数学的眼光：指向“三会”素养目标的数学抽象思想

郑义富，黄甫全

数学的眼光：指向“三会”素养目标的数学抽象思想

郑义富1，2，黄甫全2

（1．中山市西区中心小学，广东 中山 528400；2．华南师范大学，广东 广州 510631）

“数学的眼光”是人类理性认识手段的必然选择，是科学思维的最实用的一般方法，是数学教育价值的核心体现．“数学的眼光”不仅可引导人们如何看待世界、认识世界，更重要的是能形成主体的认识取向或价值观念．中小学教学中，教师首先要深刻认识“数学抽象”的本质，并要能准确把握“数学抽象”的一般特征，还要精准掌握数学抽象的基本方法，从而有的放矢地开展思维能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使学生形成“数学的眼光”．

数学眼光；抽象思想；抽象方法；抽象特征；理性精神

1 问题提出

2022年新修订的《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确把数学学科培养学生核心素养的目标定位为“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．史宁中认为“三会”的概述基于数学抽象、数学逻辑、数学建模这三大数学基本思想，又高于这些数学思想[1]．

“三会”作为高度精炼概括的数学学科育人总目标，对中小学一线教师来讲尚显“新颖”且“神秘”，迫切需要更为深入地探究．特别是对“数学的眼光”，也就是“数学抽象思想”更应多角度、多层面深入剖析．教育部中小学教材审定委员会委员孙晓天在解释用“数学的眼光”而不是“抽象思想”表达核心素养目标的原因时，这样阐述：数学的眼光可以看作数学抽象的门槛，更接近一种从数学出发看问题的角度，用“眼光”而不用“数学抽象”这种人人都理解的说法，比较容易让学习者产生亲近感，有利于引导教师站在学习者的立场思考教学问题，也能启发教材编写者认真对待内容题材的真实性问题．用“数学的眼光”作为未来公民的“社会责任、必备品格和关键能力”，完全满足核心素养的要求，也容易被大众接受[2]．这一“用词”风格的转换，体现出课标修订组专家面向中小学教师群体，以生为本的“良苦用心”．

“新课标”进一步明确：（学生）通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题；能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构；能够理解自然现象背后的数学原理，感悟数学的审美价值；形成对数学的好奇心与想象力，主动参与数学探究活动，发展创新意识．课标修订后，数学眼光实际上成为一个“硬”杠杠，也就是每一个学生都要有“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”，发现抽象数量关系和空间形式的经历[2]．这就亟待在基础教育中加强“抽象思想的培育”，包括抽象意识的培养、抽象能力的提升、抽象观念的形成等，虽然在不同的学段培养任务重点不同，但指向终点一致．其核心的作用就是增强学生数学学力．史宁中认为：“在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯，（通过数学教育使学生）会在错综复杂的事物中把握本质，进而增强抽象能力．”[3]“数学眼光”作为核心素养目标，有助于弥补中国数学教育长期以来的弱项，这个弱项就是抽象．数学课程的内容一般与3个要素相关：抽象、推理和模型．它们通常以具体的定义、方法和技能的形式存在，推理和模型有规律可循，通过训练能迅速提高，已成为中国学生的强项．相比之下，抽象则是中国学生明显的弱项[2]．

“数学抽象”既是数学闪亮的宝藏，又是数学教育价值核心体现．然而不可否认的是，数学一直以来被人诟病的一点恰恰也是“抽象性”过强，因此数学教育的难点和痛点就必然聚焦于对数学抽象“过程”的认识和理解．中小学教学中，教师首先要深刻认识“数学抽象”的本质，并能准确把握“数学抽象”的一般特征，还要精准掌握数学抽象的基本方法，从而才可以有的放矢地开展思维能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使学生形成“数学的眼光”．

