增强代数推理 提升几何直观——对广西2023年中考数学第24题的命制探究

徐境鸿

(南宁市第四十七中学,广西 南宁 530029)

2023年的中考已经落下帷幕,在“双减”政策背景下,广西首次省级统一命题,这一轰轰烈烈的改革在今年中考释放了大量信号,中考的指挥棒为中考备考指明了方向.本次中考试题围绕核心素养,依标务本,最大的亮点是降低了难度,减少模式化试题,增加了综合实践性、情境探究性、跨学科类题目的考查.不难发现,第24题是一道既经典又创新的试题,现就该题进行详细的探究.

1 试题呈现

如图1,ΔABC是边长为4的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,满足AD=BE=CF．

图1 广西中考第24题图

(1)求证：△ADF≌△BED;

(2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式;

(3)结合(2)所得的函数,描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．

2 试题分析

本题源于课本和课程标准,将代数与几何完美结合,有效考查了学生的推理能力和几何直观.本题改变了往年中考放置压轴题的位置,今年放在了24题,大大降低了难度.本题主要考查三角形全等、等边三角形的性质、动点、锐角三角函数、二次函数的综合及函数的概念.掌握三角形的性质、锐角三角函数,理解并掌握函数概念的本质、二次函数的性质是解决本题的关键.这是一道既常规又新颖的试题,该题由浅入深,逐步递增难度,合理设置问题层次,每个问题之间均有逻辑关联,符合学生的心理特征,注重考查学生的思维过程,体现学科思想的连贯性、逻辑性、严谨性等.

问题(1)主要考查全等三角形的证明,全等的条件比较明显,属于基础内容,学生易得分.问题(2)是一道典型的用代数式表达几何结论的问题,考查数形结合思想,此问题有一定的难度,如果能突破此问题,则问题(3)就容易解决.近几年,学生受应试思潮的影响,对二次函数出现了一些比较固化的试题模型,如用待定系数法求函数解析式,某些点的确定性和存在性问题.学生对函数的理解不到位,教师缺少关注学科本质.该题的实质就是考查学生对函数概念本质的理解,让学生体会函数是描述一个变化过程的工具.由于很多学生理解不透彻,所以这一问题对学生来说有一定难度.问题(3)是对函数概念性质的进一步理解和巩固,评分细则从学生对知识理解的深度进行分层赋分,隐含了命题关于过程评价的重要思路.学生在答题时,如果只答出“先减后增”可得1分,如果能答出“当2

总之,该题不仅从几何的角度考查了学生的几何直观,还从代数角度增强了学生的推理能力,是一道典型的几何与代数结合且难度中等的题目.

3 寻本溯源

3.1 源于课本

如图2,在等边△ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF,求证：△DEF是等边三角形.(人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》第93页第11题)

图2 等边三角形示意图

如图3,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上．四边形EFGH也是正方形．当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?(人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》第52页第7题)

图3 正方形示意图

3.2 源于课程标准

如图4,正三角形ABC的边长为1,D是BC边上的一点,过D作AB的垂线,交AB于G,用x表示线段AG的长度.显然,Rt△GBD的面积y是线段长度x的函数,试给出这个函数的表达式[2].(《义务教育数学课程标准(2022年版)》第146页例69)

图4 正三角形示意图

4 试题研究

初中阶段,不仅在数与代数领域有推理或证明的内容,在几何与图形领域也有推理或证明的内容.《义务教育数学课程标准(2022年版)》新增了“了解代数推理”的内容要求,可见几何直观与代数推理综合的重要性.为此,笔者对比了近六年的北部湾经济区中考题,发现函数与几何综合题每年都考,将其汇总并分类,如表1所示.

表1 类型一 函数中的线段问题

表2 类型二 函数中的面积问题

从题目位置上看,前面几年的此类题型基本在压轴题位置,难度较大,对学生的要求很高,但是今年放到了24题的位置,要求和难度降低了,变化较大.从考查内容上看,以前多是以二次函数的图象为背景进行考查,今年则是以等边三角形这一简单几何图形为背景.从考查形式上看,以前都是直接求定值,今年则是半开放式的“描述变化过程”,可见题目由固定式逐渐转向理解式,模式化和机械性的题目在减少,过程性考查增加.

5 命题反思

5.1 重视教材,紧扣课程标准

通过对多年中考题的研究,我们发现几乎每道题目都能在课本或课程标准找到母题,或是将母题的条件结论、背景框架、解题方法等进行改编,或是在思想方法上重新立意进行“包装”.不管如何改编,试题在命制时均未超出课程标准的学业要求和能力要求.因此,在今后的命题中要严格依据课程标准,注重教材为本,关注学生的基础知识,以学生理解为目标改编,减少机械性题目.

笔者整理了课本中部分几何与代数相结合的典型题目,仅供读者参考.①九年级上册第2页无盖纸盒问题;②九年级上册第20页边框问题;③九年级上册第52页三角形、四边形问题;④九年级上册第57页篱笆问题;⑤九年级上册第125页几何图形与反比例函数问题;⑥九年级下册第44页三角形与一次函数问题;⑦九年级下册第58页三角形、矩形与二次函数问题.

5.2 落实核心素养

数学新课程标准的亮点之一就是核心素养的提出与细化：会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.初中阶段具体表现有九个方面,命题应覆盖数学核心素养的各个方面.考查数学思维和解决问题的能力,命题可以设计一些开放性的问题,要求学生进行分析、推理和判断.考查数学方法的灵活运用,命题可以涉及不同的数学方法和技巧.考查数学实践和应用能力,命题可以多创设情境,引导学生通过数学建模解决问题.通过各种措施的落实,可以确保命题符合数学核心素养的要求,能够全面考查学生的数学能力和素养水平.同时,也能够激发学生对数学的兴趣和热爱,促进他们的数学学习和发展.

5.3 重视新题型

今年中考题有以下特点：创设真实问题情境,注重情景化试题;加大开放探究力度,激发创新与探究意识;重视动手操作能力,加强尺规作图考查;增加试题阅读量,提升信息处理能力;增设跨学科试题,培养综合学科素养;重视数学传统文化,关注学生文化素养.因此,在复习备考中,教师要以此为导向,在日常教学中不断渗透数学方法,适时总结,在命题中要重视以上题目的练习,让学生从适应到熟练再到举一反三,最终从容面对中考.