利用“一题多变、多题归一”提升解决问题的能力

杨高轩

(河北正定中学)

高考评价体系指导下的物理高考以及模拟试题突出关键能力和学科素养的考查,注重考查学生的思维品质,强调思维过程和思维方式,鼓励学生多角度主动思考、深入探究,降低“死记硬背”和“机械刷题”的收益。开展“一题多变、多题归一”教学是培养学生可迁移的高阶思维能力、提升学生综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力、应对新高考的有效途径,本文以“晾衣绳”问题为例进行阐述。

一、“晾衣绳”问题

【情境呈现】如图1所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,假设悬挂衣服的衣架钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。

图1

【情境分析】此情境中涉及两个模型:“活结”和“轻绳”。悬挂衣服的衣架钩是光滑的,可以在晾衣绳上自由移动,这是“活结”问题,同时晾衣绳的质量不计,也就是忽略晾衣绳的重力,所以晾衣绳中的拉力处处相等,我们将此情境以及与此情境相类似的问题称为“晾衣绳”问题。

图2

图3

二、一题多变,多角度分析问题

“一题多变”能让学生根据条件的变化或者问题的变换转变思维方式,从不同的角度分析问题,以此培养学生的发散思维。晾衣绳中拉力FT的大小与绳子两端点间的水平距离d、两端点间绳子的长度L有关,所以“晾衣绳”问题可从改变d和L两个角度开展“一题多变”教学;“晾衣绳”问题是一类典型的受力平衡或动态平衡问题,涉及“活结”和“轻绳”模型的情境可按“晾衣绳”问题进行分析,所以也可以通过改变试题情境开展“一题多变”教学。为了便于分析问题,本文将情境拓展类问题融合到改变d和L两个角度进行阐释。

(一)改变绳子两端点间的水平距离d

变式1:沿水平方向移动竖直杆

【例1】如图4所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是

( )

图4

A.绳的右端上移到b′,绳子拉力变小

B.绳的两端高度差越大,绳子拉力越大

C.将杆N向左移一些,绳子拉力变小

D.将杆N向右移一些,绳子拉力变小

【答案】C

变式2:将竖直杆改为倾斜杆并移动绳端

【例2】生活中晾衣服随处可见,如图5所示,某处有两晾衣杆A和B,A杆竖直固定,B杆向右侧倾斜。不可伸长的轻绳一端a固定在杆A上,另一端b可以沿B杆移动,衣服用光滑挂钩挂在绳子上。则下列说法正确的是

( )

图5

A.将b端从B1移到B2,绳子张力不变

B.将b端从B1移到B2,绳子张力变大

C.将b端从B2移到B1,绳子张力变大

D.将b端从B2移到B1,绳子张力变小

【答案】C

变式3:将竖直杆在竖直面内缓慢旋转

【例3】如图6所示,将不可伸长、质量不计的绳子两端分别固定在竖直杆PQ、MN上,杂技演员利用轻钩让自己悬挂在绳子上,不计轻钩与绳间的摩擦。现将MN杆绕N点垂直纸面向外缓慢转动15°,该过程中关于绳子上张力大小的变化,下列说法正确的是

( )

图6

A.逐渐变大 B.逐渐变小

C.始终不变 D.先变大后变小

【答案】A

变式4:由竖直杆变为水平杆并移动绳端

【例4】(多选)如图7所示,一粗糙水平晾衣杆AD固定在支架上,一条不可伸长的轻质细绳一端固定在A点,另一端与一个套在晾衣杆B点处的轻环相连,用一光滑挂钩将衣服悬挂在轻绳上,衣服处于静止状态。某同学将轻环从B点缓慢移到C点,放开手后衣服在图中虚线位置仍处于静止状态,则轻环移到C点后

( )

图7

A.细绳的拉力变小

B.挂钩对衣服的作用力大小不变

C.晾衣杆对轻环的摩擦力变小

D.晾衣杆对轻环的弹力大小不变

【答案】BD

变式5:由竖直杆变为水平杆并旋转水平杆

【例5】工地上甲、乙两人用如图8所示的方法将带挂钩的重物抬起。不可伸长的轻绳两端分别固定于刚性直杆上的A、B两点,轻绳长度大于A、B两点间的距离。现将挂钩挂在轻绳上,乙站直后将杆的一端搭在肩上并保持不动,甲蹲下后将杆的另一端搭在肩上,此时物体刚要离开地面,然后甲缓慢站起至站直。已知甲的身高比乙高,不计挂钩与绳之间的摩擦。在甲缓慢站起至站直的过程中,下列说法正确的是

