具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统解的存在性

2024-05-10张蓓司换敏江卫华郭春静陈坤

河北科技大学学报 2024年2期

张蓓司换敏江卫华郭春静陈坤

摘要：为了拓展分数阶微分方程系统的相关理论，研究了一类具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统。首先，将具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统转化为积分系统；其次，定义合适的Banach乘积空间和范数，构造合适的积分算子，分别运用压缩映像原理和Kransnoselskii不动点定理得出耦合φ-Hilfer分数阶微分系统在积分边界条件下解的存在性结果；最后，通过列举实例说明所得结论的正确性。研究表明，积分边界条件下的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统的解具有存在性。研究结论丰富了耦合分数阶微分系统理论可解性的相关理论，可为深入研究分数阶微分方程提供一定的理论参考。

关键词：解析理论；φ-Hilfer分数阶导数；耦合系统；压缩影像原理；Kransnoselskii不动点定理；解的存在性

中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1008-1542（2024）02-0159-09

Existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractionaldifferential systems with integral boundary conditions

ZHANG Bei1， SI Huanmin1， JIANG Weihua1， GUO Chunjing1， CHEN Kun2

（1.School of Sciences， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China；2.Office of Academic Affairs，Shijiazhuang People's Medical College，Shijiazhuang，Hebei 050091，China）

Abstract：In order to expand the relevant theory of fractional differential equation systems， a class of coupled φ-Hilfer fractional differential systems with integral boundary conditions was studied. Firstly， the coupled φ-Hilfer fractional differential system with integral boundary conditions was transformed into an integral system. Secondly， the appropriate Banach product space and norm were defined， the appropriate integral operator was constructed， and the existence result of the solution of the coupled φ-Hilfer fractional differential system under the integral boundary condition was given by using the compressed image principle and Kransnoselskii's fixed point theorem， respectively. Finally， examples were given to illustrate the correctness of the conclusions obtained. The results show that the solutions of the coupled φ-Hilfer fractional differential system under the integral boundary condition exist. The existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractional differential systems is studied for the first time by using the compressed image principle and Kransnoselskii's fixed point theorem， respectively， and some innovative new results are obtained. In addition， the research conclusion enriches the relevant theories of the theoretical solvability of coupled fractional differential systems， and provides certain theoretical reference value for the further study of fractional order differential equations.

Keywords：analytic theory; φ-Hilfer fractional order derivative; coupling system; the principle of compressed images; Kransnoselskii's fixed point theorem; existence of solutions

目前，分数阶微积分理论得到不断完善，吸引了越来越多专家和学者的关注[1-13]，推动了科学和工程等诸多领域的发展。Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数应用较为广泛，是分数阶微分方程研究的基础。Hilfer分数阶导数同时包含Riemann-Liouville导数和Caputo导数，而φ-Hilfer分数阶导数又是Hilfer分数阶导数的推广。因此，对具有φ-Hilfer导数的分数阶微分方程或者耦合系统进行研究得到的结果更具有一般化，能够推广之前得到的研究结论，具有一定的研究意义。近年来，有学者对φ-Hilfer分數阶微分方程边值问题及其应用进行了深入研究，并且取得了一些理论成果[14-17]。

ALMALAHI等[18]利用Schaefer不动点定理研究了非线性φ-Hilfer分数阶微分方程边值问题Dq，r;φ0+v（μ）=λv（t）+f（t，v（t）），v（0）=0， v（b）=∑mi=1δiIζ，φ0+v（τi），其中Dq，r;φ0+是q阶r型φ-Hilfer分数阶导数，1

ABDO等[19]利用Kransnoselskiis不动点定理和压缩映像原理研究了φ-Hilfer分数阶微分方程多点边值问题Dα，β;φa+u（t）=f（t，u（t），χu（t））， 0<α<1，0≤β≤1，t∈（a，b］，I1-γ;φa+u（t）|t=a=ua+∑mk=1cku（τk）， τk∈（a，b），α≤γ=α+β-αβ。

式中：ua∈R，Dα，β;φa+是α阶β型φ-Hilfer分数阶导数，I1-γ;φa+（·）是φ-Riemann-Liouville分数阶积分，χu（t）：=∫t0h（t，s，u（s））ds，a<τ1<…<τm