2 “数学的眼光”的本质——“抽象”的理性认识

2.1 抽象

对“抽象”这一概念进行界定，恐怕会如同其内涵本身一样显得很“抽象”．当人们把“抽象”作为形容词使用时，它与直观和形象相对，表示客观事物很难直接感悟领会．有学者这样描述：“抽象即以其抽象性而与具体事物的具体性相对立．”[4]当抽象作为动词时则指向思维运动的形式，属于基本智力操作之一，是在思想上把各种对象或现象的共同属性、本质特征抽取出来，舍弃其它属性的过程．《实用百科全书》中定义：抽象有肯定与否定两个方面，所肯定的是从各种事物中抽取出来的共同属性，这种肯定是通过概括实现的，是在思想上把抽象出来的各种对象或现象的共同属性、本质特征结合起来；初级形式是把对象或现象的共同属性按照其偶然的共同特点联合起来的过程；高级形式则是把对象或现象的次要特征与非本质特征舍弃，而确定其共同本质特征的过程．所否定的是事物的具体特征．人们通过抽象，可以从具体中把握一般，从个性中把握共性，透过现象把握本质[5]．

在科学发展进程中，“抽象”则作为一种认识手段，也即从感性认识飞跃到理性认识的一种方法．主要指在思维中抛开客体的个别的、表面的、非本质的方面而抽取出一般的、内部的、本质的方面的过程．这是以感性直观为基础的一种高级的、创造性的思维认识过程，是达到思维具体，即在思维中从整体上再现客体的必经阶段．科学抽象在人类认识过程中具有重大的作用，人们只有运用科学抽象，才能创立并不断地丰富和发展各门科学理论，以有效地指导改造世界的实践活动[5]．列宁说：“物质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象及其它等，一句话，那一切科学的（正确的、郑重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然．”[6]

2.2 数学抽象

人们一提到“数学”，总是会自然而然地关联到“抽象”．的确，数学所呈现出来的、以及数学所要研究的无一不是“抽象”了的东西．徐利治认为：凡“数学事物”（如数量关系、空间形式以及与之关联的数学公理、概念、命题、公式、方法等），都是符合科学抽象规律的经由人脑对实在关系的反映形式[7]．数学的发展所依赖的最重要的基本思想也是抽象．孙晓天在接受浙江教学月刊社访谈时指出：“数学并不以真实为研究对象，而是以真实世界里并不存在的抽象的数量关系和空间形式为研究对象．数学通过一种间接的方式，达到认识真实世界、解决真实问题的目的．”[2]

若说“数学即抽象”可能并十分不准确，但“抽象”对于数学来讲具有其它任何词汇无法比拟的意义．马克思就讲过，全部所谓纯数学都是研究抽象的，它的一切数量严格来说都是想象的数量[8]．郑毓信等也曾断言：一切数学对象都是抽象思维的产物，数学抽象就是由具体事物中抽取其量的方面、属性或关系[4]．亚历山大洛夫说：“数学的第一特征就是它的抽象性，全部数学都具有抽象的特征，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中．”[9]

在数学教育以及数学研究中，人们通常将数学抽象与抽象思维等同使用．这是从思维形式或认知心理活动角度对数学抽象的一种概括．《实用百科全书》对“抽象思维”的定义是：指与形象思维相对的抽象思维，是运用概念进行判断、推理的思维活动．这种思维需要遵循逻辑规律，故又称为逻辑思维，这是人类所特有的高度发达的思维．抽象思维的特点包括：以概念为思维活动的首要因素，所提出的任务具有理论性，解决任务必须依赖抽象概念与理论知识．抽象思维在人们认识事物的本质和规律的过程中起着特别重要的作用，发展规律、形成科学假设等是抽象思维的高级形式[5]．

“抽象”在数学中到底是怎样体现的呢？著名数学家亚历山大洛夫认为：“抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校中学的是抽象的数字乘法表，而不是苹果的数目相乘，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等．”“同样地，在几何中研究的是直线，而不是拉紧了的绳子，并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上可延伸的属性．”[9]数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中首先保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是经过一系列阶段而产生的，它们达到的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象[9]．从数学抽象的对象来看，既有对数量与数量关系的抽象，也有对图形与图形关系的抽象；从数学抽象的形式来看，既有概括定义形式的抽象，也有逻辑论证形式的抽象，还有关系模型形式的抽象．

