能量法在船舶结构力学中的讲解及应用

冼锐，张大朋，陈滢，严谨

（广东海洋大学船舶与海运学院，广东湛江 524088）

在船舶结构力学中，“力法”和“位移法”均被称为解析法，属于一种“精确”方法。相对而言，能量法在许多情境下被视作一种“近似”方法[1]。能量法避免了直接利用力与变形的关系进行积分运算的复杂过程，从能量角度出发[2]，更好地计算材料的变形，并在超静定结构的设计求解中发挥着作用。通过运用能量法，我们能够有效地解答那些传统技术难以应对的动载荷和压杆稳定性问题。此外，由于能量法具有格式一致、过程稳定的特点，它特别适合编程计算。因此，随着计算力学的发展，能量法受到了越来越多的关注。

一、应变能

当弹性体受到外力作用时，它会把外力的能量转化为弹性势能。这种弹性势能就是我们所说的应变能。应变能是在弹性体变形过程中产生的，因此，也被称为变形能。

（一）杆件的应变能计算

以船舶结构中常见的杆件结构为例。我们从杆件中取出一个微小的段落，将其断面上的力视作外力。通过计算这些外力所做的功，我们可以得到这个微段杆件的应变能。接着，我们沿着杆件的长度进行积分，从而研究不同情况下杆件的应变能。

1.拉伸或压缩

如图1所示，有

图1 杆件拉伸示意图

故

当杆件具有相同断面和轴向力时，则有

2.扭转

如图2所示，有

图2 杆件扭转示意图

故

3.弯曲与剪切

当杆断面受到弯曲作用时，弯矩和剪力分别产生相应的应变能。具体来说，弯矩主要导致弯曲变形，而剪力则引起剪切应变能。这两种应变能都对杆断面的变形起着重要的作用，可以说是决定杆断面变形的关键因素。

首先，我们考虑弯曲应变能，如图3所示。

图3 杆件弯曲示意图

故

故，微段上剪力所做的功为

于是，整个杆的剪切应变能为

通常情况下，当杆件同时受到拉伸或压缩、扭转或弯曲等多种力的作用时，由于在线性体系中拉压、扭转与弯曲变形之间相互不影响，杆件的应变能等于各应变能之和[3]，即

通过将各杆件的应变能叠加，我们可以计算出整体杆系构件的总应变能。实践表明，在扭曲较为明显的杆件中，剪切和拉压应变能几乎可以忽略不计。

（二）弹性支座与弹性固定端的应变能

当结构中存在弹性支座或弹性固定端时，由于这些支座或固定端本身也会发生变形，我们在计算整个结构的应变能时，必须将这些部分的应变能也纳入考虑。

二、虚位移原理

当外力作用于构件时，若构件产生了一个虚位移，那么这个虚位移所对应的功就等于构件因虚变形所获得的虚应变能。这就是虚位移原理[4]。由此，我们可以推断，虚位移原理是判断结构是否处于平衡状态的充分和必要条件[5]。

在这里，虚位移是指不会影响结构连续性，且符合空间位移边界的移动。当结构受到外力P1，P2，…作用，并产生相应的虚位移，，…时，由于在整个虚位移过程中外力保持不变，因此外力的虚功为

即

（一）最小势能原理

结构体系在受力和变形的过程中，总是趋向于使总势能取得更小的值，即为最小势能原理[6]。在这里，“总势能”被定义为结构体系在受力和变形过程中内力势能（即应变能）和外力势能的总和。即

虚位移原理可写为

定义“外力势能”如下：

式（14）可以写为

虚位移原理可以再次写为

结合最小势能原理，我们可以得知，当结构符合移动边界和变形协调要求时，真实的移动将会使总势能达到驻值，从而实现结构的平衡，所以最小势能原理也叫做“势能驻值原理”。

（二）近似解法

李兹法是一种有效的近似解法，可以有效地解决那些无法精确求解或者比较困难的结构问题。它的应用范围广泛，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

在实际计算中，式（17）只能取有限项，因此，李兹法被视为一种近似方法。我们只要选择正确的参数，就能够迅速达到预期的计算结果。值得一提的是，李兹法不仅适用于梁的弯曲问题，而且可用于解决一些构件的扭曲现象，例如，板材的变形和杆件的稳定性问题等。

三、应用实例及分析

我们可以通过最小势能原理分析船舶杆件结构中常用的静不定桁架，如图5所示。

图5 船舶杆件结构中的静不定桁架

我们需要计算该结构的应变能。桁架只考虑拉压变形，其应变能也只考虑拉压应变能，并且在虚位移原理中，我们习惯上将应变能表示成位移的函数。设各杆断面面积均为A，则对杆1、3有

所以

从以上分析过程可知，最小势能原理的计算方法其实是一种“位移法”。式（19）就是力的平衡方程式，这一点进一步印证了虚位移原理是结构平衡的充分条件。由式（18）可知，总势能是的二次函数。如图6所示，若以为横坐标，为纵坐标作图，我们可以得到一条抛物线。从图像可以看出，满足平衡条件的真实值使总势能取得极小值。至此，我们可以得到最小势能原理的另一种等价定义，即在结构所有可能的位移中，真实位移对应的总势能取极小值。这种使结构总势能取极小值的真实位移保证了结构的平衡是一种稳定性平衡[7]。综上所述，我们可以判定上述结构的平衡是稳定的。

图6 总势能分布情况

四、结束语

除了船舶与海洋工程专业外，能量法在大类工科专业中是一种非常重要的分析方法。它广泛应用于结构分析、机械设计、材料力学等领域。能量法的核心思想是通过能量守恒原理来解决工程问题，特别适用于求解结构位移、应力分布、稳定性分析等问题。

1.结构位移分析。在材料力学和结构工程中，能量法可以用来求解结构在外力作用下的位移。通过计算外部工作与内部能量变化之间的关系，我们可以得到结构的位移和变形。例如，在《材料力学》（清华大学出版社）一书中提到，能量法是求解结构位移的一般性方法，特别是在处理复杂结构或复杂载荷作用下的位移计算时，能量法显示出其快速方便的特点。

2.稳定性分析。在压杆稳定性问题的研究中，能量法同样发挥着重要作用。通过分析系统总势能的变化，我们可以确定结构的稳定性。例如，北京理工大学宇航学院的工程力学教学成果介绍中提到，能量法在压杆稳定性计算中的应用，利用系统总势能的变分等于零的原理，来确定压杆稳定平衡与不稳定平衡的临界点。

3.动载荷分析。在考虑动载荷作用下的结构响应时，能量法能够有效地计算结构在冲击载荷下的应力和位移。这种方法可以直接利用能量守恒原理，避免了复杂的动力学方程求解。

4.组合变形分析。在实际工程问题中，结构往往同时受到多种载荷的作用，产生组合变形。能量法可以用来分析拉压与弯曲组合、扭转与弯曲组合等不同变形模式下的强度计算。如华南理工大学的《材料力学》在线开放课程中提到的组合变形杆件的强度计算，就是能量法应用的一个实例。

5.教育与科研。在高等教育和科研训练中，能量法作为一种基础且强大的工具，被纳入教学大纲和科研课题中。学生通过学习和实践能量法，可以培养解决实际工程问题的能力。同时，教师可以将科研课题中的相关问题转化为教学内容，让学生在实践中掌握能量法的应用。

综上所述，能量法在工科专业中的应用十分广泛，它通过能量守恒原理为解决复杂的工程问题提供了一种有效的分析手段。通过能量法，工程师和研究人员能够更加深入地理解结构行为，优化设计，提高结构的安全性和经济性。