AHMAD等[20]利用Leray-Schauders非线性抉择和Banach压缩映像原理等研究了具有积分边界条件的耦合Hadamard分数阶微分系统Dαu（t）=f（t，u（t），v（t））， Dβv（t）=g（t，u（t），v（t）），HDα2，β2;φa+x2（t）+λ2（t）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，u（1）=0， u（e）=Iγu（σ1）， v（1）=0， v（e）=Iγv（σ2）。

式中：γ>0;σ1∈（1，e）;σ2∈（1，e）;Iγ是Hadamard分数阶积分;f，g：［1，e］×R×R→R是连续函数。

目前，学者对φ-Hilfer分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性已經进行了广泛研究，但鲜有关于φ-Hilfer分数阶耦合微分系统的研究。为此，本文研究下列具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统HDα1，β1;φa+x1（t）+λ1（t）f1（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，HDα2，β2;φa+x2（t）+λ2（t）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，x1（a）=0， x1（b）=η1∫bax2（s）ds，x2（a）=0， x2（b）=η2∫bax1（s）ds（1）

解的存在性，其中1<αi<2，0≤βi≤1，ηi>0，HDαi，βi;φa+是αi阶βi型φ-Hilfer分数阶导数，λi：J→R是黎曼可积的函数，fi∈C（J×R2，R），i=1，2。

1 预备知识

为了更好地得出主要结论，引入一些符号和重要定义及引理。

η*=max{η1，η2}，A*=max{A1，A2}，ρ1=max{（φ（b）-φ（a））γ1-1，（φ（b）-φ（a））γ2-1}，ρ2=max{（φ（b）-φ（a））1-γ1，（φ（b）-φ（a））1-γ2}，θ=max{K1+K2，L1+L2}，ó=max（φ（b）-φ（a））α1Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2Γ（α2+1），ω=max（φ（b）-φ（a））α1+1Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2+1Γ（α2+1），σ=max（φ（b）-φ（a））α1-γ1+2Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2-γ2+2Γ（α2+1）。

定义1[21] 假设n-1<α

定义2[21] 设1<α<2，0≤β≤1，γ=α+2β-αβ，且对于每一个t∈J，φ∈C2［a，b］是递增函数以及满足φ′（t）≠0。定义连续函数x：［a，b］→R的加权空间为C2-γ;φ［a，b］={x：［a，b］→R|（φ（t）-φ（a））2-γx（t）∈C［a，b］}，1<γ≤2，赋予范数为‖x‖C2-γ;φ=maxt∈［a，b］|（φ（t）-φ（a））2-γx（t）|，显然C2-γ;φ［a，b］是Banach空间。

定义3[21] 对于任意的（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，定义乘积空间为C2-γ;φ［a，b］=C2-γ1;φ［a，b］×C2-γ2;φ［a，b］，且范数为‖（x1，x2）‖C2-γ;φ=‖x1‖C2-γ1;φ+‖x2‖C2-γ2;φ。

引理1[21] 若f∈Cn［a，b］，n-1<α

引理2[22]（压缩映像原理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映像，那么T有且仅有一个不动点。

引理3[22][WTHZ]（Krasnoselskii不动点定理）设Ω是Banach空间X中的一个非空凸闭子集，且设P，Q是2个算子，满足：a）对任意的x，y∈Ω，有Px+Qy∈Ω；b）P是全连续映射；c）Q是一个压缩映射，那么至少存在一个z∈Ω，使得z=Pz+Qz。

引理4 设1<αi<2，0≤βi≤1，γi=αi+2βi-αiβi，ηi>0且yi∈C（J，R），i=1，2。假设A1=∫ba（φ（s）-φ（a））γ2-1ds，A2=∫ba（φ（s）-φ（a））γ1-1ds，并且满足A=（φ（b）-φ（a））γ1+γ2-2-η1η2A1A2≠0，则（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］是下列具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统

HDα1，β1;φa+x1（t）+y1（t）=0， t∈J=［a，b］，HDα2，β2;φa+x2（t）+y2（t）=0， t∈J=［a，b］，x1（a）=0， x1（b）=η1∫bax2（s）ds，x2（a）=0， x2（b）=η2∫bax1（s）ds（2）

的解，当且仅当（x1，x2）满足积分方程系统

xi（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1A（φ（b）-φ（a））γj-1Γ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτ- [DW]ηi（φ（b）-φ（a））γj-1Γ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1yj（τ）dτds+1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτ-ηiAiΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1yj（τ）dτ-η1η2AiΓ（αi）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτds］，

