套代数上的一类非线性中心化子

纪玉德 吴冰 杨翠

摘 要：为了推广算子代数中的基本理论，对一类非线性映射成为套代数上的可加中心化子的条件进行了研究。首先，基于Hilbert空间上的非平凡套定义与该套有关的套代数，并定义套代数上的一个非线性映射；其次，采用矩阵分块方法获得关于此映射的几个性质；最后，证明套代数上满足某种条件的非线性映射为可加中心化子，给出刻画该映射的具体形式。结果表明，套代数上满足某种条件的非线性映射为可加中心化子，且可完全刻画。研究结果推广了非线性映射成为套代数上可加中心化子的结论，丰富了算子代数拓扑结构的分类问题，为套代数上其他类型非线性映射问题的刻画提供了借鉴与参考。

关键词：算子代数；中心化子；非线性映射；Hilbert空间；矩阵分块

中图分类号：O151.23  文献标识码：A  文章编号：1008-1542（2024）02-0176-05

A class of nonlinear centralizers on nest algebras

JI Yude1， WU Bing2， YANG Cui2

（1.School of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China；2.School of Engineering Management，Hebei Polytechnic Institute，Shijiazhuang，Hebei 050091，China）

Abstract：In order to extend the basic theory of operator algebras， the conditions for a class of nonlinear mappings to become additive centralizers on nest algebras were studied. Firstly， the nest algebras related to a non-trivial nest based on a Hilbert space was defined， and a nonlinear mapping on the nest algebra was defined. Secondly， several properties about this mapping were obtained by using the matrix partitioning method. Finally， it was proved that a nonlinear mapping on the nest algebra that satisfies certain conditions was an additive centralizer， and a specific form for characterizing this mapping was provided. The results show that the nonlinear mapping satisfying some conditions on nested algebras is additive centralizer and can be characterized completely. The research results promote the conclusion that nonlinear mappings become additive centralizers on nested algebras， enrich the classification problem of topological structure for operator algebras， and provide reference and guidance for characterizing other types of nonlinear mappings on nested algebras.

Keywords：operator algebras；centralizer；nonlinear mapping；Hilbert space；matrix partitioning

設ψ是环或代数M上的一个自映射。若?A，B∈M，有ψ（AB）=ψ（A）B或ψ（AB）=Aψ（B），则称ψ是M上的左中心化子或右中心化子。如果ψ既是左中心化子又是右中心化子，则称ψ是中心化子。作为环或代数上一类重要的变换，关于具有满足哪些条件的映射为中心化子的研究一直受到许多学者的关注[1-13]，但大多要求映射具有可加性或线性性。例如：文献[1]证明了2-无扰自由半素环M上满足2ψ（A2）=ψ（A）A+Aψ（A）（?A∈M）的可加映射ψ是中心化子；文献[2]证明了J-子空间格代数中全体有限秩算子构成的代数F（L）上满足ψ（P）=ψ（P）P=Pψ（P）的线性映射ψ是中心化子；文献[3]刻画了完全分配可交换子空间格代数Alg L上满足条件ψ（Am+n+1）-Amψ（A）An∈FI（?A∈Alg L）的可加映射ψ的具体形式，即存在Alg L中心里的元素λ，使得ψ（A）=λA；文献[4]研究了完全分配可交换子空间格代数上的广义Jordan中心化映射。事实上，自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的，因此对各种非线性问题的研究成为热点问题[14-21]。本文将考虑套代数上满足某种条件的非线性映射，证明此映射为可加中心化子，并给出完全刻画。

1 预备知识

定义1 设H为实或复数域F上的Hilbert空间，B（H）表示H上的全体有界线性算子构成的代数。如果N是B（H）中的一个包含零算子I和单位算子I的全序投影族，且在强算子拓扑下是闭的，则称N是一个套。与套N相对应的套代数记为Alg N，并定义为Alg N={T∈B（H）：TX?X，X∈N}。

如果套N至少含有一个非平凡投影，则称套N是非平凡的；否则，称套N是一个平凡套。显然，平凡套N对应的套代数Alg N即为B（H）。

本文假设套N是非平凡的，并取P1∈N为一个固定非平凡投影，记P2=I-P1且Mij=（Pi）Alg（NPj）（1≤i≤j≤2），则Alg N=M11⊕M12⊕M22，其中⊕表示直和。

