LOLIMOT模型在CNG发动机NOx排放预测试验中的应用

刘佳奇 卢炽华 刘志恩

摘要：为解决在选择性催化还原技术（selective catalytic reduction，SCR）的控制策略开发中局部线性模型树（local linear model tree，LOLIMOT）排放模型预测精度不足的问题，提出一种通过优化空间边界，将原模型的超矩形输入空间约束在物理意义范围内的改进LOLIMOT模型。通过某天然气发动机的辨识试验，从分布特征和计算原理角度，分析了该方法对预测结果的影响。结果表明：与原算法相比，改进算法的线性相关度R2提升了1.9%，验证了改进策略的有效性。改进LOLIMOT算法具备较高的收敛速度和稳定性，在排放模型领域具备一定的应用优势。

关键词：天然气发动机；NOx排放；预测模型；局部线性模型树

中图分类号：TK421.5          文献标志码：A          文章编号：1000-582X（2024）01-009-12

Application of LOLIMOT to CNG engine NOx emission prediction test

LIU Jiaqi1，2， LU Chihua1，2， LIU Zhien1，2

（1. Hubei Key Laboratory of Advanced Technology for Automotive Components， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， P. R. China; 2. Hubei Collaborative Innovation Center for Automotive Components Technology， Wuhan 430070， P. R. China）

Abstract： To solve the problem of insufficient prediction accuracy of the local linear model tree （LOLIMOT） emission model in the development of the selective catalytic reduction technology （SCR） control strategy， a method of optimizing the space boundary is proposed. This method aims to constrain the super-rectangular input space of the original model within the scope of physical definitions in the modified LOLIMOT model. Through the identification test of a compressed natural gas （CNG） engine， the effects of this method on prediction results are analyzed considering distribution characteristics and calculation principles. The results show that compared with the original algorithm， the linear correlation R2 of the improved algorithm is increased by 1.9%， verifying the effectiveness of the proposed strategy. The modified LOLIMOT algorithm demonstrates higher convergence speed and stability， offering valuable application advantages in the field of emission models.

Keywords： compressed natural gas （CNG） engine; nitrogen oxides emissions; prediction model; local linear model tree

為满足国Ⅴ排放标准要求，天然气发动机普遍采用选择性催化还原技术SCR来降低NOx排放。传统SCR系统控制策略标定试验需要耗费大量的时间和成本，同时考虑到NOx传感器精度对测量的影响，通常基于模型预测NOx排放，主要包括基于物理模型的方法和基于数据驱动模型的方法。基于物理模型的方法采用现象学多区模型来预测燃烧过程中排放物的形成，不适用于实时计算，并且预测精度很大程度上取决于模型及参数的选择[1]。

基于数据驱动模型的方法在开发时间和成本上具有显著优势，所建立的黑盒模型被广泛应用于发动机排放预测。胡杰等[2]基于神经网络偏最小二乘法（neural network partial least squares，NNPLS）算法建立NOx排放预测模型，采用偏最小二乘法进行数据筛选。Yusaf等[3]运用人工神经网络（artificial neural network，ANN）预测天然气发动机的NOx排放。上述黑盒模型具有很高的预测精度，但大多缺乏可解释性。可解释性旨在帮助人们理解机器学习模型是如何学习的，它从数据中学到什么规则，针对每个输入它为什么会做出如此决策以及它所做的决策是否可靠[4]，即对于缺乏可解释性的排放预测模型，人们难以理解其决策规则，无法通过优化模型结构来提升预测精度。因此，需要建立一种具备可解释性的发动机排放模型。局部线性模型树（LOLIMOT）作为新兴的建模算法，其训练速度快，结构简单，在学习非线性关系和模式识别方面效率较高，更容易实现对先验知识的解释和结合[5-6]。Martinez-Morales等[7]基于LOLIMOT建立汽油机的动态模型。张新宇等[8]运用LOLIMOT对柴油机排放物进行仿真研究。上述研究普遍基于统计方法验证模型精度，缺乏对特征规则的解释。

