挖掘试题价值 提升复习品质——以一道“球槽模型”试题为例

何崇荣 张 黎

(武汉市黄陂区第一中学)

做题、讲题是高三复习的主旋律,面对高考题以及各种模拟题,复习过程中要充分挖掘试题的价值,进而提高复习效率与品质。本文通过对一道“球槽模型”试题的拓展与关联探究,巩固了圆周运动向心加速度、加速度的理解,复习了动量和能量主干知识、整合了常用的求解极值的思想和方法。

1.“球槽模型”典例

【例1】(多选)光滑水平面上有一个质量为m的光滑圆弧形槽,现将一个质量也为m的小钢球从槽的顶端水平A处由静止释放,在小球下滑的过程中,以下说法正确的是

( )

图1

A.小球和槽组成的系统动量守恒

B.小球在下滑到圆弧槽的另一侧时,可以到达和A同水平的最高点C

C.小球下滑到底端B的过程中,其对地的运动轨迹为圆

D.小球在下滑到圆弧槽底端B的过程中,小球动能随时间先增大后减小

【答案】BD

【点评】此题属于容易做对但不易做懂的试题。学生很容易判断AC错误,BD正确。学生做题几乎以做对为目标,选择题往往采用排除法,只要答案正确,其他选项不会深入思考。教师要引导学生去思考和探究有研究价值的选项,针对该模型整合相关考点与知识点,从而将试题的价值发挥到最大,提升复习品质。

2.试题拓展及解析

2.1 拓展1

若地面粗糙,且小球下滑过程中圆槽始终不动,圆槽的半径为R,重力加速度大小为g,考虑一般性,设小球和圆槽质量分别为m和M,小球从槽的顶端水平A处由静止释放。

(1)当小球与圆心连线跟水平方向夹角为θ时,小球的加速度大小为多少?(以图像形式考查)

(2)求地面对圆槽的摩擦力的最大值。

(3)小球重力的功率在何处最大?

(4)求圆槽与地面间的动摩擦因数μ的最小值。

2.1.1 拓展1解析

(1)通过图像形式考查小球下滑过程中的加速度特点

【例2】同例1题图,一个小球从光滑固定的半圆形圆弧槽的顶端A点由静止释放后,当小球运动到与圆心连线跟水平方向夹角为θ时,小球加速度大小为a,则小球经最低点B运动到C点的过程中,a随θ的变化图像可能是

( )

A

【答案】D

【点评】设置问题(1),将圆周运动向心加速度与加速度对比,帮助学生理解圆周运动向心力和向心加速度来源。

(2)求地面对圆槽的摩擦力的最大值。

设圆槽半径为R,当小球运动到与圆心连线跟水平方向夹角为θ时,如图2所示。

图2

对小球,根据牛顿第二定律有

对圆槽,根据平衡有Ff=FN1′ cosθ③

根据牛顿第三定律,小球对圆槽的压力

FN1′ =FN1④

联立①②③④解得

(3)小球重力的功率在何处最大?

法1:物理方法

小球重力的功率PG=mgvy,所以重力功率最大时,小球速度的竖直分量vy最大,即小球加速度的竖直分量ay=0,则

FN1″ sinθ=mg⑥

法2:重要不等式

重力做功的瞬时功率

法3:导数法

令f(θ)=sinθcos2θ,则f′(θ)=cos3θ-2cosθsin2θ=cosθ(1-3sin2θ)

关于小球下滑过程重力做功功率特点,也可以通过图像定性考查。

【例3】同例1题图,一个小球从光滑固定的半圆形圆弧槽的顶端A点由静止释放后,经最低点B运动到C点的过程中,小球的动能Ek随时间t的变化图像可能是

( )

A

【答案】B

(4)求圆槽与地面间的动摩擦因数μ的最小值。

对圆槽,根据平衡有FN2=Mg+FN1′ sinθ⑦

圆槽始终保持静止状态,则Ff≤μFN2⑧

处理1:不等式,将⑨式整理得

处理2:三角函数,将⑨式整理为

θ∈[0,90°]上式恒成立

【点评】设置问题(2)(3)(4)巩固求解极值的一些常用方法。问题(3)中法2利用均值不等式求极值,该方法也可求解等量同种电荷中垂线上最大场强。问题(4)处理1,利用双勾函数求最值,该方法也可求解电源的最大输出功率。高考压轴题往往对应用数学方法解决物理问题的能力要求较高,所以像二次函数、三角函数、对勾函数、导数求极值,数列通项等数学知识在复习过程中应加强训练。

2.2 拓展2

若地面光滑,圆槽不固定,小球从半圆形圆弧槽的顶端A点由静止释放

(1)求小球运动到最低点时对圆槽的压力。

(2)求小球运动的轨迹方程。

(3)小球在下滑过程中,速率是否一直增大?

(4)与拓展1相比,小球在圆槽内的运动周期变大还是变小?

2.2.1 拓展2解析

(1)求小球运动到最低点时对圆槽的压力。

系统水平方向动量守恒有mv1-Mv2=0 ①

在最低点,以圆槽为参考系,由于此时圆槽的加速度为0,此时为惯性系,小球相对于圆槽做圆周运动,对小球,根据牛顿第二定律有

(2)求小球的运动轨迹方程。

如图3所示,以地面为参考系,建立坐标系xOy,小球位置坐标为P(x,y),以圆槽为参考系,建立坐标系x′O′y′,小球位置坐标为P(x′,y′),则小球轨迹方程为x′2+y′2=R2

图3

根据水平方向动量守恒在任意时刻有mv1=Mv2

由x1=v1Δt,x2=v2Δt,可得mx1=Mx2

由几何关系得y′=y、x1=R+x、x2=-x+x′

【点评】通过设置拓展1中的问题(1)和拓展2中的问题(1)(2),可以帮助学生理解一般曲线运动的向心力和向心加速度,比如天体运动椭圆轨道的向心加速度。

(3)小球在下滑过程中,速率是否一直增大?

设小球与圆心连线跟水平方向的夹角为θ时,小球速度大小为v1

相对圆槽的速度大小为u,圆槽的速度大小为v2,如图4所示。

图4

系统水平方向动量守恒有

m(usinθ-v2)=Mv2④

系统机械能守恒有

小球速度满足

联立④⑤⑥解得

若球槽质量相等,比较容易推导出⑨式,但由⑨式不能直观判断小球下滑速率的变化情况,此时可以考虑特殊值法来判断。

(4)与拓展1相比,小球在圆槽内的运动周期变大还是变小?

由⑧式可知,圆槽不固定时,小球在圆槽中的运动周期小于圆槽固定时的运动周期。

图5

3.小结

通过对一道“球槽模型”试题的拓展与关联探究,巩固了圆周运动向心加速度、加速度的理解,复习了动量和能量主干知识、整合了常用的求解极值的思想和方法,这种拓展探究型的复习课,重视思维训练,能够提高学生的关键能力,提升了复习品质。