( )

图8

A.轻绳的张力大小一直不变

B.轻绳的张力先增大后减小

C.轻绳的张力先减小后增大

D.轻绳对挂钩的作用力先增大后变减小

【答案】B

变式6:由水平杆变为穹形支架并移动绳端

【例6】如图9所示为一竖直放置的穹形光滑支架,其中AC以上为半圆。一根不可伸长的轻绳,通过光滑、轻质滑轮悬挂一重物。现将轻绳的一端固定于支架上的A点,另一端从最高点B开始,沿着支架缓慢地顺时针移动,直到D点(C点与A点等高,D点稍低于C点)。则绳中拉力的变化情况

( )

图9

A.先增大后不变

B.先减小后不变

C.先减小后增大再减小

D.先增大后减小再增大

【答案】A

变式7:由竖直杆、水平杆变为圆环支架并旋转支架

【例7】如图10所示,竖直平面内有一圆环,圆心为O,半径为R,PQ为水平直径,MN为倾斜直径,PQ与MN间的夹角为θ,一条不可伸长的轻绳长为L,两端分别固定在圆环的M、N两点,轻质滑轮悬挂质量为m的重物,放置在轻绳上,不计滑轮与轻绳间的摩擦。现将圆环从图示位置绕圆心O顺时针缓慢转过2θ角,重力加速度为g。下列说法正确的是

( )

图10

A.轻绳与竖直方向间的夹角逐渐减小

D.圆环从图示位置顺时针缓慢转过2θ的过程中,轻绳的张力先减小再增大

【答案】C

(二)改变两端点间的绳子长度

【例8】如图11所示,A、B为某阳台竖直墙壁上凸出的两颗固定钉子,小王通过一段细线跨过A、B悬挂一吊篮(吊篮不与墙壁接触)。因A、B不等高,故重新调整钉子B于C处,A、C等高且C在B的正下方,重新悬挂上原来的细线,整根细线始终处于同一竖直平面内,不计细线与钉子的摩擦,则下列说法正确的是

( )

图11

A.调整后细线的张力大小比调整前要小

B.调整后细线的张力大小比调整前要大

C.调整后细线对两个钉子的总作用力大小比调整前要小

D.调整后细线对两个钉子的总作用力大小比调整前要大

【答案】A

三、从“多题归一”的角度归纳“晾衣绳”问题

新高考注重考思维、考能力,课堂教学应从“授人以鱼”到“授人以渔”转变,学生的学习也应从被动接受教师传授知识向主动探索、主动思考、形成与发展关键能力转变。“一题多变”可以变更初始条件、变更问题的问法、变更物理情境、变更物理模型等,引导学生发散思维,同时我们也要注重“多题归一”,防止机械刷题。对一个情境或知识点从不同的角度加以拓展延伸,我们也应加以梳理、归纳、提炼、异中求同,揭开不同习题的表面现象,挖掘其本质的结构,以达到应用物理知识的变通性、规律性和发展性。

上述8个情境可以用图12进行提炼总结,抓住“晾衣绳”问题的本质特征,即:挂衣钩(或动滑轮等)可以在轻绳或细线上自由移动(不计摩擦),即存在“活结”模型;轻绳或细线质量不计、重力不计,两个模型可以推导出轻绳或细线中的拉力处处相等。另一方面要注意影响轻绳或细线中拉力大小的因素,从表面来看是轻绳或细线与竖直方向的夹角θ,向深层次思考可以发现其影响因素是轻绳或细线两端点间的水平距离d和两端点间轻绳或细线的长度L,在此需要注意是两端点间的水平距离而不是距离。

图12

四、结语

开展“一题多变、多题归一”教学旨在培养学生的高阶思维能力,提升学生的模型建构能力,是在解决原型题的基础上,通过变换初始条件、情境、模型、问题等要素,从而产生新的问题情境,促使学生从不同角度思考问题,引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,能够让学生对物理概念和物理规律的理解更加透彻。