当然，作为数学的眼光的抽象并不仅为数学所特有，但是没有哪一个学科如数学这样是从始至终都依赖于抽象的建构．抽象是数学的灵魂．其它科学感兴趣的首先是自己的抽象公式同某个完全确定的现象领域的对应问题，研究已经形成的概念系统对给定现象领域的运用界限问题和所采用的抽象系统的相应更换问题，并把这些作为最重要的任务之一．而数学则完全舍弃了具体现象去研究一般性质，在抽象的共性中考察这些抽象系统本身，而不管它们对个别具体现象的应用界限，可以说，数学抽象的这样绝对化才是数学所特有的[9]．

3 “数学的眼光”的特征——“抽象”的基本特征（性）

3.1 一般化特征

克莱因在阐述“数学精神的诞生”时讲到：“显然，思考抽象事物要比思考具体事物困难得多，但可以获得一个最突出的优点——获得了一般性．”这促使人们追求最普遍和最永恒的东西，而不是个别的转瞬即逝的东西[10]．数学抽象活动的目的绝不是对事物个体的摹写，也不是为了某个个例问题的解决，而是为了一类事物的本质的概括，为了一类问题的解决，甚至是为了有可能与此相关的它者的或未来的那些事物的探究和问题的解决．所以，所有抽象活动以及抽象活动的结果都具有一般化的特征．正因为此，人类探索自然的能力得到充分的激发，观察世界、认识世界的手段和途径前所未有地变得高效，使得人类智慧得到超乎想象的升华．数学抽象的一般化既有数学概念的一般化，又有数学定理、法则的一般化，还包括数学模型、数学分支学科的一般化等．

3.2 理想化特征

数学的眼光——即“数学抽象”的对象来源于感性具体，但抽象不是对具体的原样复制，而是经过简化、剥离、调整等活动，使得抽象对象对于接下来的抽象进程来讲非常的“理想”，这就是数学抽象的理想化特征．比如现实世界中的“正午太阳、十五的月亮、叶片上的水滴、水中的涟漪”等都有着类似的“圆”的形状，人们就把对这些事物的感知以“一中同长”的“理想化”的圆形作为抽象的图形代表所有圆状物的空间形式，尽管现实中根本不可能存在绝对的圆，但是这并不影响人们进一步地以“数学的眼光”进行探究，这就是“理性化”给“抽象认识”带来的便利．所以，数学中的很多概念、定理和模型都是理想化的，特别是几乎所有几何概念都是理想化的产物．如没有长短、不占空间的几何端点，只有长度、没有宽度的直线、曲线，以及永不相交的平行线……

3.3 模式化特征

“数学的眼光”视阈中的世界不是杂乱无章的，而是要按照数学的样子以各种抽象的模式存在．平面几何、立体几何、解析几何，函数、导数、微分、方程……所见的任一数学知识、方法或思想，都是以某种“模式”呈现．这是因为数学家在探索世界时无一例外地要以“模式”作为最终的结论呈现方式．数学抽象的这种“模式化”的倾向，则要归功于“模式化”的高度概括、精准表达、简捷高效等特性．徐利治等认为：“在纯粹数学的研究中，应当借助于明确的定义去构造出相应的量化模式，并以此为直接对象从事纯形式的研究；也正因为此，作为数学抽象物的量化模式在概念意义上就应具有一定层次上的普遍性和概括性，在表述形式上则应具有无歧义的逻辑精确性和简洁性．”[4]

3.4 广泛应用性

“数学的眼光”始终都要面向实践与应用，否则无论建立了多么美轮美奂的数学大厦，都将因为没有实践和应用的滋养而枯萎消亡．林夏水认为：“各种其它科学也存在抽象性和理想性，但是在那里没有给它们以独立自在的意义，它们是始终离不开现实的．而数学的抽象是无条件的；它的概念，一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题．数学的威力就在于它的抽象性，越撇开内容，就越有广泛应用的可能．”[11]归根到底，数学生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却如人们所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其它科学中、在技术中、在全部生活实践中都有广泛的应用；这一点，对于了解数学是最主要的[9]．

