数学课代表也有“周期性问题”

3月5日   星期二   天气：晴

这一周，我们班真是“怪事”连连。陆小豆当上了数学课代表，赵依茗又提议“六一”出去郊游。我一直认为学霸的假期只属于图书馆或书店或宅家刷题，我班的这个满分公主可绝对不是寻常的学霸，她是一位玩著玩着就学会了的标准学霸。我还一直认为课代表都是那些学习超好的人才能被老师选中，结果我班这俩“学霸”都让我李嘉阳大跌眼镜，长了见识。要说陆小豆的成功来自那个像猫一样的小精灵的帮助，那赵依茗呢？所以，我总结，学霸终究还是学霸！

李嘉阳

到底哪天放假

这天课间休息的时候，大家三三两两地聊起了假期去了哪里玩，虽然对到底哪里好玩并没有论出个高低，但最终都有一个共识：假期太短了，还没放够。

赵依茗看快上课了，于是说道：“别讨论了，之后不是还有很多假期，我看等‘六一，咱们班同学一起出去玩一次怎么样？”

大班长的提议马上得到了附和，大家都开始期待了起来。

“不知道‘六一那天是星期几，要是正好连着周末，那就可以玩三天。”忽然有人问道。

“谁带日历了？手机查一下也行。”

“没有日历，学校也不让带手机啊。”

“唉……”

“今天是2024年3月5号，谁来算一下得了。”

“让陆小豆算，他是数学课代表，肯定能马上算出来。”

听到有人喊自己，陆小豆迷迷糊糊地站了起来，“这个……我看还是看日历方便些，一天一天数最准了。”

“切，就这……”

陆小豆的一番言论，顿时遭到了大家的鄙视，还好上课铃正好响了……

未来世界的管理危机

放学回到家后，陆小豆看起来心事重重，饭都没吃好就回到了自己的房间。

学霸精灵忽然跳出来：“怎么了？跟霜打的茄子似的。”

“唉，别提了，丢人了，这数学课代表看来当不长了。”于是陆小豆就把今天的事情告诉了学霸精灵。

学霸精灵听完一蹦三尺高：“怎么不早说，周期性问题你都搞不懂，这下糟糕了，等我和未来联络一下再来骂你！”

学霸精灵的眼睛开始闪过一行行的数据，没多大一会儿，它就气哼哼地说道：“完了完了，全都乱套了，整个管理系统都乱了。医院的自动开药程序胡乱地给病人开药，本来一周吃完的药一天就都给病人吃了；电力供应严重不稳定，电压时高时低；通讯也总是断断续续。太糟糕了！”

陆小豆：“啊？这都是什么情况 ？难道又是我的错？”

“你说得太对了！你知道周期性问题有多重要吗？”

“不就是算算星期几吗？”

“那当然是最基础的，但如果基础都没掌握，自然更高深也不会搞明白。你看我瞬间就能算出2024年的‘六一是星期六。”

“你是电脑，当然……”

“别说了，马上给我变身！”

变身之后，陆小豆一下子想到了很多。

“3月份有31天，31-5=26（天），因此再过26天就是3月31日。在此基础上再过30天正好就是4月30日，然后再过31天就是5月31日。此时已过了26+30+31=87（天），再过1天就是6月1日了，因此还要再过88天。”

“一周7天是一个周期，88÷7=12……4，今天是星期五，过了12个完整的周期，再往后推4天，六一是星期六。”

若一组事件或现象按同样的顺序重复出现，则把完成这一组事件或现象的时间或空间间隔，称为周期。解决有关周期性问题的关键是确定循环周期。

介绍三种确定周期的方法：

（1）观察找周期：规律比较明显，可以通过观察直接发现规律，如数字排列规律；

（2）计算找周期：规律比较隐蔽，需要通过分析比较、计算才能发现规律，如计算多个相同数字相乘，积的个位数字是多少；

（3）根据生活常识找周期：有些周期，我们可以根据生活常识来确定，如判断某天是星期几。

难度：

在学校运动会的开幕式上，46名同学组成仪仗队站成一排。如图所示，每人手里都举着一面彩旗，从左到右颜色依次是红、黄、蓝、绿4种颜色依次循环。问：最右侧的同学手里举的彩旗是什么颜色的？

答案：黄色

解答：由题中条件可知，红、黄、蓝、绿4种颜色为一个周期。

46÷4=11……2，商11代表一共有11个完整的周期，而余数2代表最后余下2个。

所以第46个人旗帜的颜色是一个周期（红、黄、蓝、绿）中的第二个—黄色。

难度：

（1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。第一天往仓库里运进了50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进了50吨，第四天再运出60吨……如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？

