基于一题多解的教育视角研究

王正梅

【摘  要】通过多角度多途径对2014年广东卷20题的研究分析，提出了多种解法，拓展出圆锥曲线切线的几个结论。

【关键词】切线;消参;圆锥曲线;几何法

2014年的高考早已落下帷幕，全国各地的高考试卷精彩纷呈，今年有幸看了广东的数学卷，一道解析几何题目激发了笔者浓厚的兴趣。在笔者学校组织的月考数学试卷中，我们命制了这样一道题目：过圆C：（x-2）2+y2=2外一点P作圆的两条互相垂直的切线，则动点P的轨迹方程。该题目考查圆的切线和圆的定义，比较简单。此题与广东卷20题有类似之处，即把圆换成椭圆，该如何解答？

题目1（2014广东，20）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的一个焦点为（，0），离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

第（1）问易求得椭圆C的标准方程为+=1.本文只探究第（2）问的解答。

一、题目1的条件和待求分析

先分析题目的条件和待求。题目中给了三个条件：①定椭圆C：+=1;②椭圆C外的点P到椭圆C有两条切线;③点P到椭圆C的两条切线垂直。待求是：动点P的轨迹方程。条件①是整个试题的背景，也是生成P的一个依托;条件②和条件③是由依托确定点P的。切线和垂直必然是解题的关键。

本题的难点是如何判断直线和椭圆相切以及如何运用两条切线垂直？想到切线自然想到切线与椭圆只有一个公共点，其方程组只有唯一一组解，对应判别式△=0;想到垂直自然想到斜率之积为-1（斜率存在时）或者是向量数量积为0。那么，解题的方向就明确了：①设切线方程（引入参数k——切线斜率），联立，判别式△=0，考虑斜率之积为-1，消去参数k（实际上是k1，k2）。②看到椭圆的两个切点，想到了切点弦方程与点P的坐标关系，切点弦方程怎么用？有什么结果？切点弦方程中x0，y0是待求的目标，x1，x2和y1，y2是参数，如何消去？③用椭圆的参数方程，引入两个参数θ1，θ2，如何消去参数？这些问题都需要通过垂直沟通和消参来完成。

二、题目1的多角度求解

思路1：设切线方程（含参数k），用判别式△=0

解析1：（1）易求椭圆C的标准方程为+=1。

（2）当过点P作椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易求得P的坐标为（±3，±2）。

当过点P作椭圆的切线的斜率存在时，设切线方程为y-y0=k（x-x0），即y=kx-kx0+y0，与椭圆方程联立得y=kx-kx0+y0

+=1消去y得（9k2+4）x2-18k（kx0-y0）x+9（kx0-y0）2-36=0，

△=[18k（kx0-y0）]2-4×（9k2+4）[9（kx0-y0）2-36]=0，

化简得（kx0-y0）2-（9k2+4）=0，即（x02-9）k2-2kx0 x0+y02-4=0，

设过P作椭圆的两条切线的斜率为k1，k2，则k1，k2是上方程的两个根，于是k1k2=，

又两条切线垂直，故k1k2=-1，即=-1，整理得x02+y02=13。

显然（±3，±2）也适合方程x02+y02=13，

故P点的轨迹方程是x02+y02=13。

思路2：设切点坐标，运用椭圆的切线方程（交轨法）

解析2：（1）易求椭圆C的标准方程为+=1。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是切点，则PA：+=1，PB：+=1

∵PA⊥PB，∴+=0，即16x1x2+81y1y2 =0。

由+=1，+=1 得x=，y=∴x2+y2=，

由+=0得y12y22=，代入上式整理得x2+y2=13。

注意：x2+y2的运算过程中，运用了x12=9-y12，x22=9-y22，减少变量的个数，运用了16x1x2+81y1y2=0，式子才能简洁，才能为下面的消参做好准备。