2 主要结果

定理1 设H为实或复数域F上的Hilbert空间，N为H上的非平凡套，Alg N是与套N有关的套代数，并且ψ：Alg N→Alg N是一个映射（无可加或线性假设）。如果存在满足（m+n）（m-n）≠0的非零整数m，n，使得

2mψ（AB）+2nψ（BA）=mψ（A）B+mAψ（B）+nψ（B）A+nBψ（A）（1）

对所有的A，B∈Alg N成立，则存在λ∈F，使得对所有的A∈Alg N，有ψ（A）=λA。

引理1 设Aij∈Mij（1≤i≤j≤2），则

1）若A11M12=0，则A11=0；

2）若M12A22=0，则A22=0；

3）若M11A12=0，则A12=0；

4）若A12M22=0，则A12=0。

引理2 ψ（0）=0。

证明：由式（1）得，2mψ（0）+2nψ（0）=mψ（0）0+m0ψ（0）+nψ（0）0+n0ψ（0），故2（m+n）ψ（0）=0，从而ψ（0）=0。证毕。

引理3 ψ（Mij）?Mij（1≤i≤j≤2）。

证明：由式（1）得，2mψ（P1）+2nψ（P1）=mψ（P1）P1+mP1ψ（P1）+nψ（P1）P1+nP1ψ（P1），化简得

2ψ（P1）=ψ（P1）P1+P1ψ（P1）。（2）

对式（2）等号两边同时乘P2，得P2ψ（P1）P2=0。对式（2）等号左边乘P1右边乘P2，得P1ψ（P1）P2=0。所以ψ（P1）∈M11。类似可以证明ψ（P2）∈M22。

对任意的A11∈M11，由于A11P2=P2A11=0，从而由式（1）及引理2，有

0=2mψ（A11P2）+2nψ（P2A11）=mψ（A11）P2+mA11ψ（P2）+nψ（P2）A11+nP2ψ（A11），化简得

mψ（A11）P2+nP2ψ（A11）=0。（3）

对式（3）等号两边同时乘P2，得P2ψ（A11）P2=0。对式（3）等号左边乘P1右边乘P2，得P1ψ（A11）P2=0。从而ψ（A11）∈M11。类似可以证明ψ（A22）∈M22。

对任意的A12∈M12，由于A12P1=0，从而由式（1）及引理2，有

2nψ（A12）=2mψ（A12P1）+2nψ（P1A12）=mψ（A12）P1+mA12ψ（P1）+nψ（P1）A12+nP1ψ（A12）=mψ（A12）P1+nψ（P1）A12+nP1ψ（A12）。（4）

对式（4）等号两边同时乘P1，得2nP1ψ（A12）P1=（m+n）P1ψ（A12）P1，即（m-n）P1ψ（A12）P1=0，从而P1ψ（A12）P1=0。对式（4）等号两边同时乘P2，得P2ψ（A12）P2=0，从而ψ（A12）∈M12。

引理4 设Aij，Bij∈Mij（1≤i≤j≤2），则

1）ψ（A11A12）=ψ（A11）A12=A11ψ（A12）；

2）ψ（A12A22）=ψ（A12）A22=A12ψ（A22）；

3）ψ（A11B11）=ψ（A11）B11=A11ψ（B11）；

4）ψ（A22B22）=ψ（A22）B22=A22ψ（B22）。

证明：由式（1）、引理2和引理3可知，2mψ（A11A12）=2mψ（A11A12）+2nψ（A12A11）=mψ（A11）A12+mA11ψ（A12）+nψ（A12）A11+nA12ψ（A11）=mψ（A11）A12+mA11ψ（A12），从而

2ψ（A11A12）=ψ（A11）A12+A11ψ（A12）。（5）

在式（5）中取A11=P1，并注意到P1ψ（A12）=ψ（A12），故ψ（A12）=ψ（P1）A12。

同理得2ψ（A12A22）=ψ（A12）A22+A12ψ（A22），进而ψ（A12）=A12ψ（P2），则ψ（A11A12）=A11A12ψ（P2）=A11ψ（A12），再由式（5），有ψ（A11A12）=ψ（A11）A12。

