让数学学习在真实情境中发生——以苏科版数学教材八（上）“平面直角坐标系”单元教学为例

■唐 莉

一、教材、学情分析

平面直角坐标系的建立，使平面上的点和有序实数对建立了一一对应关系，是后续研究函数性质，函数与方程、不等式关系的基础。学生学过数轴，知道直线上的点与实数的对应关系，对“用数对表示具体情境中物体的位置”有一定的了解，但从一维到二维，本章内容对学生的数学抽象能力、数学表达能力、研究方法的迁移能力有较高要求，需要教师进行适时引导。

二、教学目标

经历从具体实际问题抽象出数学模型——平面直角坐标系的过程，理解建立平面直角坐标系的必要性，促进抽象思维和数学高阶思维的发展，培养合作意识、问题意识、应用意识，进一步体会类比、数形结合等思想。

三、教学重难点

重点：理解平面直角坐标系及其相关概念，体会平面直角坐标系中的点与坐标的一一对应关系；难点：理解建立平面直角坐标系的必要性。

四、教学片段

1.新课引入

首先，请学生观看视频。视频中，机械手将一件件元器件准确送入芯片的相应位置。

师：工程师是如何向机械手下达命令的呢？

教师引导学生将芯片抽象成一个长方形，将元器件的位置抽象成一个点。这个实际问题就可以抽象成数学问题：如何描述点P在长方形OBCD中的位置？如图1。

图1

【设计意图】通过视频，创设真实情境，激发学生学习的主动性和积极性，说明建立平面直角坐标系的必要性、合理性；将现实问题抽象为数学问题，让学生体会如何用数学的眼光观察世界，发展学生的抽象能力。

2.建立模型，形成概念

问题1 如何描述点P在长方形OBCD中的位置呢？

学生先独立思考，再组内交流。教师随机抽选一名学生上台展示，其他学生可随时提问。

生：过点P作PM⊥OD，量出PM的长度就可以确定点P的位置。

师：大家同意吗？

生：我们小组不同意。到OM的距离为此长度的点有无数个，所以只有这一个数值不能确定点P的位置。可以过点P作PM⊥OD，PN⊥OB，如图2，量出PM、PN的长，由这两个数值就可以确定点P的位置。

图2

师：大家还有其他方法吗？

生：我们小组受方向角的启发，认为连接OP，再量出∠BOP的度数，如图3，由OP的长度和∠BOP的度数这两个数值就可以确定点P的位置。

图3

师：只有点P到点O的距离，可以确定点P的位置吗？只有∠BOP的度数，可以确定点P的位置吗？

学生通过讨论发现：只用一个数值无法确定点P在长方形OBCD中的位置，要确定点P在长方形OBCD中的位置，至少需要两个数值。

问题2 生活中有许多需要两个数值确定物体位置的例子，你能列举一些吗？

学生举例。教师引导学生分析所举事例，类比数轴上确定直线上的点的方法，给出有序数对的概念。

问题3 如果点Q在直线OD的左边，如何描述点Q的位置？

学生形成认知冲突，教师引导学生用有序数对描述点Q的位置。

问题4 如何确定平面内点P的位置？

教师引导学生探究如何才能更方便、快捷、容易统一标准地表示平面内点的位置，自然地构建平面直角坐标系的概念。此过程中可以渗透数学史相关内容的介绍。

【设计意图】以问题驱动的方式，引导学生探索发现确定点P在长方形OBCD中的位置需要两个数值，感受有序数对在实际生活中的应用，类比数轴上确定直线上的点的方法，结合对有序数对的认识，构建平面直角坐标系。学生面对复杂问题能主动简化或调取已有的研究经验，并从已有经验中获取有价值的信息，提升了分析问题、解决问题的能力，发展了数学思维。

3.类比学习，探究新知

教师引导学生描述平面直角坐标系，深刻理解平面直角坐标系的含义。水平的数轴称为x轴或横轴，一般取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，一般取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点，记为点O。

问题5 如图4，在平面直角坐标系中，你能表示点E的位置吗？

图4

师生共同完成“由点写坐标”任务。

师：已知有序数对（3，2），你能画出它表示的点的位置吗？

师追问：你能表示点B、C、D的坐标吗？

练一练：在平面直角坐标系中，画出下列各点：F（-3，2）、G（-3，-2）、H（3，-2）。

问题6 类似于数轴上点与坐标的关系，坐标平面内的点与坐标又有什么关系呢？

【设计意图】以上环节设计了两个活动：由点写坐标，由坐标描点。旨在通过作图，加深学生对点与坐标一一对应的理解，让学生从已有认知——数轴与实数的关系，联想到坐标平面内的点与有序实数对的关系，降低教学难度，突出教学重点，促进知识的有效迁移。

4.观察发现，拓展延伸

问题7 观察以上平面直角坐标系中画出的点，你有哪些发现？

学生观察发现象限点的坐标特征、平移点的坐标特征、对称点的坐标特征、坐标与距离的关系，甚至还能发现G、O、E、C四点在同一条直线上，E、F、G、H四点共圆。随后，教师帮助学生建构知识结构，引导学生体会在平面直角坐标系中，点的坐标不仅具有定位功能，还能刻画图形的位置、大小和形状特征。

问题8 现在你知道工程师是如何向机械手下达命令的吧？

生：工程师在长方形芯片中建立一个平面直角坐标系，编辑程序，输入元器件所在位置的点的坐标，机械手就可以通过坐标找到位置。

【设计意图】学生通过开放性问题，了解了知识的来龙去脉，进而构建知识体系，培养了系统化和结构化思维，同时体会到在平面直角坐标系中，点的坐标不仅具有定位功能，还能刻画图形的大小和形状特征。问题8 旨在解决课堂一开始提出的问题，让学生再次感受数学来源于生活，又服务于生活。

5.反思小结，知识展望

问题9 我们这节课学了什么？为什么学呢？以后我们还要学什么？

【设计意图】用大观念、大问题、大任务来组织学生的单元学习。教师通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，回顾平面直角坐标系的学习过程，体会类比、数形结合的数学思想，感受建立平面直角坐标系的必要性和应用价值，促进学生对平面直角坐标系的进一步研究，让学生的思维从一维空间，到二维空间，再到三维空间，不断发展。课堂结束后，教师可布置一道项目化作业供学生探究。

五、教学反思

本节课旨在让学生从整体和内部规律上系统掌握平面直角坐标系的知识，再现“如何想到用平面直角坐标系来描述物体（点）的位置”，即平面直角坐标系的生成过程。

在此过程中，笔者通过合适的主题整合教学内容，帮助学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题，培养数学思维。课堂开始，笔者利用视频创设真实问题情境，激发学生学习的主动性和积极性，让学生体会新知识是根据生活需要而产生的，从而说明建立平面直角坐标系的必要性以及合理性；随后，设置任务来驱动学生学习，设计问题来启迪学生思维，引导学生独立思考、合作探究，探索发现确定点P在长方形OBCD中的位置需要两个数值，这样的探究就显得很自然。为避免“类似于数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法确定平面内的点的位置”这类问题带来的突兀感，笔者渗透了类比思想，让学生构建平面直角坐标系的生长过程。学生在对问题深入、持续的探索过程中，培养了高阶思维能力，实现了深度学习。