基于问题教学法创设高中数学课堂活动——以“基本不等式”为例

文| 杨小强

问题教学法是一种新的教学方法，有利于激发学生的内生动力，化被动为主动，使其整体学习效能、自主探究能力得以提升，为教学工作的优化奠定基础。本文以“基本不等式”为例，基于学生学情、教材内容设计教学过程，重点探讨如何运用问题发散学生思维，促使学生围绕问题探究，并在问题解决过程中总结“基本不等式”的知识点，提高学生的问题分析、解决能力，为学生数学学科核心素养的培养奠定基础。

一、教材分析

“基本不等式”选自人民教育出版社A 版普通高中数学教科书必修第一册第二章“一元二次函数、方程和不等式”第2 节，本节教学案例设计重点集中在基本不等式的“不等式性质、求解方法、线性优化”三个方面，并要求学生掌握不等式的论证方法与求解技巧，以问题为引导，培养高中生的思维能力。

二、学情分析

基于学情的了解，学生已经学习了不等式的性质，并能够在问题解析中运用不等式性质相关知识点，已经初具数学思维和数学建模意识。但是部分学生在不等式知识学习过程中，对知识点前后关系联结、不等式性质实际运用存在不足。因此，教师在教学过程中应逐步引导，以创设问题情境的方式，引导学生围绕问题展开探究活动，并在此过程中理解基本不等式的内涵及应用技巧，从而更好地学习相关知识，并且运用相关知识解决实际问题，实现高中生数学学科核心素养的不断提升。

三、教学目标

1.指导学生根据具体的问题，归纳出其中的基本不等式，并且掌握代数、几何方法证明。

2.关注基本不等式的应用领域及其取等条件，并且能运用基本不等式解决生活中的现实问题。

3.培养学生对问题观察、分析和证明的能力，提升学生的抽象归纳与分析、问题求解能力。

四、教学重难点

教学重点：运用数字与图形相结合的方法，对基本不等式进行深入的认识，对其进行多视角的论证。

教学难点：应用基本不等式及求等的条件。

五、教学过程

（一）情境导入

母亲买了两个苹果回家，小明用自己的“玩具秤”称苹果的重量，首先将苹果放入秤中，再放入砝码让秤杆保持平衡，此刻称出的重量是a，但母亲说，这是因为秤的制作不够准确，所以秤的左右两侧具有细微的差别。然后，小明把苹果和砝码互换，之后称量出的重量为b，为得出最终结果，再把这两个分量“平均”，以这个数字来代表苹果的重量。

教师：阅读材料之后，你有何感想？

学生：小明并未认知秤杆需要两面平衡才能准确地称量。

教师设计问题2：接下来你要如何证明呢？

（设计意图：通过创设生活情境提高了学生的探索热情。在“不合理”的情境下，学生能够找到并运用原有的物理知识来解答，这让他们在学习中获得了很大的成就感，并且找到了该节课程要研究的内容，培养了学生的数学模型能力。）

（二）以猜测引导学生探究问题

教师：对特殊值的分析得出的结果并不是很严密，你能够将这个问题进行严密的论证吗？

此时教师根据之前题目的引导让学生互相交流，进行练习，并让学生总结解题方法。

学生1：采用对比方法，但是必须有充分的必要条件，即a，b≥0，以及不等式取等的有效方式。

学生2：运用分析法，求出每个步骤所需要的条件，直到得出明显的结论，此时要注意问题的解析方式，并提升分析法的运用。

学生3：选取数值时，先选择两个数的平方，去掉根号，然后用前面步骤来论证，此为“平方法”。

（设计意图：首先，从特殊值出发得出猜测，此时学生会产生为何不严密的疑惑，并引起探究的意识。接下来，通过对学生进行不等式的演示，验证学生对上一节不等式的理解程度，同时能够让他们体会到知识的实用性。）

（三）用数形结合的方式，引导学生验证猜想

1.引导学生思维，强化学生的探究能力

教师：利用一些特殊替代方法，我们已经获得了基本不等式，那么接下来，是否可以利用不等式的性质来导出这个不等式？

学生：作差法。

教师：很好，那你们有没有别的办法？

过了一会儿，还是没有人回应。

教师：通常有两种方式：一种是从条件中导出结果，此为“由因导果法”，也是所谓的“综合法”；另一种是从结果中寻找足够的条件，此为执果索因法，也是所谓的分析法。如果能从简单的条件中导出结果，我们可以使用综合方法，而作差法是综合法中的一种，相反，则使用解析法。

教师：除a，b＞0 以外，其他的不等式成立没有任何条件，因此需要同学们用分析法来论证。

学生组内讨论交流，教师适时引导，合作探索。

教师引导学生展示自己的论证步骤，修改其解题形式。

教师：分析法的重点在于寻找足够的条件，直到发现明显存在的公式为止。

（设计意图：在对基本不等式进行验证和讨论时，教师着重讲解分析法，提升学生对基本不等式知识的理解以及问题解答的能力，并组织学生了解综合法和分析法，能够更加明确地知晓分析法的具体作用，并在此基础上提升了他们的数学核心素养，强化其逻辑推理和数学运算能力，为之后问题的探索和学习提供帮助。）

