二次函数背景下特殊四边形的存在性问题探究

黄芳

摘 要：二次函数与四边形都是初中数学的核心内容，二次函数背景下特殊四边形的存在性问题是中考的重点考查内容，常出现在压轴题中.这类问题难度较大，即使部分优秀学生对此类问题有所掌握，但在解题中也容易出现漏解，特别是用几何方法时存在作图准确性不够的缺陷.笔者另辟蹊径，在教学实践中将几何问题代数化，合理分类，有序组合，利用方程等模型，归纳出解决问题的基本思路和一般方法，取得了较好的效果.

關键词：二次函数；特殊四边形；存在性问题；探究

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）08-0016-03

在初中阶段，平行四边形、矩形、菱形、正方形等都是特殊的四边形，其与二次函数相结合的中考试题屡见不鲜，这类问题具有一定的选拔功能，对学生而言具有一定的难度.

1 知识引入

问题1 已知线段AB平行于y轴，A（-2，2），B（-2，-1），线段AB的长度是多少？

问题2 如图1，将线段AB平移到线段A1B1的位置，则点A1的坐标是.

学生运用平面直角坐标系中点的平移规律进行解答，有多种解法.下面展示其中一种解法.

如图2，连接AA1， BB1，分别过点A作x轴的垂线，过点A1作y轴的垂线相交于点E，过点B作y轴的垂线，过点B1作x轴的垂线相交于点F.易得△AA1E≌△B1BF.设A1的坐标是（x，y），则A1E=BF，x -（-2）=3-（-3），求得x=4，同理可得y=4.所以点A1的坐标为（4，4）.

设计意图：学生回顾平移的有关性质，可得AB∥A1B1， AA1∥BB1，且AB=A1B1，AA1= BB1，四边形ABB1A1是平行四边形，为后面的问题作铺垫 [1].

2 规律探究

问题3 如果有一个任意的平行四边形ABCD，顶点坐标分别A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），这四个顶点的横纵坐标之间分别有什么样的数量关系？

解析 过点A、D分别作x、y轴的垂线交于点E，过点B、C分别作x、y轴的垂线交于点F，易得△AED≌△CFB，所以DE=BF，AE=CF，即 xD-xA=xC-xB，yD-yA=yC-yB. 同理可得

追问1 反过来，如果有一个四边形ABCD，它的四个顶点的坐标满足上面的数量关系，这个四边形ABCD是平行四边形吗？

追问2 通过证明发现它们是一个等价于的关系.大家再仔细观察，上述两个方程组有什么共同特征？

追问3 同学们能用文字语言总结此结论吗？

性质：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的 横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．

判定：平面直角坐标系中，两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等的四边形是平行四边形，不妨称之为“对点法”.

设计意图：从平移线段开始引导学生观察平行四边形坐标间的关系，借助问题2的探究方法和思路，开展问题3的探究，归纳出一般结论，渗透化归，从特殊到一般等思想方法，得到的方程组简洁、对称性好，为结论的灵活应用创造了良好条件[2].

3 结论应用

3.1 类型1：“三定一动”型

例1 如图3，已知抛物线y=x2-x-2与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，点P是平面内一点，判断有几个位置能使以点P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐标．

解析 根据题意求出A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），设点P的坐标为（x，y），分三种情况讨论.

思路小结：第一步，求出定点，根据条件用含字母的式子表示动点的坐标，即设点；第二步，根据对应顶点分类，利用对点法列方程组求解，即求点；第三步，画出几何图形，检验结果的正确性，即验点.

设计意图：通过应用“对点法”，学生体验到从代数角度解决几何问题的优点，思路清晰，分类明确，不用借助图形，直接利用顶点间的关系列出方程组求出结果.第三步验点，让学生感受几何图形的直观，整个过程生动体现了华罗庚先生所说的“数缺形时少直观，形少数时难入微.”

3.2 类型2：“两定两动”型

例2 （2022年攀枝花中考试题改编）如图4，二次函数y=x2-2x的图象与x轴交于O、A两点，且二次函数的最小值为-1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．在二次函数图象上是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．

解析 根据条件易得A（2，0），B （0，1），设M （1，m ），N（n， n2-2n）.分三种情况讨论.当点N与点A相对，点B与点M相对时，得n+2=0+1， n= -1，n2-2n=3所以N（-1，3）；当点N与点B相对，点A与点M相对时，得n+0=1+2， n=3，n2-2n=3，所以N（3，3）；（3） 当点N与点M相对，点A与点B相对时，得n+1=0+2， n=1，n2-2n=-1，所以N（1，-1）.综上所述，满足条件的点N有三个，分别为（-1，3），（3，3），（1，-1）.

设计意图：进一步熟练对点法的应用，不用画出图形，直接根据例1的思路小结分类求解，并且此题求点N的坐标，只要求出n的值即可.根据条件不需要列出方程组，只需利用对点法中相对顶点的横坐标之和相等列出第一个方程就能得出结果.

3.3 类型3：“四动”型

练习 平面直角坐标中，y = 0.5x2+ x - 4与y轴相交于点B （0，-4），点P是抛物线上的动点，点Q是直线y = - x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点Q 的坐标.

设计意图：在应用结论环节，设计了“三定一动”和“两定两动”型问题，常规方法对学生而言是有一定困难的.利用对点法，直接设点列方程组求解点的坐标更加直接，通过两个例题总结了设点、求点的解题思路，最后拓展到四个动点的情况仍可用这样的方法解决.

4 拓展延伸

例3 （2022年随州中考试题改编）如图5，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴分别交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，且OA=OC，P为抛物线上一动点．设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解法从略，请读者自行探究.

设计意图：矩形的存在性问题有一定的难度，此题在对点法求平行四边形存在性的基础上再根据对角线相等的平行四边形是矩形的性质，利用勾股定理列方程，解出方程组即可.

5 教学思考

5.1 建构知识，理清脉络

二次函数背景下特殊四边形的存在性问题具有一定的挑战性，为了突破这一难点，我们归纳出“对点法”的解题策略.平行四边形的存在性问题中由“一动”“两动”到“四动”三个问题层层推进，让学生体会到方法的一致性和思维的连贯性.从平行四边形到矩形的例题设计注重层次性、阶梯性，始终有意识地挖掘学生的最近发展区，让难度螺旋式递进，遵循“高立意，低起点，深研究”的设计原则，让不同学习水平的学生都能从中获得进步和发展.

5.2 思想立意，提升思维

在中考复习中，数学思想方法的渗透也是教学的重任，本专题中运用了转化，化归、从特殊到一般、分类讨论、数形结合等思想对问题展开研究.比如，借助问题2的探究方法和思路开展问题3的探究，归纳出一般结论、渗透化归、从特殊到一般、数学建模等数学思想.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 杨少辉.二次函数中构造平行四边形的解题策略[J].新课程（中），2019（02）：94.