初中数学几何复习课的教学研究

江菊珠

［摘 要］引导学生动手操作，设计问题串，进行一题多变、一题多解等是有效的复习方法，运用这些方法进行初中数学几何复习，可以显著提升复习效果，培养学生的解题能力和思维能力。

［关键词］初中数学；几何复习课；平移；旋转；轴对称

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）02-0014-04

中考总复习，要复习整个初中阶段所学的知识，重点关注学生对基础知识和基本技能的掌握，同时也要适当关注其思维能力和思想方法的掌握，复习课的教学内容应满足不同层次学生的复习需求。时间紧，任务重，该如何复习，才能高效？笔者认为引导学生动手操作，设计问题串，进行一题多解、一题多变等是有效的复习方法，采用这些方法进行初中数学几何复习，可以显著提升复习效果，培養学生的解题能力和思维能力。

一、课前准备，任务驱动

在几何复习课中，让学生动手操作感受图形的生成是一种很好的教学方法。课前，先给学生布置任务，让学生通过画图，亲身感受图形的生成过程，并在画图过程中体会变中不变的量。学生在实践操作、思考运用中对所学知识进行回顾，可以加强对知识的理解。

例如，在上“图形的平移、旋转与轴对称”复习课时，教师课前可布置给学生一个任务：请作出一个三角形，使之与图1所示的[△ABC]全等。

学生通过思考及动手操作得出了以下方法。

二、知识梳理，建立框架

在初中数学几何复习课中，回顾整理知识是复习的起点。教师可通过思维导图或者表格帮助学生对知识进行系统化梳理（见表2），唤起学生对已学知识的回忆，建立知识框架，从而使学生对知识有全面且系统的认识。

例如，在上“图形的平移、旋转与轴对称”复习课时，教师先收集如表1所示的学生不同的画法（学生没想到的画法，教师课堂上补充），接着设计问题串驱动学生复习几何的概念和性质。

问题1：在以上四种变换过程中，什么改变，什么不变？

问题2：变换前后的两个图形是什么关系？

问题3：全等图形有什么性质？

本节复习课知识点较多，采用图表的形式将零散的知识点进行梳理，可以使学生对知识有系统的认识。在这个环节中，学生的参与面较广，教师在教学中关注知识与技能的传授，使学生能较好地把握“四基”。

三、问题导向，自主探究

复习课堂要体现“导为主线，学为主体”， 那么问题串的设计是关键。学生在教师设计的问题串的引导下能真正主动参与到教学活动中，积极思考问题，从而能够有效解决问题。教师在进行问题串的设计时，应根据课标要求及教学重难点，把教学内容转化为一个个指向明确的问题，引导和启发学生思考、探索、交流，并概括及抽象出数学结论。问题串的设计要由浅入深、层层递进，引导学生关注问题的本质。有问题串的引导，学生解决问题水到渠成，教学效率亦得到提高。

例如，在上“图形的平移、旋转与轴对称”复习课时，因为考虑到旋转和轴对称是中考出现频率较高的内容，也是学生的学习难点，所以教师选择了以下两道典型例题分别巩固这方面的知识点。

［例1］如图2所示，在矩形[ABCD]中，点[E]是[BC]上一点，将矩形[ABCD]沿着[AE]折叠，使点[B]落在点[F]处，若[F]是[CD]的中点，则[ADAB]的值是___________。

问题1：你能从图中找到哪些相等线段，哪些相等角？

问题2：若[AB=5] cm，你能求出图中哪些线段的长度？

问题3：若[AB=x]，你又能求出哪些线段的长度？（用含[x]的代数式表示）

问题4：你能求出[ADAB]的值是多少吗？

［例2］如图3所示，在正方形[ABCD]中，点[E]、[F]分别在边[BC]、[CD]上，且[∠FAE=45°]。将[△ADF]绕着点[A]顺时针旋转90°得到[△ABG]，求证：[△AEG] ≌[△AEF]。

四、变式训练，打破思维定式

一题多变、一题多解、多题一解等都是复习课比较好的教学方法。一题多解和多题一解可以充分调动学生积极参与问题的讨论和解答，使不同层次的学生都有所收获。在实际的教学中，部分教师因为怕浪费课堂时间，而对一题多解的题目择优而讲，这其实是在限制学生的思维。多题一解实际上就是题目变式，可以帮助学生从不同侧面理解概念，更好地认识同类问题的本质和解决方法，有效打破思维定式。

针对以上两道例题，分别设置了如下变式题：

［例1变式］如图4所示，在正方形[ABCD]中，[AB=3]，点[E]、[F]分别在边[BC]、[CD]上，将[AB]、[AD]分别沿[AE]、[AF]折叠，点[B]、[D]恰好都落在点[G]处，已知[BE=1]，则[EF]的长为___________ 。

问题1：折叠问题属于什么图形变换？折叠的性质有哪些？

问题2：例1和变式题的解题方法有什么共同点？解决此类问题的一般步骤是什么？

小结：折叠→全等→确定对应线段数量关系→利用勾股定理或相似构建方程。

［例2变式1］如图5所示，在[△ABC]中，[∠BAC=90°]，且[AB=AC]，点[D]、[E]都在边[BC]上，[∠EAD=45°]。若[BD=4]，[CE=3]，则[DE]的长是___________。