笔者通过优化空间边界，将原模型输入空间约束在物理意义范围内，提出一种改进LOLIMOT模型，揭示了输入空间迭代结果及特征的学习过程。运用B型关联度方法进行参数提取，针对稳态工况基于LOLIMOT改进算法建立某天然气发动机的NOx排放预测模型。与原算法相比，验证了改进算法的有效性，研究了改进策略对预测结果分布特征的影响。对比相关机器学习算法，分析了改进算法在收敛速度和稳定性上的优势。

1 数据获取与预处理

试验发动机为某4缸增压中冷天然气发动机，其基本结构和性能参数如表1所示。训练数据为稳态工况下测得的试验结果，转速从800 r/min到2 300 r/min共有144个工况点。以NOx排放为预测参数，根据环境因素和NOx生成理论来确定待筛选的输入参数，包括点火提前角X1、转速X2、机油温度X3、废气再循环（exhaust gas recirculation，EGR）流量X4、空气流量X5、燃气喷射量X6、进气湿度X7、排气背压X8、冷却水温X9、转矩X10、进气温度X11。由于样本中输入参数过多及数据量级差别较大等原因，采用灰度关联分析提取参数，降低样本维度[9]。

灰度关联分析根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间的接近程度[10]。与仅考虑相近性的邓氏关联度算法相比，同时考虑相近性和相似性的B型关联度算法更为合理。由于算法不具有保序性，关联度与预测算法都采用标准化的无量纲方法。算法具体计算步骤和有效性证明参见文献[11]。B型关联度为定性分析方法，综合考虑其与相关分析对预测结果的影响，可降低验证风险[9]。输入参数的B型关联度与Spearman相关系数如图1所示。关联度值越大，自变量对因变量的影响越显著。上述方法的显著性系数次序基本一致，证明了关联度分析的可信性。

虽然根据关联度可以明确各因素之间的主次关系，但是模型预测精度还是受到输入参数个数和参数提取方法的影响。训练和测试样本的调整对仿真结果的影响不显著[12]。随机选取总样本的80%作为训练集，用于模型训练，其余样本作为测试集，用于检测预测精度。为尽量减少模型的输入，优先选择显著性系数高的参数，对自变量按显著性系数从大到小的顺序进行筛选，依次增加输入参数个数构建排放预测模型。经过10次模型训练，取迭代次数为10时模型线性相关度R2的均值和极差来表征预测效果。基于灰度关联-LOLIMOT模型与基于相关分析-LOLIMOT模型的预测精度如图2所示。结果表明，对比相关分析-LOLIMOT模型，灰度关联-LOLIMOT模型具有更高的预测精度，说明采用灰度关联度进行参数筛选，模型输出结果更理想。对于灰度关联-LOLIMOT模型，自变量需要从X1到X11的顺序进行筛选。当模型输入为X1～X7这7个自变量时，模型R2为0.964，添加X8后R2大幅提高到0.974并且极差减小。当模型输入为X1～X9时，模型R2小幅增加到0.975，但极差增大，表明增大参数个数能够提高预测精度，但当输入参数过多时，模型容易过拟合，稳定性下降。因此，选择模型的输入为X1～X8。

2 LOLIMOT模型基本原理

LOLIMOT是来自局部线性神经模糊模型Takagi-Sugeno的一种非线性模型[13]。该模型基于划分策略将复杂建模空间划分为许多更小、更简单的子空间，避免了随着空间维数增大多项式回归存在计算振荡的问题[14]。

图3显示了2维输入、1维输出的LOLIMOT模型的基本结构。每个神经元对应一个局部子模型，包含一个线性模型和一个有效性函数?_i。有效性函数决定了线性模型的有效边界以及不同线性模型间的过渡关系。该算法的每个局部子模型对应一个超矩形数据空间，每次迭代遵循轴正交划分原则对前一次迭代中训练误差最大的局部子模型数据空间进行划分。第i个局部子模型的线性模型Li的计算公式为

