中,为了进一步降低检查出现差错的概率, 常采用复查的方式, 通过其余医疗检测方法排除明显不是艾滋病患者的人群后, 再用艾滋病检测对怀疑的人群进行检查.此时我们通过贝叶斯公式再次计算,

发现这类人群被怀疑的可能性将大幅度提升.

对于这种初次检测准确率较低的检测,只需要经过再次筛查,就可大幅度提高AIDS 检测的准确性.除此之外,贝叶斯公式还可以在肝癌诊断中最重要的肿瘤标志物甲胎蛋白的检测中发挥作用,在孟德尔的基因遗传学上也得以应用.

例2 在孟德尔豌豆实验中, 子二代的基因型为DD,Dd,dd, 其中D为显性基因,d为隐性基因, 且这三种基因型的比为1 : 2 : 1.如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交试验,那么子三代中基因型为dd的父本基因组合为Dd,Dd的概率是多大?

分析 设从子二代中任取两株豌豆作为父本进行杂交试验,有多种基因组合形式,记为Ai(i=1,2,3,···,9);设事件B: 子三代基因型dd.

因此可以发现对于生物学科中计算概率的问题,往往利用与条件概率息息相关的贝叶斯公式,在已知“结果”的条件下,探求“原因”的概率.除此之外,数学中的二项式定理、排列组合等多种思想方法在生物学中个体自由交配的基因突变和杂合子的基因型判断都已广泛应用.若生物学教师能经常以数学思维引领学生,配合使用数学公式,有利于学生基于数理基础理解更多复杂的生物学问题,这也更有利于数学公式及定理在现实生活中的应用,培养学生的数学建模核心素养.所以教师在探究生物学科与数学学科之间的融合问题中,可以多做思考和探索.