类似可以证明ψ（A12A22）=ψ（P1）A12A22=ψ（A12）A22，ψ（A12A22）=A12ψ（A22）。

由引理4的（1），对任意的A12∈M12，有ψ（A11B11）A12=ψ（A11B11A12）=ψ（A11）B11A12，

且ψ（A11B11）A12=ψ（A11B11A12）=A11ψ（B11A12）=A11ψ（B11）A12，

從而（ψ（A11B11）-ψ（A11）B11）A12=0， （ψ（A11B11）-A11ψ（B11））A12=0。

由引理1的（1）和引理3，可得ψ（A11B11）=ψ（A11）B11=A11ψ（B11）。

类似可以证明ψ（A22B22）=ψ（A22）B22=A22ψ（B22）。证毕。

引理5 设Aij∈Mij（1≤i≤j≤2），则

1）ψ（A11+A12）=ψ（A11）+ψ（A12）；

2）ψ（A12+A22）=ψ（A12）+ψ（A22）。

证明：由式（1）、引理2和引理4，可得

2mψ[WB]（A11+A12）+2nψ（A11）=2mψ（P1（A11+A12））+2nψ（（A11+A12）P1）=mψ（P1）（A11+A12）+mP1ψ（A11+A12）+nψ（A11+A12）P1+n（A11+A12）ψ（P1）=（m+n）ψ（A11）+mψ（A12）+mP1ψ（A11+A12）+nψ（A11+A12）P1，即

2mψ（A11+A12）=（m-n）ψ（A11）+mψ（A12）+mP1ψ（A11+A12）+nψ（A11+A12）P1。 （6）

对式（6）等号两边同时乘P2，得P2ψ（A11+A12）P2=0。对式（6）等号左边乘P1右边乘P2，得

2mP1ψ（A11+A12）P2=mψ（A12）+mP1ψ（A11+A12）P2，从而P1ψ（A11+A12）P2=ψ（A12）。

对式（6）等号两边同时乘P1，得2mP1ψ（A11+A12）P1=（m-n）ψ（A11）+（m+n）P1ψ（A11+A12）P1。移项，有（m-n）P1ψ（A11+A12）P1=（m-n）ψ（A11），从而P1ψ（A11+A12）P1=ψ（A11）。所以ψ（A11+A12）=ψ（A11）+ψ（A12）。

類似可以证明ψ（A12+A22）=ψ（A12）+ψ（A22）。证毕。

引理6 设Aij，Bij∈Mij（1≤i≤j≤2），则

1）ψ（A12+B12）=ψ（A12）+ψ（B12）；

2）ψ（A11+B11）=ψ（A11）+ψ（B11）；

3）ψ（A22+B22）=ψ（A22）+ψ（B22）。

证明：对任意的A12，B12∈M12，因为A12+B12=（P1+A12）（P2+B12）且（P2+B12）（P1+A12）=0，由式（1）、引理2—引理5，有

2mψ（A12+B12）=2mψ（（P1+A12）（P2+B12））+2nψ（（P2+B12）（P1+A12））=mψ（P1+A12）（P2+B12）+m（P1+A12）ψ（P2+B12）+nψ（P2+B12）（P1+A12）+n（P2+B12）ψ（P1+A12）=2mψ（B12）+2mψ（A12）。

故ψ（A12+B12）=ψ（A12）+ψ（B12）。

对任意的A11，B11∈M11，一方面，由引理4，有ψ（（A11+B11）A12）=ψ（A11+B11）A12；另一方面，由引理4和引理6的1），有ψ（（A11+B11）A12）=ψ（A11A12）+ψ（B11A12）=ψ（A11）A12+ψ（B11）A12。

