浅谈分率（百分率）、比与除法的一致性

宋文相

小学数学教学中，教师要注重前后知识间的内在联系，引导学生迁移旧知，类比学习新知。笔者结合《百分数的应用（一）》的教学，浅谈分率（百分率）、比与除法的一致性。

形式的一致性。课始，笔者出示数学问题：“有45立方厘米的水，结冰后体积约为50立方厘米。（1）冰的体积比原来水的体积约增加了百分之几？（2）水的体积比冰的体积约减少了百分之几？”抛出问题后，笔者引导学生分析：把冰的体积和水的体积写成比的形式为“50∶45=10∶9”；这个比可以转化成分率，即“50∶45=10∶9=[109]”。但是要注意：比的后项是单位“1”，前項是比较量，表示冰的体积是水的几分之几；分率“[109]”中的分母相当于除法中的除数，也相当于比的后项；而分率过渡到百分率只是结果要化成百分率形式而已，由此可以列式得：50÷45×100%≈111.1%。这样再来解决第（1）问，就与解决“冰的体积比水的体积多几分之几？”是一致的了，即用多的数量“50-45”除以单位“1”的量（水的体积“45”）得到“[19]”。而求“增加了百分之几？”就是求“冰比水多的体积是水的百分之几”，类比分数的应用可以列式为（50-45）÷45×100%≈11.1%。

建模的一致性。分数应用题中“求甲数是乙数（非零）的几分之几？”用除法，用比较量除以单位“1”的量，建模为“甲÷乙”，延伸到“甲数比乙数多几分之几”，建模为“（甲-乙）÷乙”。本节课要求的结果是百分率，可以理解为甲比乙多百分之几，可用模型“（甲-乙）÷乙×100%”解决。考虑到算法的多样性，应该先求出比较量是单位“1”的几分之几（或者百分之几），再同整体“1”作比较。也就是说，多几分之几（百分之几）的问题建模为分率（百分率）减“1”，少几分之几（百分之几）的问题模型为“1”减分率（百分率）。

数形结合的一致性。解决分数的应用问题时，教师要注重引导学生通过画一画分析数量关系。

图1和图2是基于第一种方法建模的线段图，即用相差数量除以单位“1”的数量。

图3对应的是“求一个数比另一个数多百分之几”模型（百分率-100%）的线段图，图4对应的是“求一个数比另一个数少百分之几”模型的线段图。

无论是分数应用题还是百分数应用题，画线段图分析数量关系都能化难为易，帮助学生直观地分析、解答问题。

认知冲突的一致性。教学分数应用题时，笔者出示如下题目：“男生有40人，女生有50人，男生比女生少[15]，那么女生就比男生多[15]吗？”学生形成认知冲突之后，笔者引导学生思辨，发现虽然相差数量不变，但由于单位“1”不同，相差的分率是不同的。同样地，教学百分数的应用题时，仍然有“水与冰相差的体积数量不变，冰的体积比水的体积增加了约11.1%，水的体积比冰的体积减少了11.1%吗？”这样的认知冲突，笔者抓住认准单位“1”这个关键点，帮助学生突破了“增加了百分之几”“减少了百分之几”的问题。从比的知识来讲，相差数这个比的前项不变，但比的后项改变了，所以比值发生了改变。

（作者单位：宜昌市秭归县第二实验小学）

责任编辑  张敏