4 “数学的眼光”的方式——“抽象”的基本方法

“数学的眼光”可不是感性层面的“观察”．作为数学的眼光的核心——“数学抽象”，其运行的方式实质是人类心智的一种运算．应该说“抽象”是迄今为止人类所拥有的最有用的思考方式．这种思考方式最高要求和最突出的作用就是“理性”，为了实现理性，就要形成一系列的良好的思维机制或思考习惯．人是依靠什么来达到这个目的呢？就是一种稳定的神经回路，也即心智计算模块系统．数学抽象则是人类心智计算系统中最为简约高效的一种运算功能．“心智”不是大脑，而是大脑所做的事情．“心智”是指向人类基因繁殖的自然选择的结果．心智系统的“原件”大部分区别不是很大，这些心智系统组块来自于基因图谱．数学抽象的发生过程是否有迹可循？没有畅通无阻适用一切的“抽象大法”，但可概括梳理基本的“抽象”方法，作为“数学的眼光”的一般方式．

4.1 剥离与简化——数学抽象运行前的准备

数学研究的对象并非是直接的客观世界实体，而是经过抽丝剥茧式的解构与取舍．剥离、去掉并简化客观实体的“众多属性”，找到并留取与数学研究相关的、客观事物所属的本质性的东西，构成数学的研究对象．这“对象”不是凭空产生的，它必然建立在对客观事物的观察并产生直观经验的基础上，由直观表象转化为“抽象”的对象，这一过程就是“剥离与简化”，如果没有“抽丝剥茧”的这一过程，人脑将无法应对客观现实纷繁复杂的海量信息．

“剥离与简化”还可以是对纷繁复杂的信息进行分离和精简，摒弃那些与问题解决无关的或非主要关联的信息，保留关键的信息．针对问题解决的思考过程亦是由“剥离与简化”开启抽象思考的进程．如客观世界中含有“3个的量”的属性的事物千千万万，3个人、3只羊、3个苹果……但为了计量，就要把所有非必要的属性都剥离，并简化到只用一个数字“3”来解释这些事物共同的“量”的本质的属性．同样地，自然世界中具有“三角形”这一特性的事物俯拾皆是，但如果要研究形状与空间的问题，那就将所有的颜色、质地等非必要的属性，剥离简化到用“三条边首尾相连”这一本质属性来表征这一类物体的性质．再如小学数学“沏茶问题”的解决策略探究中，面对“问题情境”中诸如“人物、事件、条件、问题”等众多的信息，首先要把非“数学”的信息剥离掉．比如，来的客人是谁、为什么来、什么时候来、要喝什么茶等．留下什么呢？与问题解决息息相关的信息，如喝茶的工序、每道工序的时间、具体的问题等．这些都是与问题解决相关的信息，接下来还要再对这些“相关”的信息进行筛选，根据解决问题的方向和思路选取有用的信息进行整理．这一步就是数学问题解决的“抽象”的发端．

脑科学研究表明，人的“抽象”活动是大脑神经细胞集群对数量以及空间信息的选择性、简约化的激活反应．通常情况下，人们会将“剥离与简化”这一“激活反应”直接等同为“抽象”全过程，然而这只是抽象的准备，真正体现抽象神奇作用的还在于这之后的一系列心智操作．

4.2 符号与命名——为数学抽象高效运行蓄力

任何事物在进入人的头脑中参与思维运作前都会被“命名”，对任一事物命名的行为基本上都属于抽象化，只不过这一抽象的过程往往是自动化了的，极易忽略．但若没有“命名”，接下来的思维就无法实现．若要使“抽象”高效运行，必须对这些“信息”进行概括性地命名，并以“符号”的形式进行表达，以便在语言的运载下进行思维，这是“抽象”继续运转起来的前提，也是抽象的鲜明特征之一，是抽象发生的较早期的行为．在此意义上，几乎所有数学词汇和符号都是抽象进程中“符号与命名”的产物，如“和、差、倍、比”以及“5、0.5、＋、－、×、÷、m³、cos、∈、Δ”等．同样地，任何图形的命名也都毫无例外是抽象了的产物．就如“圆形”，生活中并没有叫做“圆形”的实物存在，它只是一类有着共同几何意义上的特性的抽象概念．有学者指出：命名是不可或缺的步骤和条件，科学的独特工作就是建立在这种明确限定的行为基础之上[12]．“命名”是数学想象与创造性的体现，充分地展现了思考的自由．在思维的进程中“命名”，是为思维高效运行蓄力，也是为后续深入抽象中的概括与定义奠定基础．