（2）工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。第一天，从仓库里运出了60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出了60吨，第四天再运进50吨……如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？

答案：（1）第16天；（2）第5天

解答：（1）第一天运进50吨，第二天运出60吨，相当于2天一共运出60—50=10（吨）；以后不停地循环下去，也就是以2天为一个周期，每个周期向外运10吨货物。

由于80÷10=8，因此要把仓库清空需要运8个周期，即2×8=16（天）。

（2）方法一：由题意，得最后一天必为运出60吨货物，以2天为一个周期，每个周期运出货物60-50=10（吨）。

要使仓库中剩下60吨货物，需要运（80-60）÷10=2（个）周期，即2×2=4（天）。

运完剩下的货物还需1天，所以一共需要4+1= 5（天）。

方法二：以第2天为周期起点，把第2天与第3天看作一个周期，第4天与第5天看作一个周期，依此类推。那么在第1天后，仓库中还剩下80-60=20（吨）货物。每个周期有2天，共运出10吨，因此还需要运2个周期，一共需要1+2×2=5（天）。

难度：

一只蜗牛从深30米的井底向上爬，第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再向上爬6米；第四天又向下滑了4米……按这样的规律进行下去，蜗牛第几天才能爬到井口？

难度：

爸爸比妈妈大5岁，而且两人生日相同。如果爸爸是1982年6月17日星期四出生的，那么妈妈是在星期几出生的？妈妈出生后第一次在星期二过生日的时候是哪一年？

答案：第25天

方法一：蝸牛要爬出井，一定是在某一天向上爬时爬出井的。蜗牛在这一天最多爬6米，那么在之前的时间内，蜗牛一共至少爬了24米。

这只蜗牛爬一天休息一天，第一天向上爬6米，第二天滑下来4米，所以这2天实际上只向上爬了2米。把2天看作一个周期，那么要爬24米需要24÷2=12（个）完整的周期。

因此蜗牛要爬出井一共需要2×12+1=25（天）。

方法二：我们选取第二天作为周期的起点，以“下滑4米，上爬6米”为一个周期。

第一天上爬6米，剩下24米，那么还需要24÷2=12（个）周期。

每个周期2天，则一共24天，再加上第一天，所以一共25天。

答案：星期三；1997年

解答：（1）由于从1982年6月17日到1987年6月17日，只经历了一个2月29日，即1984年2月29日，因此只有1个闰年，其余4个都是平年。由此可得总天数是：365×4+366=1826（天）。

1826÷7=260……6，也就是这段时间包含了 260周多6天。

从星期四开始，再过6天是星期三，因此1987年6月17日是星期三。

（2）1987年6月17日星期三妈妈出生，再过1年是1988年6月17日，由于这1年包含了1988年的2 月29日（闰年），一共366天，366÷7=52……2，则1988年6月17日是星期五；再过1年应该是一个平年，一共365天，365÷7=52……1，则1989年6月17日是星期六；用类似的方法分析，可知1990年6月17日是星期日，1991年6月17日是星期一，1992年6月17日是星期三，1993年6月17日是星期四，1994年6月17日是星期五，1995年6月17日是星期六，1996年6月17日是星期一，1997年6月17日是星期二。

因此1997年妈妈第一次在星期二过生日。

如图，在A、B两地之间有7个车站，一辆列车不停地往返于A、B两地之间。它从A出发，每天行驶到下一站，到达B地后的下一天又回到7号站，如此反复。已知列车第4次驶入4号站时是星期六，那么它第20次驶入5号站时是星期几？

答案：星期日

解答：A→1→2→3→4→5→6→7→B→7→6→5→4→3→2→1→A→1→2→3→4→……

容易看出，列车从A地到达B地需要8天，再返回A地又需要8天，然后再出发去往B地。

因此，列车往返运行的周期是16天。

发现列车第4次是从右往左驶入4号站的。同理，列车第6，8，10，12，14，16，18，20次到达4号站，都是从右往左驶入的。把列车从右往左驶入4号站看作每个周期的开始，因此第20次驶入4号站时，正好是在第4次驶入4号站的8个周期之后，即16×8=128（天）之后。

很明显，列车从右往左行驶时，在到达4号站的前一天到达5号站，因此从第4次驶入4号站往后数128—1=127（天），就是第20次驶入5号站的日期。

127÷7=18……1，而列车第4次驶入4号站是星期六，因此第20次驶入5号站是星期日。