求线段比最值问题的方法研究

宋玉海

［摘 要］初中数学中，求线段比最值问题难度较大，学生在解答的过程中可能会遇到一些困难。文章结合几个例题，分析探讨求线段比最值问题的方法，旨在帮助学生突破解题难点，发展学生的思维能力。

［关键词］线段比；最值；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0018-04

近几年，中考数学试题中不断出现关于线段比最值问题，这类问题难度较大，学生解答普遍有些困难。解决此类问题可以用弦与直径的关系、锐角三角函数的边角关系、直角三角形斜边与直角边的大小关系、二次函数的最值性质等。

一、利用“直径是圆中最长的弦”求线段比的最值

当图形中几个点到一定点的距离相等时，则这几个点在以定点为圆心的圆上，此时可以作出辅助圆，并利用“直径是圆中最长的弦”求得线段比的最值。

［例1］如图1所示，等腰直角[△ABC]的斜边[AB]下方有一动点[D]，[∠ADB=90°]，[BE]平分[∠ABD]交[CD]于点[E]，则[CECD]的最小值是。

分析：如图2所示，取[AB]的中点[O]，连接[OC]、[OD]、[AE]。由[OA=OB=OC=OD]，得[A]、[C]、[B]、[D]四点共圆，往证点[E]是[△ABD]的角平分线的交点，再证明[CE=CA]为定值，当[CD]是直径时，[CECD]的值最小。

解：如图2所示，取[AB]的中点[O]，连接[OC]、[OD]、[AE]。∵[∠ACB=∠ADB=90°]，[OA=OB]，∴[OC=OD=12AB]，∴[A]、[C]、[B]、[D]四點共圆，∵[CA=CB]，∴[∠CBA=∠CAB=45°]，∴[∠CDA=∠CBA=45°]，[∠CDB=∠CAB=45° ]，∴[∠CDB=∠CDA]，∴[DE]平分[∠ADB]，∵[BE]平分[∠ABD]，∴点[E]是[△ABD]的角平分线的交点，∴[AE]平分[∠BAD]，∴[∠BAE=∠DAE]，∵[∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE]，[∠CEA=∠EDA+∠EAD=45°+∠DAE]，∴[∠CAE=∠CEA]，∴[CA=CE=定值]，∴当[CD]的值最大时，[CECD]的值最小，∴当[CD]是直径时，[CECD]的值最小，最小值[=ACBA=22]，故答案为[22]。

评注：当两个直角三角形的斜边重合时，这两个直角三角形的四个顶点一定在同一个圆上，但是直角顶点的位置并不确定。本题通过作出辅助圆，利用“直径是圆中最长的弦”求得线段比的最小值，体现了辅助圆的价值。

二、利用一元二次方程根的判别式求线段比的最值

当线段的长作为一元二次方程的未知数时，这个一元二次方程一定有实数根，由此可以确定根的判别式一定大于或等于0，这样就建立了关于未知系数的不等式，通过求不等式的解集，获得未知系数的最值，从而求得线段比的最值。

［例2］如图3所示，在Rt[△ABC]中，[∠A=90°]，[AB=AC]，点[D]在[AB]上，点[E]在[AC]上，且[AD=CE]，连接[DE]，求[DECD]的最小值。

分析：设[AB=AC=1]，由等腰直角三角形的性质得出[BC=2]，设[AD=CE=x]，则[AE=BD=1-x]，过点[D]作[DF⊥BC]于[F]（如图4），则[△BDF]是等腰直角三角形，得[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=22（x+1）]，[CD=DF2+CF2=x2+1]，得[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，设[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，得[y]的最大值为[1+52]，即可得出[DECD]的最小值。

解：设[AB=AC=1 ]，∵[∠A=90°]， [AB=AC ]，∴[△ABC]是等腰直角三角形，[∠B=45°]，∴[BC=2AB=2]，设[AD=CE=x]，∴[AE=BD=1-x]，过点[D]作[DF⊥BC]于[F]，如图4所示，则[△BDF]是等腰直角三角形，∴[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=2-22（1-x）=22（x+1） ]，[CD=DF2+CF2=22（1-x）2+22（x+1）2=x2+1 ]，∴[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，设[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，∵[x]为实数，∴[Δ=（-2）2-4y（y-1）≥0]，即[y2-y-1≤0]，∴[1-52≤y≤1+52]，∴[y]的最大值为[1+52]，∴[DECD]的最小值为[2-1+52=5-12]。