4.3 一一对应——开启数学抽象认识的大门

丹齐克在《数——科学的语言》一书中描述：“我们走进会堂，面前两个集合，一个是会堂的座位，一个是出席的人．我们不用计数，就可以知道两个集合是否相等，以及哪个大些．这种能力就是从一个支配着全部数学的称为一一对应的方法推演而来．”[13]实际上，人类原初数觉之所以比鸟类的最多3个或4个的数觉要多一些，也是得益于人类有比“3”“4”的量多的10个手指，而这种原始的数觉依靠的就是手指集合与所要计数集合的一一对应，并由此建立起数概念．在随后的千百年数学演化史中，“一一对应”也是数学思维活动的基本保障，一方面使得思考具有确定性，另一方面也成功实现了具象与抽象的“同构”及转换．一一对应几乎在每一处数学知识或数学活动中都能找到影子，有些思维活动已经成为心智自动化的部分，而更多的则是确定无疑的思考过程，甚至依然需要明确地表达出来．

其实早在洞穴中生活的古人类就已经会使用抽象的几何图形来记事和传递信息．一种图形与其所记录的事件和传递的信息应是一一对应的，绝不能是混乱的、不确定的，否则这一“创造”就不会存续．时至今日，任一图形或几何概念依然都有其确定的含义与之一一对应．如欧几里得关于二维图形点、线、面的定义：“点”是不可再分为部分的图形；“线”是只有长度而没有宽度的图形，“面”是只有长度和宽度的图形．

掌握“一一对应”方法对于人类自身抽象能力的获得与心智发展的重要意义也许远超人们现在的认知．正是因为在自然选择的进化中，人类获得了以10个手指或用石子画出的线条来一一地对应各种所需计数的物品，还可用图形来对应不同的物品，从而把这种“对应”从无数次“计数”中剥离出来，成为恒定的“参照”，进而开始了漫长而无穷无尽的“抽象”历程，抽象以及由此建立的数学大厦便一点一点搭建起来了．可以说，一一对应既是“抽象”活动的发端，亦是数学史的序幕．

不同于集合运算中的“一一映射”，儿童所要建立起的“一一对应”意识是能将观察到的客观事物与其抽象后的形式对应起来，从而开启初步的数学化的思考，这种思考显然不是混沌的，也不是高度综合的或者是系统化的，但却是开启有条理的理性认识大门的关键一环．皮亚杰曾指出：“最基本的心理学观察揭示一一对应是一种最原始的运算．”[14]

4.4 有序排列——数学抽象精密化的手段

数学的发展实在应归功于人类知道了数的一一对应原则与数的有序原则的可统一性．根据“对应原则”产生了基数概念，基于“有序原则”生成了“序数”概念．序数原则实际上是一种抽象的假定，即假定总是可以由一个数数到它的后继数，这个假定就是序数概念的本质．丹齐克认为：“若不是我们能够将事物排列成有顺序的次第，进步就是不大可能的．”

有序排列在图形研究中体现为构成图形元素的有序性．希尔伯特提出的几大几何公理都反映了图形的有序性，如“顺序公理”就规定了直线上点的位置顺序关系，“关联公理”规定了概念范畴的顺序关系，“合同公理”核心就是概念的相等（顺序）关系．史宁中认为：几乎在现代数学的各个分支中，顺序关系（包括大小关系、前后关系）都是非常重要的，这是数学研究对象的一个根本性的关系[15]．

对应和序列，这两大原理已经深深渗透进全部数学．不只是数学，实际上已然进入精密思想的全部领域之中，交错地编织在数系的锦绣天衣之上[13]．“次序化和序列化思维”或者称之为“有序思考”，是优秀思维品质必不可少的要素．抽象思维之所以能充分体现出全面性、严谨性，与序列化的处理信息以及有序思考的思维习惯密切相关．皮亚杰认为：“在儿童思维中有一种非常原始的关于次序的结构——序列化结构，它像分类结构一样原始．”[14]