2.以图形和案例相结合，激发学生思维

例题：在图1 中，DC是垂直于△ABD的斜边AB上的高，垂直于直线AB的点C为垂足，将斜边AB分为两个长为a、b的线段，要求学生找到可以表达算术平均数和几何平均数的直线段，并用图形表达基本不等式。

图1

学生：在AB边上，可以把它分为两个长度是的直线段。

教师：非常好，在图2 中，将AB的中点设为O，那么那么，有什么直线可以用来表示几何平均数吗？

图2

学生互相讨论，找出直线段的位置。

教师：怎么解释？

学生：在DO的连接线上，它还可以代表算术平均数。

教师：非常好，根据直角三角形的特性，我们可以知道，D是在圆周O上，而这个圆周O的半径为，如图3 所示。用“几何画图板”来演示点D沿圆的移动，DC＜DO只有当点C和点O一致，也就是a=b时，才有DC=DO。

图3

教师：经过探索，得出用几何方法来说明基本不等式：圆的半弦长度不能超出其半径的长度。在此，同学们应当了解为何以来表达基本不等式，这种表达方式具有其独特的几何含义。

（设计意图：在引导的过程中，以基本不等式的几何说明带领学生探究知识。高中生可通过观察图形中点的运动与变化，思考基本不等式问题，培养学生的数学空间立体思维，进而帮助学生构建立体化的知识体系，切实了解基本不等式的求等条件。）

3.运用对新知识阐释，深化学生对知识的认识

教师：你如何理解“基本”这个词在基本不等式中的意义？

学生：这应该是最容易求得的不等式了吧。

教师：重要不等式是从基本不等式中推导出来的。基本不等式起了三个作用。第一，这个基本不等式的计算规则很简单，左侧使用了加、除，右侧使用到了乘和开方，这两个最基础的操作，左侧是算术平均数，右侧是几何平均数。第二，基本不等式中包含了丰富的代数、几何和物理知识，同时包含了现实的生活环境，因此可在实际生活中运用基本不等式相关知识点。第三，对其他均值不等式进行形变和扩展，从而得到更为复杂的不等式。

（设计意图：从“基本不等式”术语的意义入手，既能使学生更好地了解基本不等式的相关知识，又能使学生认识到，仍有许多不等式知识是建立在基本不等式基础上的，从而使学生更加关注此类知识。）

4.引导学生了解重要不等式

教师：同学们，我们在进行解答的过程中需要注意重要不等式和基本不等式的运用情况，对于题目解析时是否适用基本不等式进行分析。那让我们来分析一下，怎样才能更好地理解当且仅当a=b时，其中的等号成立？

学生：使用的条件是a，b＞0，“当且仅当”指的是“充要条件”。

教师：能不能给我讲讲？

学生：这句话的含义是a=b时（取等号）的充分必要条件。

教师：说得好，“当且仅当a=b时，等号成立”是“a=b时取等号，且只有a=b时取等号”。

（设计意图：让学生更好地了解不等式的内容，并把握基本不等式在实际运用过程中需要的条件和取等条件，以促使学生在日后学习中能够更好地将此类知识运用到实际问题解析，并在此过程中，训练学生思考深度。）

5.运用所学知识，加强知识的运用

假设：x＞0，则求的最小值，如果x＞0，可以得到的极小值。变式：如果用“x∈R 且x≠0”来代替“x≥0”，会发生什么？

此时教师可以让两名学生把假设与变式中提到的条件书写在黑板上，剩下的学生用草稿纸做出来。

（设计意图：利用问题引导学生完成例题分析，帮助学生对基本不等式的适用条件、取等条件做出适当取舍，培养其数学研究能力，在思维转换过程中加深知识学习印象，强化数学逻辑思维能力。）

六、教学反思

首先，以师生互动形式总结数学规律，更利于加深学生课堂学习印象。问题教学法融合课堂，可以让高中生全程带着探索心理参与学习活动，提升课堂的活跃性和积极性，并以独立思考和合作探讨的方式提升学科素养。

其次，采用情境导入、数形结合等教学手段辅助授课，更利于学生数学思维能力的培养，让其通过“数”与“形”的论证过程，结合实例，归纳出基本不等式求极值的办法，以课堂实践活动为载体，为学生建立数学模型奠定基础。

总之，问题式教学模式是一种符合现代教育理念的有效教学形态，有利于培养学生的核心素养，教师应充分认识其重要性，并在教学中优化问题式教学模式。基于高中数学教材内容、学生的实际学情，科学、合理地设计问题式教学活动，增强学生课堂参与性的同时，提升学生的学科核心素养，为培养具有创新精神、实践能力和综合素质的现代人才贡献力量。