其中i，j=1，2，i≠j。

證明：由式（2）的第1个方程可知：

HDα1，β1;φa+x1（t）=-y1（t）。（3）对式（3）的两边同时作用Iα1;φa+（·），可得Iα1;φa+HDα1，β1;φa+x1（t）=-Iα1;φa+y1（t）。

通过引理1，可得

x1（t）=c1（φ（t）-φ（a））γ1-1+c2（φ（t）-φ（a））γ1-2-Iα1;φa+y1（t），t∈［a，b］，（4）其中c1=1Γ（γ1）1φ′（t）ddtI（1-β1）（2-α1）;φa+x1（t）|t=a， c2=1Γ（γ1-1）I（1-β1）（2-α1）;φa+x1（t）|t=a。

根据式（2）的边界条件x1（a）=0，有c2=0，那么式（4）变为

x1（t）=c1（φ（t）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（t），t∈［a，b］。（5）

类似地，依据式（2）的第2个方程和边界条件x2（a）=0，可得x2（t）=d1（φ（t）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（t），t∈［a，b］，（6）

其中d1=1Γ（γ2）1φ′（t）ddtI（1-β2）（2-α2）;φa+x2（t）|t=a。

一方面，利用边界条件x1（b）=η1∫bax2（s）ds得

c1（φ（b）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（b）=η1∫ba［d1（φ（s）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（s）］ds ，（7）

因为A1=∫ba（φ（s）-φ（a））γ2-1ds，所以通过式（7），可得

d1=1η1A1c1（φ（b）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（b）+η1∫baIα2;φa+y2（s）ds 。（8）

另一方面，依据边界条件x2（b）=η2∫bax1（s）ds得

d1（φ（b）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（b）=η2∫ba［c1（φ（s）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（s）］ds，（9）

利用A2=∫ba（φ（s）-φ（a））γ1-1ds，A=（φ（b）-φ（a））γ1+γ2-2-η1η2A1A2≠0，且将式（8）代入式（9），可以得到

c1=1A（φ（b）-φ（a））γ2-1Γ（α1）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτ-η1（φ（b）-φ（a））γ2-1Γ（α2）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτds+η1A1Γ（α2）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτ-η1η2A1Γ（α1）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτds，

将c1代入式（5），则可以得到积分方程系统的第1个方程。再将c1代入式（8）得

d1=1A（φ（b）-φ（a））γ1-1Γ（α2）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτ- η2（φ（b）-φ（a））γ1-1Γ（α1）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτds+η2A2Γ（α1）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτ-η1η2A2Γ（α2）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτds，

最后，将d1代入式（6），则可以得到积分方程系统的第2个方程，即引理得证。

2 主要结果

引入3个算子Ti：C2-γi;φ［a，b］→C2-γi;φ［a，b］和T：C2-γ;φ［a，b］→C2-γ;φ［a，b］，分别定义为Ti（x1，x2）（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-ηi（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτds+ηiAi（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-η1η2Ai（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αi）×∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτds-1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ，?t∈［a，b］，i，j=1，2，i≠j，且T（x1，x2）（t）=（T1（x1，x2）（t），T2（x1，x2）（t）），?t∈［a，b］，（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，则（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］是系统（1）的解当且仅当（x1，x2）是算子T的不动点。

假设λi：J→R是黎曼可积函数，fi：J×R2→R是连续函数，i=1，2，并且满足下列条件：

（H1）存在常数M>0，使得对?t∈J，有|λi（t）|≤M，i=1，2;

（H2）存在常数Ki，Li>0，i=1，2，使得对（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［a，b］，有fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）≤Ki（φ（t）-φ（a））2-γ1u1-v1+Li（φ（t）-φ（a））2-γ2u2-v2。

（H3）存在常数r，N>0，使得对t∈J，（u1，u2）∈C2-γ;φ［a，b］且‖（u1，u2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r，有fi（t，u1，u2）≤N，i=1，2，并且r≥4MN·max{ω（ρ1+η*A*）η*（b-a）+1A，σ}。

定理1 假设条件（H1）和条件（H2）成立，且满足条件Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}<1，则系统（1）存在唯一解。

因此，‖T（x1，x2）（t）-T（y1，y2）（t）‖C2-γ;φ［a，b］≤Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}‖（x1，x2）-（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］，又因为Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}<1，根据引理2，可以得出系统（1）存在唯一解。

定理2 假设条件（H1）-（H3）成立，且满足Mσθ<1，‖（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］则系统（1）至少有1个解。

