看三角函数如何“变”

雷凌凌

三角函数是高中数学的重要知识点之一，对于求值、化简和证明的过程中，往往有角的差异、三角函数形式的差异等，因此我们要对三角函数中的“变”要有所掌握，才能对三角函数知识融会贯通。

一、“变角”的方法

“变角”的方法是需要找出“已知角”和“目标角”的关系，通过“已知角”来表示“目标角”，通过对角进行“拆、配、凑”等进行操作，则可以把“变角”迅速解决。

例1  已知[cosα+β=513]，若[sinβ=35]，且[α]，[β]为锐角，求[sinα]的值。

解析  由于[α]，[β]为锐角，

即[0<α<π2]，[0<β<π2]，则[0<α+β<π]

则[sinα+β>0]，[cosβ>0]，

由[cosα+β=513]得到，

[sinα+β=1-cos2α+β=1213]

又[sinβ=35]得到，[cosβ=1-sin2β=45]，所以，

[sinα]=[sinα+β-β]

=[sinα+βcosβ-cosα+βsinβ=][3365]

点评 通过观察角的特点，然后再进行变凑，寻找出已知角与目标之间的关系，本题中是将角[α]“变角”为[α+β-β]即可求解。

二、“变名”的活用

对于“变名”的题型，常用的方法是切化弦，然后结合和角公式或倍角公式等解决。

例2  求值：[tan700cos100（3tan200-1）]。

解析  原式=[sin700cos700cos1003sin200cos200-1]

[=sin700cos1003sin200-cos200cos700cos200]

[=2cos10032sin200-12cos200sin200]

[=2cos100sin200-300sin200]

[=-2sin100cos100sin200][=-sin200sin200=-1]

点评  本题中可先将原式中的切化弦，再把分子、分母进行约分，并且运用两角和与差的正弦公式进行变形，然后运用二倍角公式化简就可得到结论。

三、“变幂”的应用

对于二倍角公式[cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α]，其变形公式即为降幂公式：

[sin2α=1-cos2α2]，[cos2α=1+cos2α2]

例3 已知△ABC的三个内角A，B，C，

[fB=4cosBsin2π4+B2+3cos2B-2cosB]，

若[fB=2]，求[∠B]的大小。

解析[fB=4cosB×1-cosπ2+B2+3cos2B-]

[2cosB=2cosB（1+sinB）+3cos2B-2cosB=2cosBsinB]

[+3cos2B=sin2B+3cos2B=2sin2B+π3]

因为[fB=2]，则[2sin2B+π3=2]，

所以，[2B+π3=π2+2kπ]，[k∈z]，

由于[0

点评  本题中的[sin2π4+B2]可降幂为[1-cosπ2+B2]，然后结合诱导公式，倍角公式及两角和的正弦公式进行求解即可。

四、“变1”的通途

已知三角函数值求三角函数式子的值时，往往要用到[sin2α+cos2α=1]的关系式解决问题，当然要视问题灵活运用。

例4  已知锐角[α]满足[tanα=3]。

求[sin2α+2sinαcosα-3cos2α]的值。

解析  原式=[sin2α+2sinαcosα-3cos2α1]

[=sin2α+2sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α]

[=tan2α+2tanα-3tan2α+1]

=[32+2×3-332+1]

[=65]

点评  本题中用了“变1”的方法，将问题转化为[tanα]，再利用[tanα=sinαcosα]将各项转化为关于[tanα]的代数式，充分体现化归思想，从而天堑变通途。

对于三角函数中“变”的方法，“变”的角度多种多样，但殊途同归，需要我们把握三角函数中的相关公式并灵活运用之解决相关问题。