基于建模过程的小学数学课堂教学分析——以植树问题为例

张玲玲

(上海师范大学教育学院,上海,200030)

一、问题提出

模型思想是四大数学思想之一,也是数学学科核心素养之一。《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确指出,在小学阶段,模型意识是学生核心素养的表现之一,学生需在小学阶段知道数学模型能够解决的问题,能有意识地用数学的概念和方法解释生活中的诸多问题。[1]建模教学要求教师在教学过程中应适当渗透模型思想,其教学思路是将数学模型原型作为教学资源,启发、引导学生建立数学模型思想解决问题。[2-3]然而我国建模教学尚处于起步阶段。尽管高中数学建模教学已有二十多年的经验,积累了大量的、丰富的资源,但小学数学建模教学并未全面开展,缺乏相关经验,更缺少可操作性较强的小学数学建模教学资源。[4]课堂作为培养学生模型意识、拓展学生能力的主阵地,可操作性较强、创新性较高的建模教学课堂的特点值得广大教育者的学习。本文旨在分析一些特级教师的数学建模课堂,梳理特级教师在课堂中渗透模型思想的教学过程,以期总结相关经验,提高建模教学在小学课堂中的可操作性。

二、概念明晰

(一)数学模型及分类

数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系,采用形式化的数学符号和语言概括地表达的一种数学结构。[5]从广义上说,数学模型是利用数学思想语言模拟现实问题的模型,通过对问题原型的抽象、假设、概括,运用适当的数学工具得到的数学结构是完全形式化和符号化的模型。从狭义来讲,只有反应特定问题或特定的具体事物系统和数学关系的结构可称为数学模型[6],如平均分物品的数学模型—分数、植树问题、鸡兔同笼等数学模型,以及“总价=单价×数量”的数量关系模型等。

在小学数学教材中,刘明祥认为有四种重要的数学模型:公式模型、方程模型、集合模型和函数模型。[5]史宁中将小学阶段的数学模型分为总量模型、路程模型、植树模型和工程模型。[7]按照这种分类,植树问题这一课时涉及了植树模型和公式模型。植树模型的问题主要有两种:一种是询问种树的棵数,另一种是给出树的棵数,让学生思考用什么样的方式种树才能符合要求。设定的条件一般是在一条直线上种树,两端都栽、只栽一端或者两端都不栽。公式模型则是总结间隔数、棵数之间的关系。

(二)数学建模过程

作为连接数学世界和现实世界的桥梁,教学建模过程有四个典型阶段:数学化、数学解决、解释和验证过程,即现实问题数学化后成为数学模型、对数学模型进行解答、用模型的解释回答现实问题、再用答案验证现实问题。[8]布鲁姆修订后提出了七阶段建模流程框架,如图1所示。[9]该框架中,数学建模过程包含六个状态和七个环节,包括构建,简化问题、构造模型,数学化,数学运算,解释,验证,表达。

图1 七阶段建模流程框架

我国一线教师更多地从教学角度提出自己的观点。其中,持四阶段观点的教师认为数学建模一般要经历“模型准备—模型假设—模型建构—模型应用”。[2]也有教师从实践与理论关系出发,将建立数学模型的过程描述为“表述归纳现实信息—建立数学模型—求解演绎模型—解答现实问题”,蕴含着“实践—理论—实践”这一循环。[10-11]此外,也有教师从图形的角度将渗透建模意识的教学流程总结为:建立直观数学模型;操作图形,形成抽象数学模型;应用数学模型;总结完善发展模型体系。[12]持五阶段观点的教师,将数学建模的教学过程分为“实际情境—提出问题—建立模型—求解模型—检验结果”。[13]许卫兵用“磨”“模”“魔”三个字总结建模教学的一般程序,即教师先行琢磨,学生在体会和感悟建模中为之着魔。[14]王亚辉对数学建模的研究较为深入,提出数学建模共有五个阶段,即模型准备、假设、解答、分析和检验。[15]姜启源等人对其做了补充,提出对模型进行检验后,还有一个环节不可忽视,就是学生要学会运用。[16]尽管不同学者对数学建模过程的观点不同,但基本上都强调模型与现实生活的联系和应用。因此,本研究将数学建模教学过程概括为以下四个环节:根据情境,找到问题;提出假设,建立模型;求解模型,检验模型;回归生活,应用模型。

基于以上分析,本研究选取来自南京的两位数学特级教师俞正强2019年和张齐华2021年(以下简称教师Y与教师Z)执教的“植树问题”同课异构进行分析,以数学建模教学的四个主要环节作为评价依据对两节课进行比较分析,以期为培养小学生模型意识提供启示。

三、研究内容与方法

(一)研究内容

植树问题这一教学内容选自人教版五年级上册第七单元数学广角“植树问题”这一课时,在苏教版教材中这一知识点出现在三年级上册第五单元“间隔排列”这一课时。植树问题之所以出现在人教版教材中“数学广角”这一特色板块,是因为这一部分内容相对独立且强调数学思考。[17]从数学广角不同内容包含的数学思想方法来看,植树问题首次涉及了模型思想,具有承上启下的作用。因此,这节课在培养学生模型意识方面具有一定的代表性。

(二)研究方法

研究主要采取间接观察法、案例分析法。

间接观察法主要用于对两节课内容的分析。通过观看课堂教学视频获得一手资料,进而分析两位教师在培养学生模型意识方式上的异同。

案例分析法主要用于对两节课进行比较分析,即通过建模教学的四个环节“根据情境找到问题—提出假设建立模型—求解检验模型—回归生活应用模型”对两节课进行分析与比较。

四、研究结果与分析

(一)根据情境,找到问题

从生活情境中提出问题是形成数学建模的开端。在教学环节中,问题情境的引入是激发学生学习兴趣的重要一环。对于同一个情境,不同的学生由于自身学习经验的多样化,可能会提出不同的问题。这些问题正是激发学生模型意识的首要环节。[18]植树问题的问题是按照一定要求,解决一段路上要求植树的棵数。表1呈现了两位教师在此环节中在课堂中的教学表现。