4.5 比较与分类——数学抽象深化的关键环节

“比较”是“抽象”过程中必不可少的一环，通过比较才能找出“异同”，才能认识到“共性”，才有抽取共同性质后发现的“本质”特征的可能，“抽象”也就因此而有了“意义”．在比较之后进行的区分其实就是“分类”，有学者认为：“逻辑分组和分类是数学的核心组成部分．”分类也是“集合”思维的基础，集合又是最基本的数学结构之一．分类的依据则是抽象集合的物体所共有的性质．皮亚杰认为：“分类既为逻辑概念也为数学概念的发展提供了基础．”“一个类不能由知觉构造而只能由逻辑构造，因为必须以一系列抽象和概括为前提，类的意义才从哲学抽象和概括中得出．”[16]

比较与分类是抽象的进程得以深化的保障，无论是对数量的研究，还是对图形的研究，没有比较与分类的这一关键环节，深度的抽象将寸步难行．事实上，很多儿童之所以对数学难以有“感觉”，甚至经常深陷困境，大部分是缘于他们头脑中始终无法清晰地进行分类，难以发现事物之间的共性与区别．因此，作为“抽象”的重要环节，教师还是应该适时提醒学生有意识地进行“比较与分类”的数学抽象化思考，从而强化“抽象”意识与能力．

4.6 数量刻画——数学抽象的独特标签

数学抽象思想最为鲜明的特征就是对客观事物或直观表象进行“数量刻画”．将具体的事物用相应的“数据”或“数量”进行抽象的表达，继而进行符号化、形式化的分析，以便更进一步进行逻辑推理．即包括用“数”来刻画具体对象的量的多少，如3米、4吨、5升、6公顷等；也包括用“数”来刻画“图形”的长短与大小．如“圆的直径长度是半径的2倍”“三角形内角和是180度”，又如用勾股定理刻画直角三角形三边关系等．笛卡儿和费马创造性地以数量刻画的形式对图形进行研究，从而发明了解析几何，开启了近代数学研究的神圣之门，这其中“数量刻画”功不可没．

以上“方法”既是抽象的基本方法，又是抽象的一般运行过程．当然，“抽象”的各种方法不是严格区分开来的，也并非一成不变地按步骤进行的，有时可能是多种方法交替或同时运行，对此大脑是完全可以轻松应对并操作的．在上面“六道工序”之后，抽象也并没有停止，只不过进入到更具推理意义和模型意义的深度抽象之中．如将抽象出来的各种对象或现象的共同属性、本质特征结合起来，归纳提炼并形成概念、定义；通过对数学研究对象之间关系的“抽象”，并以表示逻辑关系的术语得到科学合理的结论，形成相关的判断、定义、法则、定理等；通过构造“模型”将高度综合的“抽象对象”进行具体化运用……可以想见，对于完整的“抽象”活动而言，数学模型才应该是一段数学抽象旅程的终点和归宿．

“会用数学的眼光观察世界”是数学抽象思想所承载的学生素养发展的主旨、内涵和目标．“数学的眼光”是人类理性认识手段的必然选择，是科学思维的最实用的一般方法，是数学教育价值的核心体现．正如郑毓信所指出的：无论是数学教育或是其它各科的教育，都是整个教育事业的组成成分，应很好地落实“立德树人”这一教育的根本任务，也即应当“通过核心素养来落实立德树人根本任务”[17]．“数学的眼光”所“担负”的立德树人使命，不仅在于可引导人们如何看待世界、认识世界，更重要的是能形成主体的认识取向或价值观念[18-21]．“数学的眼光”的涵育促进学生抽象思维的发展，增强思维的清晰性、合理性、有效性、深刻性、严密性，甚至还可增强灵活性、综合性与创新性等，而最重要的则是逐步树立起理性精神．