证明：取闭球Br={（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］|‖（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r}，其中r≥4MN·max[JB（{]ω（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］|A|，σ。

定义算子如下：

P=（P1，P2）：Br→C2-γ;φ［a，b］和Q=（Q1，Q2）：Br→C2-γ;φ［a，b］，其中对t∈［0，1］，（x1，x2）∈Br。Pi，Qi：Br→C2-γi;φ［a，b］定义为

Pi（x1，x2）（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-ηi（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτds+ηiAi（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-η1η2Ai（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）×∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτds，Qi（x1，x2）（t）=-1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ，i，j=1，2，i≠j。

因此，T1=P1+Q1，T2=P2+Q2，T=P+Q。

1）證明对于?（x1，x2），（y1，y2）∈Br，有P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈Br。

因此，‖P（x1，x2）+Q（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r。故对（x1，x2），（y1，y2）∈Br，有P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈Br。

2）证明P是全连续映射。

设序列（x1n，x2n）∈C2-γ;φ［a，b］，（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，且limn→∞‖（x1n，x2n）-（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］=0，则对t∈［a，b］，根据条件（H1）、条件（H2）和定理1的证明方法，可得

|（φ（t）-φ（a））2-γi［Pi（x1n，x2n）（t）-Pi（x1，x2）（t）］|≤M（φ（b）-φ（a））αi+1|A|Γ（αi+1）［（φ（b）-φ（a））γj-1+η*2A*（b-a）］×（Ki‖x1n-x1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2n-x2‖C2-γ2;φ［a，b］）+M（φ（b）-φ（a））αj+1|A|Γ（αj+1）［η*（φ（b）-φ（a））γj-1（b-a）+η*A*］×（Kj‖x1n-x1‖C2-γ1;φ［a，b］+Lj‖x2n-x2‖C2-γ2;φ［a，b］），其中i，j=1，2，i≠j。所以，

‖P（x1n，x2n）-P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］=‖P1（x1n，x2n）-P1（x1，x2）‖C2-γ1;φ［a，b］+‖P2（x1n，x2n）-P2（x1，x2）‖C2-γ2;φ［a，b］≤Mωθ|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］‖（x1n，x2n）-（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］，

所以，当n→∞时，‖P（x1n，x2n）-P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］→0，即P关于（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］连续。

3）证明算子P的紧性。

任取（x1，x2）∈Br，得‖P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］≤2MNω|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］，即P（Br）一致有界。

又因为对（x1，x2）∈Br，t1，t2∈［a，b］，t1

同理，当t1→t2时，|（φ（t1）-φ（a））2-γ2P2（x1，x2）（t1）-（φ（t2）-φ（a））2-γ2P2（x1，x2）（t2）|→0，则P1（Br）和P2（Br）是等度连续的，因此，P（Br）是等度连续的。根据Arzela -Ascoli定理可知，P在C2-γ;φ［a，b］上是紧的，故算子P全连续。

4）证明Q为压缩算子。

对?（x1，x2），（y1，y2）∈Br，?t∈［a，b］，有|（φ（t）-φ（a））2-γi［Qi（x1，x2）（t）-Qi（y1，y2）（t）］|≤Mσ（Ki‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］），‖Q（x1，x2）-Q（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］≤Mσ［（K1+K2）‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+（L1+L2）‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］］≤Mσθ‖（x1，x2）-（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］，i=1，2，又因为Mσθ<1，所以Q（x1，x2）为压缩算子得证。

综上，根据引理3可知，系统（1）在J上至少有1个解。

3 应用举例

例1 考虑下列分数阶微分方程系统：

HD54，12;4t3+ta+x1（t）+（t3+1）f1（t，x1（t），x2（t））=0， t∈［0，1］，HD85，13;4t3+ta+x2（t）+（t5+2）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈［0，1］，x1（0）=0， x1（1）=12∫10x2（s）ds， x2（0）=0， x2（1）=13∫10x1（s）ds（10）

解的存在性，其中

f1（t，u1，u2）=（4t3+t）38arctan u124×（t2+9）2+（4t3+t）415sin u22t3+1 945+3486×（t+2）2，

f2（t，u1，u2）=（4t3+t）38u1（t+4）5+916+（4t3+t）415|u2|78×（5+|u2|）+4（2t+35）2+715。

解：α1=54，β1=12，α2=85，β2=13，γ1=138，γ2=2615，a=0，b=1，η1=12，η2=13，φ（t）=4t3+t，λ1（t）=t3+1，λ2（t）=t5+2。顯然，λ1（t），λ2（t）在［0，1］上黎曼可积，f1，f2是［0，1］×R2上的连续函数，并且满足下列条件：

