基于“教-学-评一致性”的初中数学课堂实践探析*——以“余角和补角(1)”教学设计为例

福建省福州屏东中学(350003) 胡碧莲 高晓晴

“教-学-评一致性”理念给课堂教学带来了深刻的变革.崔允漷教授指出,清晰的目标是“教-学-评一致性”的前提和灵魂[1],判断“教、学、评”是否一致的依据就是教学、学习与评价是否都是围绕共享的目标展开的[1].因此“教-学-评一致性”首先源于课程标准、教材内容以及学情确立学习目标;接着基于此设计具体的学习任务,落实评价活动.教学中把评价作为课堂推进的“导航系统”,为课堂的教学进行理性导航,从而实现“教-学-评一致性”的课堂教学.下面以“余角和补角(1)”的课堂教学设计为例,谈谈如何落实“教-学-评一致性”.

1 课程标准分析

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》给出了“余角和补角”的相关课程内容(如表1).

表1《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中关于“余角和补角”的课程内容摘录

依据表1 的“内容要求”, 设计出相关的学习目标.如,“理解余角的概念”,根据此学习目标,确定相应的学习任务:通过三角尺引出余角概念,之后对定义进行辨析,接着通过数学三种语言的转化加深对概念的理解,最后通过两个问题来落实学生对“互余”这一概念的掌握情况.

依据表1 的“学业要求”的内容,明确学习内容与相关核心素养所要达到的程度.如,“余角性质”的探究: 让学生从图形直观感知,经历观察、猜想、验证、推理等活动,培养学生的抽象思维能力;同时通过学生表述、教师及时完善及师生交流等方式,逐步发展学生的抽象概括能力和推理能力,让核心素养的感悟由感性上升为理性.

依据表1 的“教学提示”中的内容,明晰主要的学习内容及其对应的数学核心素养.如, 余角、补角性质的证明的过程,通过经历观察、猜想、验证、推理、交流,形成初步的几何直观、推理能力和空间观念;感悟几何体系的基本框架.

2 教材内容分析

“余角和补角(1)”是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册第四章“4.3 角”的内容,是本章的重要组成部分,也是学生进入初中学习平面几何的基础.学生在此之前不仅对平角和直角有所了解,也知道如何进行角的度量、比较及运算,正是需要对角的数量关系作进一步探讨,于是就有了余角、补角的引进,它不仅是求解角度有关问题、论证角的相等的重要工具,也是从实验几何过渡到论证几何的重要载体,对学生的数学猜想、抽象概括、逻辑推理等能力培养和提升具有重要意义,同时逐步建立他们的空间观念.

3 学情分析

基于学情的分析,笔者从学生已有的知识储备、能力基础以及思维困难三个方面来分析.

3.1 学生的“已知”

小学阶段,学生已经结合生活情境认识角,通过度量单位理解角,明确角的大小与它的两边的长短无关;学生能够使用量角器和三角尺进行角的度量, 并画出指定度数的角;也能根据数量比较角的大小;能利用学具观察角的大小变化,知道直角、锐角、钝角、平角和周角.所以学生对角已经有了一定的认识,从心理上和知识上都具备了学习本节课的条件.

3.2 学生的“能知”

学生在本章的内容学习中接触了“角的定义”和“角的比较与运算”的知识,知道了角的定义的动态与静态的描述,并能通过叠合法比较角的大小;也认识度、分、秒等角的度量单位,能进行简单的角的单位换算,会计算角的和差倍分.通过前面的学习,学生已经基本掌握角的运算,为本节课的几何推理做了充分的准备;在方法积累方面,也可通过类比“线段的比较与运算”来学习“角的比较与运算”.

3.3 学生的“难知”

本节探究性质过程中, 学生必然要经历观察、发现、猜想、验证、论证等过程,如何进行系统的观察和严谨的推理是学生的一大难点.此外,在概念学习和性质探究中需要进行数学三种语言之间的转化,学生初接触,需要对其慢慢引导,让他们从模仿到有思考地进行学习.本节内容涉及两个定义学习和两条性质的探究应用,知识容量大、学生难以理清头绪,所以教学中只有通过引导学生类比学习,才能落实学习重点、突破学习难点,让学生在几何命题的发现和证明的过程,感悟逻辑推理,发展推理能力.

4“余角和补角”教学设计

“教-学-评一致性”理念下的教学设计,把始于教学的课堂设计转换成始于目标的课堂设计[3],设计时,要分别从教师的教学活动、学生的学习活动、以及评价活动三方面去考虑如何有序安排,使得它们之间相辅相成.笔者首先分析了有关“余角和补角”的课标要求和教材内容,结合学生的身心发展规律,基于逆向设计的原理,根据学习目标确定与目标、活动相关联的学习任务(见图1),把学习任务作为教学活动主要的组成部分,进而设计其教学思路.