[1] 洪燕君．基于义务教育数学课程标准的核心素养的理解与实施——访谈史宁中教授[J]．数学教育学报，2023，32（3）：64-67．

[2] 孙晓天，刑佳立．中国义务教育：基于核心素养的数学课程目标体系[J]．小学数学教与学，2022（5）：20-22．

[3] 史宁中．数学基本思想18讲[M]．北京：北京师范大学出版社，2016：12．

[4] 徐利治，郑毓信．抽象方法与抽象度分析法[M]．南京：江苏教育出版社，1990：1，6，38．

[5] 王瑞荪，乔际平．实用百科全书[M]．北京：开明出版社，1991：10，12，1 040．

[6] 柳树滋，林可济，郭金彬．重要的思维法则——从抽象上升到具体[M]．北京：北京出版社，1986：15．

[7] 徐利治．数学中的现代柏拉图主义与有关问题[J]．数学教育学报，2004，13（8）：3．

[8] 马克思．马克思数学手稿[M]．北京大学《数学手稿》编译组，译．北京：人民出版社，1975：228．

[9] 亚历山大洛夫．数学——它的内容、方法和意义（第一卷）[M]．孙小礼，译．北京：科学出版社，2012：1-69．

[10] 莫里斯·克莱因．西方文化中的数学[J]．张祖贵，译．北京：商务印书馆，2013：45．

[11] 林夏水．数学哲学译文集[M]．北京：知识出版社，1986：5-7．

[12] 恩斯特·卡西尔．人文科学的逻辑[M]．沉晖，海平，叶舟，译．北京：中国人民大学出版社，2004：1．

[13] 丹齐克．数——科学的语言[M]．苏仲湘，译．北京：商务印书馆，1985：4-5，74-75．

[14] 皮亚杰．发生认识论[M]．纽约：哥伦比亚大学出版社，1970：13，28．

[15] 史宁中．数学思想概论——图形与图形关系的抽象[M]．长春：东北师范大学出版社，2015：108．

[16] 柯普兰．儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义[M]．李其维，唐请镳，译．上海：上海教育出版社，1985：61-64．

[17] 郑毓信．《义务教育数学课程标准（2022年版）》的理论审思[J]．数学教育学报，2022，31（6）：1-5．

[18] 黄秦安．后现代：一个观照数学哲学的新视阈——数学哲学的范式分期与“后现代数学”的数学教育前瞻[J]．数学教育学报，2023，32（1）：1-6．

[19] 张辉蓉，唐佳欣．三年级学生“数学问题提出能力”“态度”与“学业水平”关系研究[J]．数学教育学报，2023，32（1）：31-37．

[20] 拉毛草，董连春，何伟．少数民族数学文化融入小学数学教学的实践与探索——以藏族数学文化为例[J]．数学教育学报，2023，32（1）：38-46．

[21] 张莉，伊晓美．新世纪以来小学数学教科书中“分数”习题难度分析——以3套人教版为例[J]．数学教育学报，2023，32（1）：47-54．

Mathematical Vision: Mathematical Abstract thought Pointing to the Goal of “Three Learn”

ZHENG Yi-fu1, 2, HUANG Pu-quan2

(1. West District of ZhongshanCentral Primary School, Guangdong Zhongshan 528400, China;2. South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

“Mathematical vision” is the inevitable choice of human rational understanding means, the most practical general method of scientific thinking, and the core embodiment of the value of mathematics education. “Mathematical vision” can not only guide people how to view the world and understand the world, but more importantly, it can form the subject’s cognitive orientation or values. Mathematical teaching in Primary and secondary schools, teachers must first deeply understand the nature of “mathematical abstract”, and be able to accurately grasp the general characteristics of “mathematical abstract”, and accurately master the basic methods of mathematical abstract, so as to carry out targeted improvement of thinking ability, the cultivation of abstract thoughts, and gradually enable the students to form a “mathematical vision”.

mathematical vision; abstract thought; abstract method; abstract characteristics; rational spirit

G623.5

A

1004–9894（2024）01–0059–05

郑义富，黄甫全．数学的眼光：指向“三会”素养目标的数学抽象思想[J]．数学教育学报，2024，33（1）：59-63．

2023–10–01

2022年广东省哲学社会科学规划一般项目——新唯物主义智能化学习技术代理主体论（GD22CJY13）

郑义富（1974—），男，山东枣庄人，正高级教师，中山市西区中心小学校长，华南师范大学博士生，主要从事数学教育研究．

[责任编校：陈汉君、张楠]