1）存在常数M=2>0，对t∈J=［0，1］，有|λi（t）|≤max{1，2}=2=M；

2）存在K1>0，K2>0，L1>0，L2>0，使得对?（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［0，1］，有|fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）|≤Ki（φ（t）-φ（0））2-γ1|u1-v1|+Li（φ（t）-φ（0））2-γ2|u2-v2|，i=1，2；

3）由于η*=12，θ≈0.001 0，A*≈1.223 9，ρ1≈3.255 2，ρ2≈0.365 7，ω≈45.930 4，|A|≈8.667 7，因此，Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}≈0.095 1<1。由定理1可得系统（10）存在唯一解。

例2 考虑下述分数阶微分方程系统：

HD32，13;5t65+2ta+x1（t）+2t2f1（t，x1（t），x2（t））=0， t∈［0，1］，HD53，12;5t65+2ta+x2（t）+3t2f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈［0，1］，x1（0）=0， x1（1）=14∫10x2（s）ds， x2（0）=0， x2（1）=15∫10x1（s）ds（11）

解的存在性，其中

f1（t，u1，u2）=（5t65+2t）13|u1|3（t+8）3（1+|u1|）+（5t65+2t）16arctan u21 537+196t2+256，

f2（t，u1，u2）=（5t65+2t）13sin u11 735+（5t65+2t）16|u2|6×（t+17）2（1+|u2|）+15×（et+6）3+19。

解：α1=32，β1=13，α2=53，β2=12，γ1=53，γ2=116，a=0，b=1，η1=14，η2=15，λ1（t）=2t2，λ2（t）=3t2，φ（t）=5t65+2t。λ1（t），λ2（t）在［0，1］上黎曼可積，f1，f2在［0，1］×R2上连续且满足：

1）存在常数M=3>0，对t∈J=［0，1］，有|λi（t）|≤max{2，3}=3=M；

3）存在r=2，N=1512，使得对t∈J，（u1，u2）∈C2-γ;φ［a，b］且‖（u1，u2）‖C2-γ;φ［a，b］≤2，有|fi（t，u1，u2）|≤N，并且由于ω≈119.173 8，ρ1≈5.061 1，η*=14，A*≈2.597 1，|A|≈18.250 1，因此，可得2=r≥4MN·maxω（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］|A|，σ[JB）}]≈1.092 5；

4）因为M=3，θ≈0.001 2，σ≈23.546 8，所以Mσθ<1。由定理2可以得到系统（11）至少有1个解。

4 结语

1）本文使用压缩映像原理和Krasnoselskii不动点定理，研究了一类具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统，得到了这类微分系统解的存在性结果，并且列举了2个具体实例说明结论的正确性。研究结果表明，压缩映像原理和Krasnoselskii不动点定理能够有效解决具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统解的存在性问题。

2）由于φ-Hilfer分数阶导数的定义更具有一般性，因而本研究包含并推广了之前学者研究的具有Riemann-Liouville分数阶导数、Caputo分数阶导数以及Hilfer分数阶导数的耦合分数阶微分系统的结果，丰富了分数阶微分系统理论，可为许多数学模型的建立开拓思路，解决更多现实生活中的实际问题。

但是，本文是在非线性项连续的条件下考虑的耦合系统，限制条件较强，因此在以后的研究中，将通过削弱非线性项满足的条件，进一步探究此类系统存在解的更一般化的结果。

参考文献/References：

[1] BAI Z. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equation[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005，311（2）：495-505.

[2] ZHAO Yige，SUN Shurong，HAN Zhenlai，et al.Positive solutions to boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J].Abstract and Applied Analysis，2011.DOI：10.1155/2011/390543.

[3] NYAMORADI N.Existence of solutions for multi point boundary value problems for fractional differential equations[J].Arab Journal of Mathematical Sciences，2012，18（2）：165-175.

[4] 江卫华，李庆敏，周彩莲.分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性[J].河北科技大学学报，2016，37（6）：562-574.JIANG Weihua，LI Qingmin，ZHOU Cailian.Existence of solutions to boundary value problem of fractional differential equations with impulsive[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2016，37（6）：562-574.

[5] LIU Suli，LI Huilai，DAI Qun.Nonlinear fractional differential equations with nonlocal integral boundary conditions[J].Advances in Difference Equations，2015，187：1-11.