评注：本题求线段比的最小值的过程中运用了多重知识，首先是假设线段[AB]、[BD]的值，并表示出[DF]与[CD]的长，然后将问题转至一元二次方程根的判别式，由[x]为实数建立一个一元二次不等式。该方法本质是解一元二次不等式，这需要运用二次函数、一元二次方程和二次根式的相关知识。

三、利用锐角三角函数的边角关系求线段比的最值

锐角三角函数反映的是直角三角形边与边的关系，因为垂线段最短，所以将斜三角形边与边的比转化为直角三角形边与边的比，就可以找到斜三角形边与边的比的最小值。

［例3］如图5所示，点[D]为等边三角形[ABC]内一点，且[∠BDC=120°]，则[ADBD]的最小值为 。

分析：如图6所示，将[△BCD]绕点[C]顺时针旋转60°得到[△ACE]，连接[DE]，过点[A]作[AH⊥DE] 于点[H]。证明[∠AEB=60°]，则[AHAE=32]，根据[ADBD=ADAE≥AHAE]求解即可。

解：如图6所示，将[△BCD]绕点[C]顺时针旋转60°得到[△ACE]，连接[DE]，过点[A]作[AH⊥DE]于[H]。∵[CD=CE]，[∠DCE=60°]，∴[△DCE]是等边三角形，∴[∠EDC=∠DEC=60°]，∵[∠AEC=∠BDC=120°]，∴[∠AED=60°]，∵[BD=AE]，∴[ADBD=ADAE]，∵[AH⊥DE]，∴[AD≥AH]，∴[ADBD≥AHAE]，∵[∠AHE=90°]，[∠AEB=60°]，∴在Rt[△AHE]中，[AHAE=sin∠AEH=sin60°=32]，∴[ADBD≥32]，∴[ADBD]的最小值为[32]。

评注：本题用旋转法将等边三角形中的“星形”线段[DA]、[DB]、[DC]转化到同一个三角形[ADE]中，同时也得到[∠AED=60°]，利用“垂线段最短”的几何性质得到[ADBD的最小值是AHAE]，最后利用60°角的正弦值求得线段比的最小值。不难发现，利用锐角三角函数的边角关系也是求线段比最值的策略之一。

四、利用“弓形高”求线段比的最值

当定角对定边时，可以得到一个辅助圆，在辅助圆中，从弓形各点向弦作垂线段，其中过弓形中点所作的垂线段最长，据此可以求得线段比的最大值。

［例4］如图7所示，在[△ABC]中，[∠C=90°]，点[D]是[BC]边上一动点，过点[B]作[BE⊥AD]交[AD]的延长线于点[E]。若[AC=2]，[BC=4]，则[DEAD]的最大值为       。

分析：过点[E]作[EF⊥BC]于[F]，推出[△ACD ]∽[△EFD]，根據相似三角形的性质得到[DEAD=EFAC]，当[OE⊥BC]时，[EF]有最大值，根据勾股定理得到[AB=25]，由垂径定理得到[BF=12BC=2]，求得[EF=5-1]，即可得到结论。

解：如图8所示，过点[E]作[EF⊥BC]于[F]，∵[∠C=90°]，∴[AC]∥[EF]，∴[△ACD ]∽[△EFD]，∴[DEAD=EFAC]，∵[AE⊥BE]，∴[A]、[B]、[E]、[C]四点共圆。设[AB]的中点为[O]，连接[OE]，如图9所示，当点[E]是[BC]中点时，[EF]的值最大，此时[E]、[F]、[O]共线，∵[AC=2]，[BC=4]，∴[AB=AC2+BC2=22+42=25]，∴[OE=OB=5]，∵[OE⊥BC]，∴[BF=12BC=2]，∴[OF=OB2-BF2=5-4=1]，∴[EF=OE-OF=5-1]，∴[DEAD=EFAC=5-12]，∴[DEAD]的最大值为[5-12]，故答案为[5-12]。

评注：本题[∠C=∠AEB=90°]，且都对着同一边[AB]，出现了定角对定边的现象，所以可以把辅助圆作出来，因为[BC]固定，所以弓形[BC]也固定，从弓形[BC]上各点向弦作垂线段，其中垂线段最长，实际上也就是弓形高，这是求得[DEAD]的最大值的关键。

五、利用二次函数最值法求线段比的最值

在求线段比的最值的问题中，当两条线段是相似三角形的对应边时，可以转化为另一组对应边的比，另一组对应边通常是一组水平线段的比或一组竖直线段的比。其中线段的长可以用点的纵坐标的差或横坐标的差表示，从而建立二次函数关系式，利用二次函数最值的性质解决问题。

