贯彻新课程理念 促学习能力提升——以“三角函数诱导公式”教学为例

江苏省海安高级中学 (226600) 陆雨轩

数学教学既要关注知识的掌握,又要强调能力的提升.教学中,教师应结合教学实际设计一些探究性活动,让学生在活动中思考,在思考中深化,切实提高学生数学学习能力.不过,在实际教学中,为了赶进度,很多教师很少提供时间和空间让学生自主探究,大多延续着“讲授+练习”的传统模式,限制了学生发展.在教学“三角函数诱导公式”时,笔者以学生已有认知为起点,结合教学内容设计探究活动,让学生在探究中理解知识,发展数学素养.

一、教学过程

1.回顾旧知,引入新课

情境与问题:对称是圆的重要性质之一,这一性质在三角函数中有着重要的应用.根据三角函数的定义,我们得到了公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα,(其中k∈Z).也就是说,若角的终边重合,则其三角函数值相等.那么除了角的终边重合外,是否还存在着其他比较特殊的关系呢?

师生活动:教师让学生独立思考,有了前面的铺垫,学生很快想到了“对称”,于是教师顺势给出今天研究的主题:若角的终边关于原点或坐标轴对称,它们的三角函数值存在怎样的特殊关系.

设计意图:通过创设教学情境引导学生将新知与旧知建立联系,为新知探究指引方向,增强学生学习信心.在此过程中,教师引导学生从整体视角思考问题,从而使学生的思维变得有序化,有利于提升学生数学素养.

2.自主探究,发现新知

图1

探究1 如图1,任意角α的终边与单位圆交于点P1,角β的终边与单位圆交于点P2,其中P2与P1关于原点对称点.

(1)角α和角β有什么关系?

(2)角α和角β的三角函数值有什么关系?

教师先让学生独立思考,然后进行适度的引导,接下来呈现学生的思考过程:

(1)如图1,根据图形对称性可知β=α+π→β=2kπ+(π+α),k∈Z.结合三角函数的定义最终确定,该问题只要研究π+α和α的关系即可.

这样通过经历观察、思考、交流、推导等过程,学生得到了角α和角β之间的关系及其所对应三角函数值之间的关系.在此基础上,教师可以进一步让学生思考:公式二中的角α是否对任意角都成立?由此运用一般化思想加强公式的理解.

图2

探究2 如图2、图3, 任意角α的终边与单位圆交于点P1,P3与P1关于x轴对称,P4与P1关于y轴对称,试分析三角函数之间存在怎样的关系?

问题给出后,教师让学生独立探究,有了前面的探究经验,学生很快得到了答案,由此自主推导出公式三和公式四,即sin(-α)=-sinα,cos(-α)=sinα,tan(-α)=-tanα;sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.

探究3 在推导以上公式时都是运用的三角函数的定义,如果换一个角度,能否由公式二和公式三推导出公式四呢?

设计意图:教师预留时间让学生推导验证,探寻公式间的联系,为公式的理解与记忆提供帮助.

探究4 以上公式有何共同特征吗?

设计意图:通过经历观察、讨论、归纳等活动,让学生得到“函数名不变,符号看象限”这一共同特征,为公式的理解与应用提供便利.

3.运用新知,提升素养

例1 求下列三角函数值.

从教师呈现解题过程后,指导学生归纳求三角函数值的一般步骤.(如图4)

图4

变式求下列三角函数值.

设计意图:通过对例1的探究,求三角函数值的一般步骤已经形成,在此基础上,通过变式练习加强对求三角函数值的一般步骤的理解,提升学生解题技能.同时,通过应用让学生发现,求未知角的三角函数值其实质就是通过诱导公式将其等价转化为熟悉的锐角,这样认清问题本质,即可迎刃而解.

师生活动:学生思考可发现,对于cos(180°+α)和sin(α+360°),可直接应用公式化简,即cos(180°+α)=-cosα,sin(α+360°)=sinα,而tan(-α-180°)和cos(-180°+α)不能直接用公式化简,需进一步转化,如tan(-α-180°)=tan[-(180°+α)]=-tan(180°+α)=-tanα,cos(-180°+α)=cos[-(180°-α)]=cos(180°-α)=-cosα,这样通过变形逐渐向公式转化,问题迎刃而解.问题获解后,教师启发学生对解题过程进行归纳总结,形成解题的一般思路,体会整体思想的应用,提升数学素养.

变式化简:(1)sin(-α-180°)cos(-α)

sin(-α+180°);

(2)cos3(-α)sin(2π+α)tan3(-α-π).

设计意图:通过适度练习进一步巩固诱导公式,帮助学生积累丰富的解题经验,提升学生解题技能.

4.课堂小结,提炼方法

课堂小结是课堂教学的重要组成部分,该环节教师应将主动权交给学生,先让学生独立归纳,然后进行组内交流,接下来呈现各组交流成果,最后对学生交流结果进行归纳总结,形成知识网络图.

设计意图:教学中,教师提供时间和空间让学生对本课内容进行归纳总结,在深化相关知识理解的同时,提炼研究问题的思想方法,归纳解决问题的一般步骤,建构个体完善的知识体系.

5.分层作业,提升能力

在“双减”政策的推动下,教师基于基本学情设计分层作业,提供时间让学生对所学内容进行反思回顾,以此确保“减负增效”教学目标的顺利落实.课末,教师提出这样的问题:若给定角的终边关于直线y=x对称,那么它们的三角函数值有什么关系?

设计意图:作业作为课堂教学的延续,是帮助学生巩固本课所学知识,检测教学效果的重要途径.教师在设计作业时要避免简单的“一刀切”,切实从教学实际出发,设计符合本班实际学情的作业.课后思考题的设计,是本课内容的一个延伸和拓展,启发学生从整体的角度去思考问题,建构知识体系,提升数学思维能力.

二、教学思考

1.认真研究教材,准确把握教材设计意图

在本课教学中,认真研究教材不难发现,教材中突出了单位圆的作用,利用圆的对称性来研究三角函数的对称性.基于此,教师以对称性为主线,引导学生分别探究两个角的终边关于原点对称、关于坐标轴对称会得到怎样的关系,由此自然得到相应的诱导公式.这样利用圆的对称性研究三角函数的对称性,使诱导公式变得更加直观化、形象化,有利于学生理解和记忆.

2.创设有效情境,激发学生数学探究积极性

高中数学是比较抽象且复杂的,教师在教学中应重视创设有效的教学情境,进而将抽象的、复杂的知识向直观化、简单化转化,激发学生学习积极性.如在推导公式二时,通过创设情境引导学生进行探究性学习,这样不仅提高了课堂效率,而且促进了学生自主探究能力的发展和提升.

3.鼓励合作交流,培养学生自主探究能力

本章涉及的公式众多,若不能认清其本质,仅靠死记硬背,将很难到达预期效果.因此,在实际教学中,教师应结合教学实际创设一些探究性活动,引导学生经历知识生成过程,以此促进知识的理解,培养学生自主探究能力.

4.渗透数学思想,提升学生数学核心素养

数学思想方法是数学教学是精髓,其贯穿于数学教学的始终.例如在本课教学中,渗透了数形结合、转化化归、类比归纳、特殊与一般等思想方法.在实际教学中,教师要有意识地进行数学思想方法的渗透,以此揭示数学的本质,发展学生数学核心素养.