L_i=β_（i，1） x_1+β_（i，2） x_2+…+β_（i，N） x_N。     （1）

式中：x1，x2，…，xN为输入参数，X=（x1，x2，…，xN）为输入参数向量；βi，1，βi，2，…，βi，N为第i（1≤i≤M）个局部子模型的线性方程系数，βi=（βi，1，βi，2，…，βi，N）；N为输入参数的维数；M为局部子模型的数量。?_i为第i个局部子模型的有效函数，采用归一化的高斯函数

u_i=exp[（-1）/α^2  （∑_（k=1）^N?〖1/（σ_（i，k）^2 ）（x_k-c_（i，k） ）^2 〗） ]， （2）

?_i=u_i/（∑_（i=1）^M?u_i ）。 （3）

式中：ui为第i个局部子模型高斯函数输出的权重系数；x_k为第i个局部子模型数据空间中第k维输入参数；c_（i，k）为第i个局部子模型中第k维数据的高斯函数中心；σ_（i，k）为第i个局部子模型中第k维数据的高斯函数标准偏差；α为平滑参数，设置为0.33[8]。模型总输出等于所有局部线性模型L_i的加权和，计算公式为

y=∑_（i=1）^M??_i  L_i。     （4）

LOLIMOT模型需更新的参数包括：权重函数参数c_i、σ_i与线性函数系数β_i。第i个局部子模型中第k维输入向量的高斯函数参数定义为

c_（i，k）=（max（x_k）+min（x_k））/2，     （5）

σ_（i，k）=（max（x_k）-min（x_k））/3。      （6）

根据目标输出y和输入X，基于加权最小二乘法计算第i个局部子模型的线性方程系数β_i：

β_i=（X^T W_i 〖X）〗^（-1） X^T W_i y。 （7）

式中，Wi为对应模型有效函数?_i的对角矩阵。

模型输入空间划分过程如图3所示。以第3次迭代为例，以第2次迭代中上侧局部子模型为划分对象，对其2维输入数据空间沿轴向进行等均值划分，共产生2种划分方案，对比各方案的训练误差，保留误差最小的左侧划分方案，舍弃右侧划分方案。

3 LOLIMOT模型的改进

由于发动机系统非线性程度高，且输入参数维度较大，较高的模型预测精度往往需要非常复杂的网络结构，然而模型预测精度低通常导致模型提取的规则特征不正确，这些都妨碍建模者对模型整体决策的理解。因此可解释性与预测精度之间始终存在一个平衡，有必要在降低模型结构复杂程度的同时提高模型预测精度[15]。为此，国内外学者以LOLIMOT模型为基础，提出了很多改进方法。Hartmann等[16]基于LOLIMOT算法提出了一种结构权衡策略，实现了模型结构与变量选择的同时优化。Nelle等[17]提出了一种基于轴倾斜分区策略的LOLIMOT改进模型，研究了各输入空间划分方法的优缺点。王伟等[18]提出了一种将非线性自回归滑动平均模型（NARMAX）和LOLIMOT网络融合的改进神经网络结构。上述改进方法数据空间均为超矩形，超出实际物理意义范围。

笔者提出一种优化输入空间边界的OSB-LOLIMOT（optimizing space boundaries LOLIMOT）模型。LOLIMOT和OSB-LOLIMOT算法的高斯函数分布及数据空间如图4所示。算法改进原理为：根据相邻局部子模型i的数据空间，当局部子模型j数据边界对应的法向区域不存在工况点时，该边界被判断为外边界，并被调整到沿边界法线方向的输入空间样本数据集的最值点位置。当局部模型j的归一化转速参数边界的法向区域存在工况点时，边界不被调整。相比于原算法，改进算法通过对输入空间边界进行调整，实现了对无关数据区域的剪枝，约束了数据范围，提高了局部子模型对应高斯函数值。

OSB-LOLIMOT算法的具体训练流程如图5所示。该算法首先生成单个局部子模型，选择其中误差最大的局部子模型mopt进行划分；根据样本维度，局部子模型mopt共有N种轴向划分方案，通过遍历所有划分方案，计算各方案的训练误差；以训练误差最小为原则，确定局部子模型mopt的划分维度为iopt；每次划分之后，局部子模型的数量M加1，直到最大迭代次数Mmax。该算法主要存在2个循环，模型训练循环主要确定每个局部子模型的更新参数；模型划分循环主要确定当划分维度为i时模型的训练误差。

