基于波利亚解题思想的导数零点问题的例题表设计

摘 要：本文以2020年新高考文科数学全国Ⅰ卷第20题为例，基于波利亚“怎样解题”的思想，对导数零点问题中根据零点个数求解参数这一类型问题的解题表设计进行了探究.

关键词：导数；零点问题；解题表设计

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）03-0027-03

20世纪以来，问题解决一直是心理学与教育学研究的重点，其中美籍匈牙利数学家波利亚（George Polya）的解题理论是众多教育家推崇的理论之一，其归纳出的“怎样解题表”为学生提供了启发式的解题方法，主要包括理解问题、拟定计划、实行计划、回顾[1].

本文基于波利亚解题思想，以2020年新高考文科数学全国Ⅰ卷第20题为例，对根据零点个数求解参数的零点问题的解题表设计进行了探究.旨在为学生提供解答该类题目的方法，启发学生对其他零點问题的思考，培养学生的数学思维.

1 解题表的设计——以2020年新高考文科数学全国Ⅰ卷第20题为例

1.1 原题呈现

已知函数f（x）=ex-a（x+2）.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

第（1）问直接将a的取值代入，根据导数与原函数单调性的关系，可得f（x）在（-∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，具体过程不予赘述.第（2）问是根据零点个数求解参数的零点问题，以此为例，下面我们对这类问题的解题表设计进行探究.

1.2 理解问题

根据波利亚的“怎样解题表”，第一步要理解问题.在这一步骤中学生可以基于“未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？可能满足什么条件？”四个问题进行思考[2].

对于该类型的零点问题，我们的已知、未知、条件往往为函数的解析式、参数范围、零点个数.判断“满足条件是否可能？”最直观的方法就是作图，因此，我们首先讨论函数的单调性.对f（x）求导发现

f ′（x）=ex-a是单调递增函数，当a≤0时，f ′（x）>0恒成立，此时f（x）至多有一个零点；当a>0时，f ′（x）=0有解，所以f（x）先减后增，当f（x）min<0时，a>1/e，f（x）可能存在两个零点，即满足条件是可能的[4].a=1时草图如下所示.

因此在理解问题这一步骤中，引导问题可设置为：该函数解析式是什么？该函数单调性如何？该函数有几个零点？你是否知道它们所在的大致区间？你能否根据导数画出满足条件的草图？你能否根据上述草图初步判断参数范围？

1.3 拟定计划

根据波利亚的“怎样解题表”，第二步要拟定计划，找出已知和未知之间的关系.在这一步骤中，学生可以基于“你知道什么与此有关的问题吗？这里有一个与你有关且以前解过的问题，你能应用它吗？你可以改述这个问题吗？”三个问题进行思考.

我们已经对a的取值范围进行了初步判断，欲证明（1/e，+∞）即为所求，只需证明此时f（x）在（-∞，lna）和（lna，+∞）上分别有且仅有一个零点（lna>-1）.根据零点定理及f（x）的单调性，我们可以将其改述为：证明在（-∞，lna）和（lna，+∞）

上分别存在使得函数值大于0的点，此时零点问题转化为了取点问题，如何取点成为解题的关键.

因此，在理解问题这一步骤中，引导问题可设置为：按照你所拟定的计划，你能否找到满足使用零点定理条件的所有点？在计算过程中，你的演算是否正确？

1.5 回顾

根据波利亚的“怎样解题表”，最后一步要回顾、校核所得的解答.在这一步骤中学生可以基于“你能校核结果吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？”三个问题进行思考.

回顾本题的解答过程，重难点分别在于将零点问题转化为取点问题和取到使函数值为正的点.这一过程中，学生常会因放缩不当而迷茫，此时就需要开辟新的思路：若坚持放缩，是否可以放缩ex来寻找（lna，+∞）上使得函数值大于0的点；若放弃该思路，自然地可想到分离参数，此时题目就转化为直线与函数的交点问题，具体过程不予赘述.

2 结束语

本文以2020年新高考文科数学全国Ⅰ卷第20题为例，基于波利亚“怎样解题”的思想，对根据零点个数求解参数这一类型的导数零点问题的解题表设计进行了探究，为学生提供了解答该类题目的方法以及思考过程，其中体现出的放缩、分类讨论等思想有利于发散学生的数学思维.

日后，学生若再遇同类型题目可直接套用本文总结出的解题表进行解答，对于其他类型的导数题目亦可从本文出发进行迁移.

参考文献：

［1］G.Polya.怎样解题[M].北京： 科学出版社，1982.

[2] 林生.常规中重基础，朴实间见真功：2020年高考全国Ⅰ卷文科数学第20题的深度分析与优效备考策略[J].广东教育（高中版），2020（Z1）：54-58.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者简介：孙雅琪（2002.8-），女，辽宁省丹东人，本科，从事中学数学教学研究.