图1 余角和补角(1)学习目标与学习任务设计图

笔者摘录了“余角的定义”和“余角的性质”的教学思路,以此来分析教学设计中是如何体现“教-学-评一致性”.

4.1“余角的定义”的教学思路

教师先通过数学工具设计问题:一副三角尺中两个锐角的和等于多少? 学生基于已有经验自评,这时教师顺势揭示课题: 今天就来学习“和等于90°”的两个角, 接着教师讲解余角定义,然后让学生画出互余的两个角.此时教师组织学生互评: 使用量角器度量验证同桌所画的图形是否正确? 之后提出问题: 如图2,“∠1 与∠2 互余”这个条件如何用一个式子表示? 教师评价学生的回答并及时进行纠正完善,让学生体会简单几何说理.

图2

解: ∵∠1 与∠2 互余,∴∠1+∠2=90°.反之亦成立.

追问: 定义中的“互为”两个字怎么理解? 将互余的两角改变位置,它们仍然互余吗? 学生回顾旧知: 代数中的相反数和倒数的概念,自评并类比归纳: 互余的角是成对出现的;互余是两个角的数量关系,与它们的位置无关.教师评价学生的回答,促进学生反思,实现对余角定义的深度学习.

最后教师依据已有经验精心设计两个问题对概念进行辨析和深化.

问题1.判断图3 中给出的各角,哪些互为余角?

图3

问题2.填表:

∠a 30°79°90°120°∠1 x°∠a 的余角

教师组织学生互评,巩固互余的概念(数量关系),同时让学生进行题后反思归纳: 互余的角是锐角,直角、钝角没有余角;从代数的角度(符号)表示一个角的余角,即时评价学生对“互余”概念的掌握情况.

整个概念的学习过程,通过学生动手画图、符号语言的描述,培养学生对数学三种语言互相转化的能力,并落实对数学概念的深度学习;学生基于经验进行自评、互评,教师采用倾听学生的回答、与学生对话、观察学生表情等方式收集课堂信息,并对不同的学习信息进行不同的处理,在学生争辩处给予辨析,在学生达成处及时肯定,从而实现教-学-评一致性.

4.2“余角的性质”的教学思路

探究余角性质分两个环节,第一个环节以引导探究为主,第二个环节以自主及合作探究为主,教师引导为辅.

第一个环节中, 教师依据已有经验设计问题:

如图4, 观察并猜想, ∠2 与∠1,∠3 都互为余角,那么∠1 与∠3 的大小有什么关系?

图4

证明: 因为∠1 + ∠2 = 90°, ∠3 + ∠2 = 90°, 所以∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,所以∠1=∠3.

学生通过量角器来验证猜想,并进行自评;接着教师借助信息技术进行动态演示: 移动∠3,让∠3 的一边与∠1 的一边重合,另一边在同一侧,观察并归纳发现的结论,让学生之间进行互评; 接着教师继续借助几何画板进行动态演示:变化∠1,∠2 与∠3 的度数,重复前面的操作,继续观察并归纳发现的结论,然后学生基于定义进行推理,即用式子对发现的结论进行说明,完成对问题的探究.

最后学生继续思考: 如何用文字语言归纳探究的结论?学生互相交流、分享与评价归纳的结论.

第二个环节中, 教师继续精心设计问题:如图5, ∠1 与∠2 互余,∠3 与∠4 互余,若∠1 = ∠3,则∠2 与∠4 相等吗?为什么?

图5

教师引导学生类比探究: 让学生回顾同角的余角相等的探究过程,接着进行分析,然后类比探究等角的余角的性质,最后归纳得出结论.在这个过程中教师通过倾听学生的发言、观察学生的表情、收集他们的疑问,及时作出评价,评判学生的表述能力.在学生达成处给予肯定、不足处进行补充、困惑处适当点拨、差错处及时纠正[3].

教师在评价的基础上发现学生思维中存在的缺陷或者知识的缺失,启发学生思考,从而实现初中数学课堂“教-学-评一致性”的目标——促进学生数学学科核心素养的发展.

5 结语

数学学科核心素养的形成需要植根于课程教学活动中,而“教、学、评一致性”使教学活动发生了变革: 始于教学的课堂设计转换成了始于目标的课堂教学;课堂评价也变得更为理性、更有指向.由此可见,“教-学-评一致性”这一理念的变革,使教师对课堂的思考不再停留于经验的层面,而是上升到原理的层面,只有进入原理层面的思考,教师才能走向专业化,课堂的成功才会成为必然[3].