思路3：运用椭圆的参数方程和椭圆的切点弦方程（交轨法）

解析3：（1）易求椭圆C的标准方程为+=1。

（2）设切点A（3cosθ1，2sinθ1），B（3cosθ2，2sinθ2），

则PA：+=1，PB：+=1

∵PA⊥PB，∴+=0， 4cosθ1cosθ2+9sinθ1sinθ2=0，

即5cos（θ1+θ2）-13cos（θ1-θ2）=0由+=1+=1得x=，x=∴x2+x2==13，∴P的轨迹方程x2+x2=13。

注意：运用椭圆的参数方程，简化了消参的过程，是解析2的简化版。

思路4：用向量和椭圆的切点弦方程（直译法）

解析4：（1）易求椭圆C的标准方程为+=1。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是切点，则由PA⊥PB可得⊥，∴（x0-x1）（x0-x2）+（y0-y1）（y0-y2）=0，

即x02-x0（x1+x2）+x1x2+y02-y0（y1+y2）+y1y2=0。（*）

由P（x0，y0）可得過点P的椭圆的切点弦方程为+=1，与椭圆方程联立，消去y得到（+）-x0x+1-=0，由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1+y2=，y1y2=，x1x2+y1y2=，代入（*）式得x02+y02=+-+13

即（x02+y02-13）（1-）=0，

∵P在椭圆外，∴+≠1，故x02+y02-13=0，即P点的轨迹方程是x02+y02=13。

对比以上四种解法，显然解析1的运算量最小（但要分类讨论）。解析1是用待求P点坐标表示切线斜率k，再由垂直得出点P的轨迹方程，这种解法应是代入法求轨迹方程的变形应用;解析2、解析3用的都是交轨法——P是两条切线的交点，难点是如何消参，很好地体现了减元思想和整体思想;解析4用的直译法，中间也用到了消参法。后三种方法都避开了讨论，但它们的技巧性较强，对思维的要求较高，对计算能力的要求较高。

椭圆的特点是两个焦点和长轴长2a，能从几何的角度解决题目1吗？

思路5：椭圆的几何特征（几何法）

解析5：设左焦点F1关于PA、PB的对称点分别为F1′，F2′，对应的垂足分别为G、H，所以AF1′=AF1，BF2′=BF2，由椭圆的定义得到F1′F2=F2′F2=2a，因此OG=OH=a，因为四边形PGF1H为矩形，所以OF12+OP2=OG2+OH2=2a2故OP2=a2+b2=13，即P点的轨迹方程是x02+y02=13，如图1。

注：解析5中运用了一个结论：平面内，任意一点与矩形两条对角线端点连线长度的平方之和相等。

三、题目1的拓展

从上面的解法中，我们可以得到以下结论：

结论1：过P作椭圆+=1（a>0，b>0）的两条相互垂直的切线PA、PB，则P的轨迹方程x2+y2=a2+b2。

这个圆是蒙日圆，因为发现它的人是法国数学家蒙日（G.Monge，1745-1818）。

其逆命题也成立，即：

结论2：设P为圆x2+y2=a2+b2上任意一点，过P作椭圆+=1（a>0，b>0）的两条切线PA、PB，则PA⊥PB。

证明仿题目1的解析1即可。

迁移到双曲线上，-=1（a>0，b>0）可以得到：

结论3：过点P作双曲线的两条相互垂直的切线，则点P的轨迹方程是x2+y2=a2-b2。

迁移到抛物线上，我们得到：

结论4：过点P作抛物线y2=2px（p>0）的两条相互垂直的切线PA、PB，A、B为切点，则P的轨迹方程为x=-。

对题目1的角度（垂直）推广，我们还得到：

结论5：设椭圆+=1（a>b>0）的两条切线交成定角θ（0<θ<π），则交点P的轨迹方程为（x2+y2-a2-b2）2-4a2b2（+-1）cot2θ=0。

四、结束语

直线和圆锥曲线的位置关系历年来是各地高考命题的热点和考查的重点内容。一道数学高考题，由于其内在的规律，或由于思考的角度的不同，可能会有许多不同的解法。对于学生，研究用多种方法解答同一道数学题，不仅能牢固地掌握和运用所学的知识，而且通过一题多解，可以激发学生去发现和创新的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的灵活应用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性，灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，这对学生的数学学习和数学能力产生深远的影响。作为教师，在平时的教学中，通过一题多解，分析比较，寻求最佳解题途径和方法，不僅能提高自身解题技巧和教学能力，而且能开阔思路，提升自身教学素养。

【参考文献】

[1]蒋声，陈瑞琛.趣味解析几何[M].上海：上海教育出版社，2007.5.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2012.6.