4 仿真分析

4.1 OSB-LOLIMOT模型迭代结果及分区特征

根据台架试验数据，基于OSB-LOLIMOT算法建立NOx排放预测模型。为提取模型规则，利用8维散点图矩阵可视化算法迭代过程（图6）。模型迭代10次后共形成11个小超矩形，迭代次数越大则规则越复杂。由于规则提取只能提供近似解释，同时考虑到在迭代结果中更关注数据空间的分区特征，不显示数据空间外边界的调整结果[10]。散点图矩阵方法易于以图形方式发现知识，方便理解数据结果和挖掘过程，被广泛应用于数据挖掘中[19]。

图6中左下角的散点图矩阵显示输入变量两两间的关系，右上角的散点图矩阵显示数据空间向输入变量两两二维平面映射的划分结果。例如，分区c表征11个超矩形数据空间向机油温度和排气背压的二维平面投影的划分结果。超矩形共投影出7个蓝色超平面，超平面C为超矩形向机油温度和排气背压的二維平面投影的结果。第3行、第8列的超平面A的物理含义为数据空间中燃气喷射量覆盖从最小值到平均值的参数范围。

数据空间分区作为一种规则特征，其分布和大小能够反映算法的决策过程和结果。LOLIMOT模型的输入空间分区特征如图7所示，其二维投影平面分别对应图6中的分区a、b、c、d。结果表明，在图7（d）中相同EGR流量下点火提前角对排放量的梯度较高，相同点火提前角下EGR流量对排放量的梯度较低。与低梯度相比，分区空间（区域D、E、F）沿高梯度方向进行分布更有利于减小预测误差。图7（a）和（c）也表现出上述现象。在图7（b）中，低梯度区域C中多项式拟合偏差相对较小，产生大长方形分区块；反之，高梯度区域B中梯度方向变化频繁导致拟合偏差较大，产生许多小长方形分区块。综上所述，输入空间迭代结果与模型划分理论是一致的，表明了模型分区特征的合理性。提取分区特征规律，有利于建模者从整体上理解算法内部的工作机制，为先验知识与算法的结合提供途径。相比于低负荷工况，当预测精度更关注于高负荷工况时，模型对整个数据空间进行划分，不利于网络结构的简化。针对特定局部子模型，算法可以通过沿高梯度方向进行数据空间划分，避免模型结构过于复杂，降低优化模型结构的工作量。

4.2 LOLIMOT和OSB-LOLIMOT模型性能对比

为验证空间边界优化策略的有效性，对比LOLIMOT和OSB-LOLIMOT排放模型的预测精度。模型参数与4.1节相同。模型训练过程的线性相关度R2如图8所示。R2越接近于1，自变量与因变量的相关性越好。结果表明，当迭代次数为10时，改进算法的R2比原算法提升了1.9%，从0.976增加到0.995且，曲线单调平滑，表明在相同模型结构下改进算法在收敛速度和稳定性上都具有显著优势。在相同预测精度下，原算法迭代次数为8时，改进算法迭代次数为3，模型复杂度降低62.5%，证明了算法改进策略的有效性。原算法拟合能力较差，错误引导分区特征的学习过程，导致收敛曲线震荡。改进算法通过优化空间边界，将拟合精度较差的无关区域剥离，提高了模型的逼近能力，其原因是：边界优化能够约束局部子模型的数据空间xk，基于式（6），该方法将降低局部子模型对应的高斯函数标准偏差σi，k，从而基于式（2）在相同分区特性下提高了高斯函数输出ui，最终基于式（3）增大局部子模型对结果的输出权重。

试验结果与预测结果的线性回归如图9所示。结果表明，排放预测值与试验值的偏差总体呈现随机分布，大部分样本偏差点分布在相对偏差5%以内，其中大偏差样本点主要集中在排放量数值较低的区域，其原因是：某些工况点台架试验数据可能存在异常值，以及干扰因素对低排放量的影响相对较大。