问题1：题目中的条件有哪些？

问题2：[∠1+∠2]等于多少？

问题3：你能通过适当的图形变换把[∠1+∠2]拼接在一起吗？

问题4：你能快速画出问题3所拼接的图形吗？（展示作图过程）

问题5：观察你所画的图形，你能找出图中相等的角和相等的边吗？

问题6：是否存在特殊角？

问题7：你有什么发现呢？（找三角形全等、直角三角形三边的数量关系等）

展示解法：解法一利用旋转作辅助线；解法二利用折叠作辅助线

［例2变式2］如图6所示，在[△ABC]中，[∠BAC=120°]，且[AB=AC]，点[D]、[E]都在边[BC]上，[∠EAD=60°]。若[BD=4]，[CE=2]，则[DE]的长是__________。

提示1：能用变式1的方法来解答此题吗？

提示2：遇到60°角，你会想到什么？能构造出哪些特殊三角形？

设计的变式题，从易到难，条件逐渐弱化，能让不同层次的学生都有所收获，且让学生系统掌握半角模型的使用方法，让学生达到“解一题会一类，懂一法長一智”的目标。

五、归纳模型，提高解题效率

掌握一些重要的几何模型，对解决几何综合题有一定的帮助。对学生来说，解决几何综合题最大的难点是作辅助线。熟悉常见的几何模型对正确作出辅助线有一定的启示作用，可以提高解题效率。

在完成以上教学环节后，教师向学生提出以下三个问题，引导学生对基本图形进行归纳总结，从而归纳出半角模型。

问题1：以上4个图形的结构特征有什么共同点？

问题2：你能总结一下这类题型的解题方法吗？

解题方法总结：结合“大角含半角+邻边相等”，可通过作辅助线，把分散的条件集中到一起，从而把隐含的条件与性质显现出来。通过旋转，使相等的边重合，以便将另外两个和为大角一半的角拼凑在一起，得到特殊角，构造旋转全等。

问题3：你能归纳出几何模型吗？

几何模型归纳（如图7）：

引导学生对经典几何模型进行归纳，让学生在归纳过程中感受模型的提炼是从特殊到一般的，从而培养学生的建模意识。

六、课后作业，加强理解

本节课的作业题是从整体视角熟悉知识之间的内在联系，包含本单元学习要培养的数学能力、数学思想方法及核心素养等。

（一）技能固化类作业

1.中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩。下面四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的，其中中心对称图形是（）。

2.如图8所示，[△OAB]的边[OB]在[x]轴的正半轴上，点[O]是原点，点[B]的坐标为（3，0），[△OAB]沿着[x]轴向右平移2个单位长度，得到[△CDE]，连接[AC]和[DB]，[△BDE]的面积为3，则图中阴影部分的面积为（）。

A. [12]            B. 1             C. 2            D. [32]

3.如图9所示，把[△ABC]绕着点[A]顺时针旋转120°，得到[△ADE]。若点[D]、[E]、[B]在同一直线上，则[∠ABC]的度数为_____________。

4.如图10所示，把矩形纸片[ABCD]沿着[AE]折叠，使点[D]落在[BC]边的点[F]处。若[AB=8]，[cos∠FEC=35]，则[BC]的值为_____________。

5.如图11所示，在Rt[△ABC]中，[∠C=90°]，把线段[AB]绕着点[A]逆时针旋转90°得到线段[AD]，再把[△ABC]沿着[CB]方向平移到[△EFG]的位置，当[E]、[F]、[D]三点在同一直线上时，求[∠BDF]的大小。

（二）能力提升类作业

如图12所示，在[△ABC]中，[AB=AC]，[AD⊥BC]于点[D]，[∠BAC]为锐角。

（1）将线段[AD]绕着点[A]逆时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点[D]的对应点[E]，使得[BC=2CE]。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，过点[B]作[BF⊥AC]于点[F]，连接[EF]和[EC]，若[BFBC=45]，求证：[EFBF=58]。

（三）能力拓展类作业

已知：正方形[ABCD]中，[∠MAN=45°]，[∠MAN]绕点[A]顺时针旋转，它的两边分别交[CB]和[DC]（或它们的延长线）于点[M]、[N]。

（1）当[∠MAN]绕点[A]旋转到[BM≠DN]时（如图13），线段[BM]、[DN]和[MN]之间有怎样的数量关系？并说明理由。

（2）当[∠MAN]绕点[A]旋转到如图14的位置时，线段[BM]、[DN]和[MN]之间又有怎样的数量关系？证明你的猜想。

（3）若正方形的边长为4，当点[N]运动到[DC]边的中点处时，则[BM]的长是_____________。

这些题目与本节课所学的知识点和模型思想联系紧密，既注重巩固基础知识和基本技能，又兼具能力提升。

本节课的教学采用动手操作、问题串设计、一题多变等策略，对学生突破学习难点有较大的帮助。问题串的设计符合学生的认知规律，对于综合性较强的问题，通过问题串把难度分解，层层推进，各个击破，使学生能在问题串的引导下顺利解决各个问题。一题多变可以让学生系统掌握同一类题的解题策略，知道在解题时应采取“从具体图形入手—分析变换形式—掌握变换性质—运用性质解题—归纳总结”的策略。

（责任编辑 黄桂坚）