分数意义整体建构的链接与呈现

文/深圳市宝安区罗田小学 李紫阶

一、分数学习的困难

分数作为一种"新"数，也是学生对于对数的理解的一种拓展;但从分数的含义上来看，分数又不仅仅是数量，同时更是一种量，既能够表示数量，还能够说明量的关系，因此对比起于整数与小数的学习，这无疑使得学生对分数的认识和学习增加了困难。史宁中教授在论述“分数的数学意义”时提到：“就整个中小学数学领域而言，分数大致有二种左右：一种是作为有理数形态存在的一个数，并能与其余的数一样参与计算;另一种则是以比的形态存在的数。而后者又是学校分数教育的重心。所以，最关键的分数应该是真分数，它可以代表一种事件或某个整体的部分，其本质就是它的无量纲性。”也就是说学生对分数的认识存在着二种层次，一个是“具体的数”，一个是“关系的率”。

二、分数内容的编排

基于新课程标准的特点以及对分值意义层次的分类，在北师大新版小学数学课本中对分数部分的教学内容做出了较系统的安排，突出螺旋式上升、迭代积累的原则，使得分数意义的学习分布在二、三、五、六年级。其中二年级进行“平均分”的学习，为分数的初步认识中“分”的操作进行必要的活动积累，体会分数是先分后数；而四年级一整个学年没有编排涉及分数学习的内容，需要等到五年级才继续学习“分数的再认识”，这无疑增加了学生学习分数的难度。接下来，笔者针对北师大版小学数学教材对分数内容的具体编排梳理如下：第一阶段：学习路径，“平均分”的学习活动，积累等分的活动经验；教材安排，二上（分一分与除法）主要内容，教材体现分物的过程，使学习者经过四次“分一分”的操作活动，充分体会“平均分”的含义，为分数的初步认知累积活动经验。第二阶段：学习路径，体会分数产生的必要性，通过直观的操作，感受部分与整体的关系，从而初步认识分数；教材安排，三下（分数的初步认识）；主要内容，在“平均分”的基础上，体会“不够分”之后从而产生了学习新数的必要性，并且通过多种图，有助于学习者直接理解分值所代表的总体与部分之间的关系。第三阶段：学习路径，通过对分数意义的再理解，从全方位、多角度体会分数的含义，并具体地从度量、运作、商、比率等四大方面理解分数的含义；教材安排，五上（分数的意义）；主要内容，对五年级分数的再认知，扩大分数产生的背景，扩大对“整体”的再理解，扩大对比较关系的再理解，了解分数单元，感受分数是对分数单元的再积累，并进一步认识分数和除法之间的关联。第四阶段：学习路径，在分数运算和解决问题的过程中，进一步理解、丰富分数的意义。教材安排，五下（分数加减法与解决问题）分数乘除法与解决问题。六上（分数的混合运算）；主要内容，六年级分数的运算和解决实际问题，进一步加深对分数意义的理解，认识到分数可以进行四则运算。第五阶段：学习路径，融通分数、除法和比之间的关系；教材安排，六上（比的认识）；主要内容，六年级比的学习，沟通分数、除法、比之间的关系。

三、厘清分数学习中的核心概念

1.分数概念的丰富性和分散性。经过前面对教材的分析，分数部分的学习中包括着诸多概念，如分数的意义、分数的基本性质、分数单位、真分数、假分数、约分、通分、分数与除法的关系。正由于概念多，分布广、联系“浅”（此处的联系“浅”在于分数的相关知识分布比较散，所以对学生整体、深度认识分数存在困难），学生在窥知分数全貌的过程是需要教师引导有效建构。也正由此，笔者的研究团队以为对分数意义的多角度认识是学习分数知识以及为后续学习分数的运算和解决问题的核心所在，正如学习一个概念，需要明确其内涵和外延，内涵是为了解决“是什么的问题”，明确分数意义的多维含义，而外延则是可以解决“用来做什么的问题”，学生在学习分数的基本性质、分数单位、真假分数、带分数、运算和解决问题的时候，都应该基于对分数意义的理解，从分数意义的角度出发，用单元整合的思路进行学习，才能达到深度的理解分数的本质。

2.分数概念的重要性和延伸性。以分数这个概念为核心，可以“生长”出一系列的概念，正因为此，分数才称为数学的核心概念之一，并以此可以成为一个概念群，正如前文所提及的平均分、商、约分、通分、比例、数的表征、数域的扩充等。所以，分数概念的教学，既要明确它本身的定义，还要围绕它所产生的“概念群”进行组织和呈现，这些构成的整体才是分数的教育价值所在。

四、“分数意义” 学习路径与学习方式的设计

1.设计适当的情境，帮助学生直观体会分数产生的必要性和数系扩充的整体性。分数作为一个“新”数，对学生而言不像整数和小数的学习那么自然存在，且有丰富的生活经验积累，分数的书写形式本身就是一个难点，其由三个部分组成，即分子、分母和分数线。经过一定的课堂观测，教师在教授分数初步认识的时候通常会这样描述分数的形式：分数线表示平均分，分母表示分的份数，分子表示取的份数。显然，这样的方式并不能让学生真的理解分数的意义，而且“取出来的分数”还会对后续学习假分数造成一定的负迁移。如，在三年级“分一分（一）”一课中，为了引导学生感受分数产生的必要性，我们尝试在分数初步认识的起始课中，将“分苹果”的情境调整为“分蛋糕”，并且从四个蛋糕、两个蛋糕、再到一个蛋糕，让学生感受从可以整分到无法整分的冲突，从而体会分数产生的必要性。

2.选择丰富的素材，促进学生对分数意义的多维度理解。北师大版教材的呈现方式主要以“情境+问题串”为主，通过创设丰富的问题情境引导学生进行探究，而在五年级学习“分数基本性质”一课中是直接以图形画一画的形式让学生进行操作，过于抽象和理性，这样的设计容易导致儿童对概念的理解过于机械化，即只知道要将分子、分母同时乘以或除以同一个数（不为零）却不了解分数的基本性质中隐含着分割、单位量转换以及单位分数等概念，以及理解其“等值”的本质。

3.利用几何直观，提高学生解决分数运算和应用的能力。传统的分数运算教学中，主要以学生能够熟练、准确地进行四则运算为教学的重点，注重算理和算法融合的课堂也是更多局限在于学生理解算理的基础上掌握算法。运算的方法和技能固然重要，但是从发展学生数学素养和建构知识结构的角度思考，如果忽视学生对分数意义本质理解主导下的算理融通，便会使得分数运算和解决问题的教学趋向形式形、记忆性，而缺乏类比迁移、推理论证、迭代递归。