［例5］如图10所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线[y=ax2+bx+c]与[x]轴交于点[A（-3，0）]，[B（1，0）]两点，与[y]轴交于点[C（0，3）]，点[P]是抛物线上的一个动点。（1）求抛物线的表达式；（2）当点[P]在直线[AC]上方的抛物线上时，连接[BP]交[AC]于点[D]，当[PDDB]的值最大时，求点[P]的坐标及[PDDB]的最大值。

分析：（1）运用待定系数法，将点[A（-3，0）]，[B（1，0）]，[C（0，3）]代入[y=ax2+bx+c]，即可求得抛物线的表达式；（2）运用待定系数法可得直线[AC]的表达式为[y=x+3]，过点[P]作[PE]∥[x]轴交直线[AC]于点[E]，设[P（t，-t2-2t+3）]，则[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，可得[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，由[PE]∥[x]轴，得[△EPD ]∽[△ABD]，进而得出[PDDB=PEAB=-t2-3t4=-14t+322+916]，再运用二次函数最值的性质即可求得答案。

解：（1）∵抛物线[y=ax2+bx+c]与[x]轴交于点[A（-3，0）]，[B（1，0）]两点，与[y]轴交于点[C（0，3）]，∴[9a-3b+c=0，a+b+c=0，c=3，]解得[a=-1，b=-2，c=3，]∴该抛物线的表达式为[y=-x2-2x+3]。

（2）设直线[AC]的表达式为[y=kx+n]，则[-3k+n=0，n=3，]解得[k=1，n=3，]∴直线[AC]的表达式为[y=x+3]，过点[P]作[PE]∥[x]轴交直线[AC]于点[E]，如图11所示，设[P（t，] [-t2-2t+3）]，则[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，∴[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，∵[A（-3，0）]，[B（1，0）]，∴[AB=1-（-3）=4]，∵[PE]∥[x]轴，∴[△EPD ]∽[△ABD]，∴[PDDB=PEAB]，∴[PDDB=-t2-3t4=-14t+322+916]，∵[-14<0]，∴当[t=-32]时，[PDDB]的值最大，最大值为[916]，此时点[P]的坐标为[-32，154]。

评注：本题求线段[PDDB]的最大值，首先利用了相似三角形对应边成比例将其转化为另一组对应边的比，然后将抛物线上的点[P]表示为（[t]，[-t2-2t+3]），由直线[AC]的表达式[y=x+3]得点[E]表示为（[-t2-2t]，[-t2-2t+3]），这样[PE]的长可以用含[t]的代数式表示，最后建立关于[t]的二次函数，利用二次函数最值的性质解答。

六、利用旋转或全等求线段比的最值

在求线段比的最值问题中，如果两条线段的长都不固定，且都在直角三角形中，那么可以通过旋转或构造全等三角形的方法，将这两条线段的比转化为另外两条线段的比，在转化后的两条线段中，若其中一条线段的长固定，则只需考虑另一条线段的最值即可。

［例6］如图12所示，正方形[ABCD]中，[E]在射线[BC]上，连[AE]、[DE]，则[DEAE]的最小值是 。

分析：（1）旋转法。如图13所示，将[△ADE]绕点[A]顺时针旋转90°到[△ABE′]，取[AE]的中点[H]，连接[HB]、[HE′]，由勾股定理得[HE′=52AE]，由斜边中线性质得[BH=12AE]，由三角形三边关系得[BE′+BH≥52AE]，转化成[DE≥5-12AE]，从而得[DEAE]的最小值。（2）全等法。如图14所示，设[AE=2]，取[AE]中点[M]，连接[BM]，过[A]作[AN⊥AM]，且[AN=AM]，连接[DN]、[NE]，由边角边公理得[△BAM ]≌[△DAN]，则[DN=1]，由勾股定理得[NE=5]，由三角形三边关系得[DE≥EN-DN]，从而求得[DEAE]的最小值。

       

图13                            图14

解法1：如图13所示，将[△ADE]绕点[A]顺时针旋转90°到[△ABE′]，则[BE′=DE]，[AB=AD]，[AE′=AE]，取[AE]的中点[H]，连接[HB]、[HE′]，由旋转的性质得[∠HAE′=90°]，∴[HE′=AE'2+AH2=AE2+12AE2=52AE]，∵[H]是直角三角形[ABE]斜边的中点，∴[BH=12AE]，又∵[BE′+BH≥HE′=52AE]，即[DE+12AE≥52AE]，∴[DE≥5-12AE]，∴[DEAE]的最小值为[5-12]。