比较以上2个式子，可得（ψ（A11+B11）-ψ（A11）-ψ（B11））A12=0。

由引理1中的1），得ψ（A11+B11）=ψ（A11）+ψ（B11）。

类似可以证明ψ（A22+B22）=ψ（A22）+ψ（B22）。证毕。

引理7 设Aij∈Mij（1≤i≤j≤2），则

ψ（A11+A12+A22）=ψ（A11）+ψ（A12）+ψ（A22）。

证明：由式（1）及引理4可知，

2（m+n）[WB]ψ（A22）+2nψ（A12）=2mψ（P2（A11+A12+A22））+2nψ（（A11+A12+A22）P2）=mψ（P2）（A11+A12+A22）+mP2ψ（A11+A12+A22）+nψ（A11+A12+A22）P2+n（A11+A12+A22）ψ（P2）=（m+n）ψ（A22）+nψ（A12）+mP2ψ（A11+A12+A22）+nψ（A11+A12+A22）P2，从而

（m+n）ψ（A22）+nψ（A12）=mP2ψ（A11+A12+A22）+nψ（A11+A12+A22）P2。（7）

对式（7）等号左边乘P1右边乘P2，得ψ（A12）=P1ψ（A11+A12+A22）P2。对式（7）等号两边同时乘P2，得ψ（A22）=P2ψ（A11+A12+A22）P2。类似可以证明ψ（A11）=P1ψ（A11+A12+A22）P1，从而ψ（A11+A12+A22）=ψ（A11）+ψ（A12）+ψ（A22）。证毕。

注1 引理1—引理7给出了定义在套代数上的映射（无可加或线性假设）在满足式（1）下的相关性质，为定理1证明其成为可加中心化子提供了理论基础。

定理1的证明： 设A，B∈Alg N，则A=A11A12A22，B=B11B12B22，其中Aij，Bij∈Mij（1≤i≤j≤2）。由引理6和引理7，有

ψ（A+B）=ψ（A11+B11）+ψ（A12+B12）+ψ（A22+B22）=ψ（A11）+ψ（B11）+ψ（A12）+ψ（B12）+ψ（A22）+ψ（B22）=ψ（A11+A12+A22）+ψ（B11+B12+B22）=ψ（A）+ψ（B），

故ψ具有可加性。又由引理3和引理4可知，

ψ（AB）=[WB]ψ（A11B11+A11B12+A12B22+A22B22）=ψ（A11B11）+ψ（A11B12）+ψ（A12B22）+ψ（A22B22）=ψ（A11）B11+ψ（A11）B12+ψ（A12）B22+ψ（A22）B22=A11ψ（B11）+A11ψ（B12）+A12ψ（B22）+A22ψ（B22）=ψ（A11+A12+A22）（B11+B12+B22）=（A11+A12+A22）ψ（B11+B12+B22）=ψ（A）B=Aψ（B）。

这说明ψ是套代数Alg N上的一个中心化子。进而对任意的A∈Alg N，有ψ（A）=ψ（I）A=Aψ（I）。而套代数的一次换位是恒等算子的常数倍，则存在λ∈F，使得ψ（I）=λI，从而对任意的A∈Alg N，有ψ（A）=λA。证毕。

3 结 语

本文运用矩阵分块方法研究了套代数上的一类非线性映射，通过几个引理给出了此映射的性质，获得了其成为可加中心化子的条件，并得到具体形式。该结果可为将来中心化子的研究提供依据与参考。

但是本文是在非线性映射满足特定条件下考虑的可加中心化子问题，限制条件较强。在今后的研究中，将会探索削弱非线性映射所满足的条件，进一步研究此类问题的更一般化结果。

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责任编辑：张士莹

基金项目：国家自然科学基金（61972093）；河北省自然科学基金（F2022208007）；河北省高等学校科学技术研究项目（ZD2022136）

第一作者简介：纪玉德（1979—），男，内蒙古赤峰人，副教授，博士研究生，主要从事微分方程边值问题方面的研究。

通信作者：吴冰，副教授。E-mail：wubing2018@126.com纪玉德，吴冰，杨翠.套代数上的一类非线性中心化子［J］.河北科技大学学报，2024，45（2）：176-180.JI Yude，WU Bing，YANG Cui.A class of nonlinear centralizers on nest algebras［J］.Journal of Hebei University of Science and Techno-logy，2024，45（2）：176-180.