为进一步分析空间边界优化前后模型预测结果的差异，通过比较NOx排放误差的分布特征，研究边界优化策略对预测结果的影响。LOLIMOT与OSB-LOLIMOT算法下排放相对偏差的分布特征如图10所示。结果表明，模型偏差集中于低排放量的区域A和区域B，空间边界优化策略主要对低负荷区域B起作用，其原因是：改进算法提高局部子模型对输出的影响程度，抑制其余局部子模型对输出结果的贡献量，避免样本空间边缘区域存在的梯度震荡。区域A内偏差大小及位置分布基本不变，说明除低负荷区域外，空间边界优化对偏差总体分布特征的影响较小，证明了LOLIMOT算法较好的结构稳定性。

4.3 机器学习模型性能对比

杜倩颖等[20]以多项式模型为参照，研究了HILOMOT模型对排放数据的拟合能力。多项式回归存在外推性能不佳和维数灾难的局限性，目前在发动机模型预测领域应用较少。BP（back propagation）与极限学习机（extreme learning machine，ELM）都属于基于神经网络构建的机器学习方法，与LOLIMOT算法具有相似的网络结构，所以更适用于比较OSB-LOLIMOT算法的预测性能。

为验证模型泛化能力，基于台架试验数据，对比BP、ELM算法，研究OSB-LOLIMOT算法的收敛速度和稳定性。模型NOx均方误差如图11所示。表2为迭代次数为10时的模型预测精度。对于OSB-LOLIMOT算法，横坐标为迭代次数；对于BP、ELM算法，横坐标为隐含层神经元数量。针对小样本问题，BP网络的训练算法为Traingdx函数，传递函数为Sigmoid函数，学习速率0.1[21]，拓扑结构：1层输入层，1层隐含层，1层输出层。ELM算法的传递函数和拓扑结构与BP算法相同。

结果表明，当迭代次数为10时，OSB-LOLIMOT算法的均方误差最小。与BP算法相比，OSB-LOLIMOT算法的均方根误差降低了7倍，表明该算法具有更高的非线性映射和泛化能力，其原因是：BP算法存在随机初始化网络参数的不足，拟合能力较差。当迭代次数为9时，ELM模型在局部收敛前存在明显震荡，而OSB-LOLIMOT算法收敛过程平滑，其原因是：ELM算法存在过度正则化的问题，稳定性较差。OSB-LOLIMOT模型通过数据空间分割形成一种固定辨识结构的网络结构，鲁棒性更强，其余模型的预测精度与训练算法、层数、权重密切相关，所以基于LOLIMOT模型预测发动机性能可以大幅度降低参数调试难度。综上所述，OSB-LOLIMOT算法表现出更好的稳定性和预测精度。

5 结束语

1）基于OSB-LOLIMOT算法建立了某天然气发动机的NOx预测模型，通过B型关联度分析，选取转速、EGR流量、燃气喷射量、点火提前角、空气流量、排气背压、进气湿度、机油温度作为模型的输入参数，利用稳态数据训练并验证模型。仿真结果表明，该模型取得了较高的预测精度，样本相对偏差大部分在5%以内，线性相关度R2为0.995。

2）针对高维样本数据，基于散点图矩阵方法可视化LOLIMOT算法的迭代过程，揭示并验证了算法分区特征，为先验知识与算法的结合提供了一种解决思路。

3）提出了一种改进LOLIMOT算法，与原算法相比，该算法线性相关度R2提升了1.9%，模型复杂度降低了62.5%，说明改进算法在收敛速度和预测精度上具有显著優势，证明了改进策略的有效性。通过分析模型预测误差的分布特征，空间边界优化主要对低负荷区域起作用，对预测误差的总体分布影响较小，证明了算法较好的结构稳定性。其原因是：通过空间边界优化，模型将拟合精度较差的无关区域剥离，从而约束数据空间范围，提高高斯函数对应的局部子模型对最终结果的输出权重，避免样本空间边缘区域存在的梯度振荡。

3）与BP及ELM模型相比，OSB-LOLIMOT算法具有更好的预测精度和收敛稳定性，可以显著降低参数调试难度，更适用于发动机系统控制及排放预测。

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（编辑  罗敏）