解法2：如图14所示，设[AE=2]，取[AE]中点[M]，连接[BM]，则[BM=12AE=1]，过[A]作[AN⊥AM]，且[AN=AM]，连接[DN]、[NE]，则[△BAM ]≌[△DAN]（SAS），∴[DN=BM=1]，在Rt[△NAE]中，[NE=AN2+AE2=5]，∵[DE≥EN-DN]，∴[DEmin=5-1]，∴[DEAEmin=5-12]。

评注：本题在求解[DEAE]最小值的过程中分别采用了两种方法：一是旋转法，将题中条件集中在[△AE′H]中，利用三角形三边关系求最值；二是全等法，将题中条件集中在[△AEN]中，利用三角形三边关系求最值。

总之，求线段比最值的方法归根结底就是转化，把所求线段比转化为另一组线段比，然后再把线段比转化为求一条线段的最值，从而求得线段比的最值。

（责任编辑 黄桂坚）

1.两相似正三角形的特征探究

2.两相似正六边形的特征探究

3.两相似一般三角形的特征探究

4.两相似一般四边形的特征探究

5.两相似多边形的特征：

6.两相似多边形的性质：

“共生”一詞来源于生物学，指不同属种的动植物之间，通过互相利用各自的特性和优势共同生存的状态，是指两种不同生物之间所形成的紧密互利关系。“共生”一词中“共”是共同之意，“生”是生长之意。

2022年4月21日，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》，引发了新一轮的数学教学改革，数学教学更关注学段衔接、单元教学、项目式学习以及学业质量标准等问题。从2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》到2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》再到2022年颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》），回顾20年的课程改革历程，2001年提出“双基”，数学教学开始关注学生的成长，关注学生的数学学习过程，关注学生的情感态度与价值观，教与学的方式开始发生转换；2011年提出“四基”“四能”，明确数学教学要引导学生积累数学基本活动经验、感悟数学基本思想，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，同时明确提出教学活动是师生共同参与、交往互动、共同发展的过程，表明课程目标中的过程与结果同等重要；2022年提出“三会”以及核心素养，改革的重心指向学科的整体规划、协同推进，将数学核心素养从小学、初中到高中连贯起来，选择引发学生思考的教学方式，进一步加强综合与实践，整体把握教学。

笔者认为，不断修订课程标准的根源在于社会发展带来的学生学习环境的变化以及社会对教育需求的提升。随着义务教育的普及，教育需求从“有”转向“优”，进一步明确“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”，优化育人蓝图。从这种意义上来说，数学教学需兼顾教学内容、教学手段、学生的学习与思考过程、教师的教学规划与实施过程。教师在设计教学时更需要关注学生、自身和教学内容之间的互动与共生，打造“共生课堂”，以“共生课堂”撬动课堂“生长”。

一、精心设计预习前测，实现学生与学习资源的“共生”

学生是学习的主体，预习是学生学习的第一步，也是实现学生有效学习的基础。但是，学生的预习多停留于对课本的粗略阅读，对知识的了解浮于表面，没有深入的思考，更缺乏提出问题的意识和能力，这样的预习不会带动学生知识和思维的“生长”。对此，教师精心设计预习前测，不仅可以帮助学生有效阅读课本知识，还能促进学生深度思考，实现学生与学习资源的“共生”。

例如，在人教版八年级上册“轴对称”的教学中，为促进学生的有效预习，以及实现学生与学习资源的“共生”，笔者设计了预习前测理解单。

最短路径问题前测理解单

1.阅读以下问题和解答过程。

如图1所示，在公路m同侧有两个工厂A、B，现要在公路上建一个仓库Q，使其到A、B两个工厂的距离之和最短，仓库Q应建在何处？

某同学正确画出了图形，并写出了画图过程。

解：如图2所示，①画出点[A]关于公路[m]的对称点[A1]；②连接[A1]与[B]，直线[A1B]与公路[m]交于一点，该点即为仓库[Q]所在的位置，此时仓库Q到[A]、[B]两工厂距离之和最短。

请你回答：这位同学断定仓库应建在“直线[A1B]与公路[m]的交点[Q]”的主要依据是（）。

A.垂线段最短

B.两点确定一条直线

C.两点之间，直线最短

D.两点之间，线段最短

2.如图3所示，直线[l]是一条河，[P]、[Q]两地在河的同侧，欲在l上的某点[M]处修建一个水泵站，向[P]、[Q]两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）。

