利用“瓜豆原理”模型分析轨迹问题

2024-05-08陈礼弦

数理化解题研究 2024年11期

陈礼弦

(贵州省贵安新区普贡中学,贵州贵安新区 561113)

在初中数学教学中,轨迹问题是教学的难点,也是核心素养重点考查对象.根据笔者多年的教学经验,引导学生弄清楚“瓜豆原理”模型,利用其分析轨迹问题,会收到事半功倍的效果.

“瓜豆原理”是一种数学问题的形象描述,即若两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相同.其中,主动点叫作“瓜”,从动点叫作“豆”.如果“瓜”在直线上运动,那么“豆”的运动轨迹也是直线;如果“瓜”在圆周上运动,那么“豆”的运动轨迹也是圆.这种主从联动轨迹问题被称为“瓜豆原理”或“瓜豆模型”,在某一个特殊位置,就是我们要解决的轨迹问题[1].

1 模型一动点在直线上运动

这类问题的基本特点是主动点在直线上运动,从动点的运动轨迹也是直线.其结论主要有两个：一是主动点和从动点所在直线的夹角是一个定值;二是主动点和从动点轨迹长度之比值是一个定值.

1.1 模型分析

例1 如图1,G为线段EF一动点,D为定点,连接DG,取DG中点H,当点G在EF运动时,画出点H的运动轨迹.

图1 例1题图图2 例1解析图

例2 如图3,△DEF是等腰直角三角形,∠EDF=90°且DE=DF,当点E在线段MN上运动时,画出点F的运动轨迹.

图3 例2题图图4 例2解析图

解析如图4,线段F′F″即为点F的轨迹.取点F的起始位置F′和终点位置F″,连接即得点F轨迹为线段F′F″.因为主动点E和从动点F所在直线DE和DF的夹角为90°,易证△MND≌△F′F″D,主动点E和从动点F的轨迹长之比值等于MN∶F′F″=1,所以点E、F的轨迹是同一图形.

1.2 模型应用

例3 如图5,矩形DEFG中,DE=3,DG=4,点H在边DG上且DH∶HG=1∶3.动点I从点D出发,沿DE运动到点E停止.过点H作HK⊥HI交射线EF于点K,设J是线段HK的中点.求在点I运动的整个过程中,点J运动的路径的长.

图5 例3题图图6 例3解析图

2 模型二动点在圆周上运动

这类问题的基本特点是主动点在圆周上运动,从动点的运动轨迹也是圆.其结论主要有两个：一是主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角是定值;二是主、从动点与定点的距离之比值等于两圆心到定点的距离之比值.

2.1 模型分析

例4 如图7,F是⊙D上一个动点,E为定点,连接EF,G为EF的中点,当点F在⊙D上运动时,画出点G的运动轨迹.

图7 例4题图图8 例4解析图

解析如图8,⊙C是点G的运动轨迹.连接ED,取ED的中点C,连接CG,以C为圆心,CG为半径作⊙C,所以点F在⊙D上运动时,点G在⊙C上运动.即⊙C是点G的运动轨迹.因为主、从动点与定点连线的夹角∠FEG等于两圆心与定点连线的夹角∠DEC,是定值0°.又因为主、从动点与定点的距离FE、GE之比值等于两圆心到定点的距离DE、CE之比值,也等于两圆半径DF、CG之比值,是定值.从而可知主动点F在圆周上运动,从动点G的运动轨迹也是圆.

例5 如图9,M是⊙D上一个动点,B为定点,连接BM,在BM的上方以BM为边作等边△BCM.当点M在⊙D上运动时,画出点C的运动轨迹.

图9 例5题图图10 例5解析图

解析如图10,点C的运动轨迹是以点E为圆心的圆,理由如下：点C满足∠MBC=60°,BM=BC,点C的圆心E满足∠DBE=60°,BE=BD,且EC=DM,可确定圆E的位置,任意时刻均有△BMD≌△BCE,可以理解BE是由BD旋转得到,故圆E是由圆D旋转得到的,旋转角度与缩放比例均与BM与MC的位置和数量关系有关.

例6 如图11,F是⊙C上一动点,E为定点,连接EF,以EF为斜边在EF上方作等腰直角三角形EFD.当点F在⊙C上运动时,画点D的轨迹.

图11 例6题图图12 例6解析图

2.2 模型应用

例7 如图13,⊙E的直径BC=4,D为⊙E上的动点,连接BD,F为BD的中点,若点D在圆上运动一周,求点F经过的路径长.

图13 例7题图图14 例7解析图

如图14,当点D在点C处时,点F在点E处,当点D在点B处时,点F在点B处,所以EB是这个圆的直径,这个圆是⊙G.又因为BC=4,所以EB=2,所以GB=1,所以r=1,所以⊙G的周长为2πr=2π,所以点F经过的路径长是2π.

例8 如图15,FG=3,⊙F的半径为1,E为⊙F上的动点,连接EG,在EG上方作一个等边三角形EGH,连接FH.求FH的最大值.

图15 例8题图图16 例8解析图

解析如图16,以FG为边在FG上方构造等边三角形△FGI,连接IH,以点I为圆心,IH为半径作圆I.因为主、从动点与定点连线EG、HG的夹角等于两圆心与定点连线FG、IG的夹角,且是60°为定值.又因为主、从动点与定点的距离EG、HG之比值等于两圆心到定点的距离FG、IG之比值,也等于两圆半径FE、IH之比值,是定值1.因为∠FGE=60°-∠EGI,∠IGH=60°-∠EGI,所以∠FGE=∠IGH.又因为FG=IG,EG=HG,所以△FGE≌△IGH,所以IH=FE=1.从而可知点H运动的轨迹是以点E为圆心、1为半径的圆,当F、I、H三点共线且H在FI的延长线上时,FH的最大值为FI+IH=3+1=4,此时点H在点H′处.