巧借导函数解决高中数学不等式压轴难题

摘 要：文章结合自身教学和解题经验，以实际例题为例，谈谈应如何结合函数思想解决高中数学不等式压轴难题.

关键词：导函数；不等式；高中数学

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0025-03

不等式问题是高中数学的必考知识点，同时也是重难点.高中数学不等式的压轴难题主要出现在解答题最后一题的第二小问中，与函数、数列等知识点联系较为紧密，考查形式多为不等式的证明或恒成立問题，难度较大.在求解时，我们可以根据已知条件，结合函数与方程思想，巧借导函数解决高中数学不等式压轴难题.

1利用导函数解决不等式证明问题

在利用导函数解决不等式证明问题时，需要结合构造法.根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，再利用函数的单调性、极值和最值加以证明[1].高中阶段，常见的构造方法包括：

（1）直接构造法.将需要证明的不等式f（x）>g（x）转化为证明f（x）-g（x）>0或f（x）-g（x）<0，进而通过构造辅助函数F（x）=f（x）-g（x）并证明函数F（x）与0的关系进而证明原不等式；

（2）适当放缩构造函数.根据已知条件适当放缩，或利用常见的放缩结论，如

题后反思 本题主要考查函数与不等式的综合问题.在求解时需要利用构造法将不等式问题与函数结合起来，再结合导函数的性质，判断函数与零点的关系进而证明.构造函数展开讨论是解决本题的关键和突破点，思路要重点把握.

2 利用导函数解决不等式恒成立问题

在利用导函数解决不等式的恒成立问题时，有两种常见思路：一种是先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准.分类后，判断不同区间函数的单调性得到最值，进而证明不等式[3].另一种，则是直接通过导函数，确定其与零点之间的关系，并以此划分分类标准证明不等式恒成立.通常，若a>f（x）对x∈D恒成立，则只需要a>［f（x）］max；若af（x0）成立，则只需要a>［f（x）］min；若存在x0∈D，使a

题后反思 本题主要考查的是不等式的恒成立以及函数的单调性问题.第一小问比较简单，直接对f（x）求导，根据导函数与函数单调性之间的关系即可顺利求解.第二小问中涉及了不等式的恒成立问题，求解时，首先需要将不等式进行变形，构造函数，进而对新函数进行求导，并判断出在已知区间内函数的单调性情况，找出极值，综合求解.本题主要考查同学们的推理能力和计算能力，属于高中数学压轴题中的中等难度题，思路和方法要重点掌握.

3 结束语

虽然不等式问题在高中数学压轴题中较为常见，但在求解时也是有具体的方法和思路可循的.在解决高中数学的不等式压轴难题时，我们需要利用函数与方程思想，将原不等式进行适当变形或直接利用构造法将不等式问题转化为函数问题.再利用导函数与函数单调性、极值之间的关系综合求解.当然，高中阶段不等式压轴问题中还常涉及含参变量问题、求取值范围问题，同学们都需要在日常的学习和训练过程中，及时对不等式压轴问题进行归纳和总结，保证自己在考场上能做到游刃有余.

参考文献：

［1］ 刘海洋，张玲敏.导数综合题之谋略[J].中学生数理化， 2019（03）：6-8.

［2］ 钟柏舟.浅析“求导法”在高中数学应用题中的应用[J].数理化解题研究， 2017（01）：61.

［3］ 石建春.如何用导数法解题[J].语数外学习， 2021（06）：51.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：李强（1981.9-），男，江苏省扬州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.