A                           B

C                           D

3.如图4所示，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）。

A.（-2，0）           B.（4，0）

C.（2，0）             D.（0，0）

本节内容较抽象，学生在阅读理解课本内容时有一定的难度，甚至有不少学生在上完新课后可能仍对其中涉及的概念和原理感到困惑，所以通过设计前测理解单，帮助学生有目的地阅读，更能帮助学生逐步深入掌握本节内容。教师还录制了微视频供学生结合课本内容一起学习。通过微视频学习，学生了解如何将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题， 即“将军饮马问题”，理解通过轴对称实现将线段和最小值问题转化为“两点之间线段最短”问题，感悟转化思想， 理解如何通过逻辑推理证明所求距离最短，体会“任意”在数学证明中的重要作用。

二、巧妙创设情境，实现教师与学生的“共生”

《课标》指出，选择能引发学生思考的教学方式，强化情境设计与问题提出，注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养。在教学设计过程中，教师不断思考如何创设真实情境和合理的问题，以引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，促进学生知识和思维的“生长”。为此，教师需要更深入地探索数学知识与生活的联系，以及数学知识在生活中的运用。教师要用数学的眼光观察和思考生活中的问题，并将问题与所教授的数学内容紧密衔接，从而引出课堂学习的内容。教师的思考与问题设计不仅有利于促进学生对数学知识的学习与思考，还有利于提升教师的教学能力，促进教师的专业发展。

例如，在人教版九年级上冊“数据的收集与整理”单元中的“加权平均数”的内容教学中，教师创设超市购物的情境，让学生用数学的眼光观察生活中的问题，促进学生知识和思维的“生长”。

活动1：情境引入

为欢度国庆，同学们准备开展“迎国庆”主题班会，需要购买10斤果冻。超市有果肉、乳酸两种果冻，果肉果冻每斤20元，乳酸果冻每斤15元。为满足大家的不同口味，同学们可以怎样搭配呢？

思考：这几种购买方案的平均单价一样吗？如果不一样，哪种购买方案的平均单价更低呢？为什么？

[方案 果肉果冻20元/斤 乳酸果冻15元/斤 平均单价（元/斤） ① 1 9 ② 4 6 ③ 3 7 ④ 2 8 ⑤ 5 5 ⑥ W1 W2 ]

教师创设问题情境，并以问题串的形式呈现，引发学生的思考，让学生在实际问题中自己设定购买方案，并发现各个购买方案的平均单价的不同。学生从已有的数学经验出发，提出合理猜想。学生根据生活经验可以猜想第①种购买方案的平均单价可能最低，从中体会到由于果冻比重的不同导致平均单价的不同，由生活实际引出加权平均数，使学生快速投入数学活动中。让学生通过猜想、观察体会果冻的重量对果冻的平均价格的影响，使学生初步体会加权平均数的“权”作用。

活动2：明晰概念

（1）第①种购买方案的平均单价是多少？如何计算？有哪些不同的计算方法？

（2）其他购买方案的平均单价是多少？

让学生独立分析第①种购买方案中的平均单价。

教师应关注学生可能提出的不同解法，引导学生比较两种解法的区别，选择最优方法，给予肯定，并鼓励学生学习数学要大胆猜想、仔细验证。在学生猜想的基础上进一步提出问题，让学生用严密的数学计算来验证猜想的正确性，并通过解题过程让学生获得成功的体验，让学生清楚加权平均数的大小不仅受到各组数据值的大小的影响，而且受到各组值出现次数多少的影响。

又如在湘教版八年级上册“平方根”的教学中，教师通过地板砖的铺设实例引入教学内容，并围绕学习任务，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知规律的素材开展教学，让学生感受数学学习的实用性，激发学生的学習兴趣。