[6] 郭春静，孟凡猛，陈坤，等.具有Hilfer分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性[J].河北科技大学学报，2023，44（2）：132-143.GUO Chunjing，MENG Fanmeng，CHEN Kun，et al.Existence of solutions for boundary value problems of fractional impulsive differential equations with Hilfer[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2023，44（2）：132-143.

[7] CUI Yujun.Uniqueness of solution for boundary value problems for fractional differential equations[J].Applied Mathematics Letters，2016，51：48-54.

[8] LI Bingxian，SUN Shurong，CHEN Guanwei.Existence and non-existence of positive solutions for integral boundary value problems of high-order fractional differential equations with generalized p-Laplacian operator[J].International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations，2017，7（1）：18-35.

[9] WANG Guotao，PEI Ke，AGARWAL R P，et al.Nonlocal hadamard fractional boundary value problem with hadamard integral and discrete boundary conditions on a half-line[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2018，343：230-239.

[10]江衛华，韩晴晴，杨君霞.具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报，2019，40（4）：294-300.JIANG Weihua，HAN Qingqing，YANG Junxia.Existence of positive solutions for boundary value problems of fractional differential equations with sign-changing nonlinear term[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2019，40（4）：294-300.

[11]JIANG Min，HUANG Renguang.Monotone iterative schemes for positive solutions of a fractional difference equation with integral boundary conditions on the half-line[J].Journal of Mathematics，2021.DOI：10.1155/2021/9384128.

[12]SANG Yanbin，HE Luxuan，WANG Yanling，et al.Existence of positive solutions for a class of fractional differential equations with the derivative term via a new fixed point theorem[J].Advances in Difference Equations，2021.DOI：10.1186/s13662-021-03318-8.

[13]MA Tianfu，YAN Baoqiang.The multiplicity solutions for nonlinear fractional differential equations of Riemann-Liouville type[J].Fractional Calculus and Applied Analysis，2018，21（3）：801-818.

[14]THAIPRAYOON C，SUDSUTAD W，NTOUYAS S K.Mixed nonlocal boundary value problem for implicit fractional integro-differential equations via φ-Hilfer fractional derivative[J].Advances in Difference Equations，2021（1）：1-24.

[15]HARIKRISHNAN S，SHAH K，KANAGARAJAN K.Study of a boundary value problem for fractional orderpsi-Hilfer fractional derivative[J].Arabian Journal of Mathematics，2020，9：589-596.

[16]ALMALAHI M A，ABDO M S，PANCHAL S K.On the theory of fractional terminal value problem with φ-Hilfer fractional derivative[J].AIMS Mathematics，2020，5（5）：4889-4908.

[17]ZHOU Jueliang，ZHANG Shuqin，HE Yubo.Existence and stability of solution for nonlinear differential equations with φ-Hilfer fractional derivative[J].Applied Mathematics Letters，2021，121.DOI：10.1016/j.aml.2021.107457.

[18]ALMALAHI M A，PANCHAL S K.On the theory of φ-Hilfer nonlocal Cauchy problem[J].Mathematics & Physics，2021，14（2）：159-175.

[19]ABDO M S，PANCHAL S K，Hussien H S.Fractional integro-differential equations with nonlocal conditions and φ-Hilfer fractional derivative[J].Mathematical Modelling and Analysis，2019，24（4）：564-584.

[20]AHMAD B，NTOUYAS S K.A fully Hadamard type integral boundary value problem of a coupled system of fractional differential equations[J].Fractional Calculus and Applied Analysis，2014，17（2）：348-360.

[21]SOUSA J，de OLIVEIRA E C.On the φ-Hilfer fractional derivative[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2018，60：72-91.

[22]ZHOU Yong.Basic Theory of Fractional Differential Equations[M].Hackensack：World Scientific，2014.

责任编辑：张士莹

基金项目：国家自然科学基金（11775169）；河北省自然科学基金（A2018208171）

第一作者简介：张蓓（1975—），女，河北石家庄人，副教授，硕士，主要从事微分方程边值问题方面的研究。

通信作者：江卫华，教授。E-mail：jianghua64@163.com张蓓，司換敏，江卫华，等.具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统解的存在性［J］.河北科技大学学报，2024，45（2）：159-167.ZHANG Bei， SI Huanmin， JIANG Weihua，et al.Existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractional differential systems with integral boundary conditions［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（2）：159-167.