表1 两位教师情境创设的课堂教学表现

由于植树问题在给定的问题情境中呈现了明确的数量问题,不涉及学生二次简化问题情境从而得到问题的学习思路,因而两位教师都选择直接将问题呈现给学生,但又有所不同。教师Y使用简洁的话语呈现两道问题,将第一道题目作为唤起学生以往知识的桥梁,先复习除法的意义,通过平均分的模型,引出了植树问题的教学。教师Z则是将学习单作为学生课前预习的材料,不仅让学生尝试解决问题,还要求学生在预习后提出自己的疑问。

(二)提出假设,建立模型

数学建模过程中的“假设”,《数学建模教学与评估指南》阐述为在现实世界的问题中选择一些看上去比较重要的“对象”,识别它们之间的关系,并决定保留还是忽视那些对象或者它们之间的关系,结果得到的一个初始问题的理想化版本。[4]这一环节学生将联系以往的知识经验,不断探索求解方法,最后将方法总结为一个数学化的公式,这个数学化的公式就是模型。表2是两位教师关于作出假设、建立模型的教学案例。

表2 两位教师的假设引导

由表2可知,两位教师在这一环节的教学思路都是先引导学生发散思维,使学生主动思考解决问题的方法,让学生阐述自己的见解,进一步加深对问题的理解。之后,教师进行总结,将具体的方法抽象为数学公式,即数学模型。但两位教师总结的模型有所不同:教师Y先引导学生复习平均分模型,再通过对比两道题的异同,引出点与段的不同,总结出点段关系模型;教师Z则通过线段与树之间的对应关系,总结三种情形下间隔数与棵数的关系,最后形成数学模型。

(三)求解模型,检验模型

完成数学建模后,需要将其在现实生活中检验,检验数学模型与现实问题的契合程度,用实际现象、数据检验模型的合理性。只有结果符合实际时,模型才是可以使用的。[18]在植树问题这一课中,两位教师在课前画出的线段图是检验模型正确性的重要提示,不仅有助于帮助学生建立数形结合的意识,也能更直观地展示模型建立的关键信息。表3是两位教师展示的不同线段示意图。

表3 两位教师的线段示意图

(四)回归生活,应用模型

建立模型的最终的目的是回归生活并应用于生活,形式越是抽象的数学模型在应用上就更加广泛。模型的应用能帮助学生体会数学与日常生活的联系,领会数学应用价值的重要途径。这样的过程有利于学生更加主动地了解和关心生活,捕捉数学与日常生活及其他相关学科间的紧密联系,能够在一定程度上避免对数学产生枯燥乏味、机械刻板的不良印象,真正体验到数学学习的乐趣,感受数学的广泛应用价值。[19]表4是两位教师引导学生应用模型的案例。

表4 两位教师引导学生回归生活的对比

在应用模型方面,两位教师都引导学生思考生活中的植树问题。这其实是在引导学生思考运用植树模型的不同问题情境。由于学生学习形式的不同,教师Y采取的方式是“引导学生变换问题情境—模拟植树问题—应用模型的改变”,教师Z采取的方式是“解决小组合作学习后产生的问题—引出植树问题的应用—解决具体的封闭圆形中种树的问题—引导学生思考生活中与植树问题类似的问题情境—向学生介绍了模型思想的概念”。

五、经验总结

第一,在“寻找情境,给定问题”这一环节,植树问题并不涉及建构情境模型。因为根据教师给定的问题建立的模型是固定的,不存在由于考虑不同的因素而建立不同模型的情况。因此,在实际教学时,教师应给出真实问题的同时尽量为学生创设一个更加具有挑战性的情境,进而激发学生思考更多的问题解决策略。

第二,在“提出假设,建立模型”环节,两位教师均在学生对自己的假设做出合理解释后进行引导总结进而得到模型。但两位教师由于课堂组织形式的不同,建立模型的过程不同。教师Y通过对比新旧知识间的联系建立点段模型,教师Z通过学生小组讨论得到的问题让学生展开讨论,得到“孤独”的数和“孤独”的间隔,建立间隔数与棵数之间的关系从而得到模型。这是教师指导下教学与学生合作下学习的不同效果。在实际应用时,应注意教师指导和学生独立完成之间要保持一定的平衡性。[9]

第三,在“求解模型,检验模型”“回归生活,应用模型”环节中,两位教师教学的思路大致相同,都是通过引导学生思考与模型相关的其他问题情境,促进学生的知识迁移。在实际教学中,教师应注意在学生学习完课本内容后,引导其将数学领域的知识与现实情境进行转化,使学生意识到两者之间的关系。

六、研究展望

本研究主要采取间接观察法、案例分析法分析了两位特级教师的教学课堂,梳理了数学建模的课堂实践,总结了相关经验,具有一定的现实意义。然而,研究存在不足之处。首先,缺乏定量数据的支撑,缺乏对教师的访谈和对学生学习效果的分析。其次,研究选取的是两位教师的公开课,这种教学形式可能会对分析结果产生一定的影响。最后,培养学生的模型意识不是一蹴而就的,从识别问题到建立模型、应用模型,这中间仍有很大的空间留给教师发掘和探究。例如建模教学中生活性、相似性及挑战性等多重教学情境之间的转化。[20]这些问题值得研究者进行更深入的思考或研究。