问题：某家庭在装修儿童房时需铺地砖10.8 m2，刚好用去正方形的地砖30块。你能算出每块地砖的边长是多少吗？

学生思考并作答。

师：如何计算正方形的边长？

教师展示学生的思考过程，并强调此题是已知面积求边长。

师：如果每个正方形的面积为1、4、9时，边长又是多少？

学生思考并作答，教师强调计算出边长的依据。

师：如果每个正方形的面积为5 m2，边长又是多少？如果每个正方形的面积为a m2，边长又是多少？

让学生体验已知一个数的平方求这个数的过程，为归纳平方根的概念做好铺垫，同时提出问题，让学生产生认知冲突，激发学生的求知欲。

对于比较抽象的函数概念的引入，学生很难体会变量之间的对应关系。对此，教师可以选择国庆假期的阅兵式的情境，让学生体会变量之间的对应关系，引发学生的思考。

问题情境：

1.请同学们观看国庆阅兵的视频，观察视频中的数学现象并提出数学问题。

生1：视频中的数学问题是士兵踢正步时速度不变，只是踢正步的步子数和路程在变化，哪些是变量？它们之间有什么关系？

教师结合学生的回答列表：

[步子数[x] 路程[y] 1 75 2 150 3 225 [?]                  [?]            ]

提问：刚才提出的数学问题中哪些是常量，哪些是变量？这些变量是怎么变化的？

2.生活中这样的问题很多，请同学们再举一些生活中含有变量的实例。

学生展示生活中含有变量的实例，讨论：常量有哪些？变量有几个？分别是哪些变量？它们之间有什么关系？ 这些变量是怎样变化的？

从生活入手，让学生学会观察生活中的数学问题，以精准而高效的方式指明本节课的学习内容，随后让学生回顾旧知识，并分享个人实例。这样，既复习了上节课的内容又引入了本节课的内容，同时提高学生把所学数学知识与现实世界相联系的意识和能力，让学生体会到数学与生活的紧密联系。

三、扩大思维空间，实现学生与学生的“共生”

教学内容是落实教学目标，发展学生核心素养的载体。课程实施过程中，教师需要对教学内容进行整体分析与拆解、重构处理，通过学习活动让学生体会数学知识的产生与发展、结构与关联，从而把握其价值与意义。学生通过参与学习活动，与同伴协作交流，在收获知识的同时，扩大了思维的空间，提升了核心素养，实现了思维的生长。

例如，人教版九年级下册“相似三角形”一节，教材只出示一个探究两个相似的正三角形和两个相似的正六边形的对应边和对应角的关系的问题，并不能体现数学研究问题从特殊到一般、从简单到复杂的过程，因此不利于学生之间的有效学习与交流。为此，教师就要将一个大的问题拆解成几个小问题，从特殊的正三角形出发，研究相似三角形的边、角特征，然后再扩充到较复杂的相似正六边形的边、角特征，在研究了边、角特殊的多边形后（如图5），让学生讨论边与角一般的三角形、四边形、多边形，再一次体会从简单到复杂、从特殊到一般的数学分析过程，从而体会研究数学问题的基本方法和思路， 落实“会用数学的思维思考现实世界”的目标。

[1.两相似正三角形的特征探究

2.两相似正六边形的特征探究

3.两相似一般三角形的特征探究

4.两相似一般四边形的特征探究

5.两相似多边形的特征：

6.两相似多边形的性质： ]

四、坚持教学反思，实现教师技能的“生长”

教学是一门充满未知色彩的艺术，即使一节课从备课的准备到课堂的呈现，教师都做了充分的准备和进行了仔细的打磨，但由于课堂上学生群体的不同，出现的问题也不尽相同。这就需要教师不断根据学生的表现，结合教材中的知识体系，坚持进行每一节课的课后教学反思。通过反思，思考教学内容，调整教学的方式和方法，这样不仅能更有效地促进学生学习，还能促进教师对教学内容的理解和把握，提高教师的教学技能，实现教师的专业发展。

课堂的“生长力”直接决定了课堂的实效。教师需要精心设计预习前测，巧妙创设情境，有效设计活动，以扩大学生的思维空间，努力实现学生与学习资源、教师与学生、学生与学生的“共生”。通过教师的教学反思，实现教师技能的“生长”，让教师的“生长”推动学生的成长，让学生的成长带动教师的“生长”，进而实现课堂的“共生”。

［   参   考   文   献   ］

［1］  汤虹.指向初中生数学概念理解的数学文化融入研究［D］.宁波：宁波大学，2022.

［2］  陈江红.渝中区“共生课堂”课时教学案例设计：一元二次方程及解法［J］.进展，2020（23）：73-75.

［3］  张勇.在体验中走向共生：初中数学共生课堂体验式教学的尝试与思考［J］.理科考试研究，2017（8）：35-36.

［4］  丁兆全.初中数学共生课堂体验式教学的尝试与思考［J］.新课程教学（电子版），2020（6）：77.

（责任编辑 黄桂坚）