对一个常见球杆模型的课堂讨论

张利国 胡光涛

(北京交通大学附属中学 北京 100081)

李 璐

(中国船舶集团有限公司综合技术经济研究院 北京 100081)

1 问题的提出

【原题】如图1所示,一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为m的小球,O点是一光滑水平轴,已知AO=r,BO=2r,使细杆从水平位置由静止开始转动,求当杆转到竖直位置时A、B两球的速度?

图1 原题题图

1.1 常规解法

根据质点系动能定理,有

(1)

vB=2vA

(2)

将式(1)、(2)联立,解得

1.2 学生提出了质心解法

质心C位于O点右侧0.5r处,对质心列动能定理方程有

(3)

由式(3)得

两球角速度相同,根据线速度和角速度之间的关系式v=ωr,解得

两种求解方式所求得vA、vB的值不同,这种质心求解的方法错在哪儿了?

2 问题的解决

2.1 对学生提出的质心解法进行修正

我们把式(3)的右侧再加上A、B两球相对质心的动能,换成下面的式子

(4)

其中ΔvA、ΔvB分别表示A、B两球相对于质心的速度,有

ΔvA=vA-vCΔvB=vB-vC

考虑到

代入式(4),解得

为什么修正之后得到vA、vB的值和常规解法相同呢?我们需要了解以下的概念和规律.

2.2 对修正的解释

首先,我们需要明确什么是质心,由质心的定义[1],质心C的位置矢量为

转为速度的形式,有

变形,有

令vi-vC=Δvi,则有

(5)

其次,我们需要引入柯尼希定理,内容为:质点系的动能等于质心动能与相对质心运动的动能之和.证明过程如下.

由于C为质心,由式(5)知各质元相对质心C的动量增量矢量和为零,即有

得证

到此为止,已经可以解释我们为什么要在等式右侧加上A、B两球相对质心的动能.似乎问题解决了,但学生又提出了新问题:难道不存在质心动能定理吗?

3 问题的引申

3.1 质心动能定理的推导

根据质点系质心运动定理,有

等式两边点乘质心位移drC,有[2]

可见,质心动能定理是成立的.

学生们用的就是质心动能定理,式(3)错在哪儿呢?

式(3)错在求合外力在质心位移上的功时,仅仅考虑了重力做功,外力考虑不全.如果把A、B两球看成系统,除了考虑重力外,还需要考虑杆对质点系的合力是否为零;如果把杆与A、B两球看成系统,则还需要考虑转轴对系统的合力做功.

我们应在左侧加上除重力之外的力在质心位移上做功,把式(3)改为

(6)

3.2 应用质点系动能定理求解

在应用质点系动能定理列式(1)时,为什么没有考虑杆对质点系做功?

如图2所示,取转动过程中的任意一段极短时间Δt,设杆对A、B两球的切向分力分别为FA、FB,设时间Δt内A、B两球转过的弧长分别为lA、lB.

图2 小球在重力和杆的切向分力作用下转动

对轻杆在任意时刻均有力矩平衡,即

FArA=FBrB

杆对A球做功

WA=FAlA=FArAωΔt

杆对B球做功

WB=-FBlB=-FBrBωΔt

考虑到两球角速度ω相同,可知杆对A、B两球做功代数和为零,可见在任意一段极短时间Δt内,只有重力对质点系做功,杆对A、B两球组成的质点系不做功.

4 问题的深入

4.1 杆对两球的切向力

I=5mr2

mg·2rcosθ-mgrcosθ=5mr2β

两球角加速度相同,利用切向加速度和角加速度之间的关系式a=βr,解得

利用牛顿第二定律对A、B两球在切向上列方程,有

FA-mgcosθ=maA

mgcosθ-FB=maB

解得

方向均垂直于杆向上.

4.2 杆对两球做功情况

WA+WB=0

杆对A、B两球组成的质点系不做功,这就是我们在式(1)中仅考虑重力做功的原因.

4.3 杆对两球的质心做功情况

这就是我们在式(6)中需要考虑除重力之外的力做功的原因.

有些学生会好奇,为什么我们只考虑切向分力,而不考虑法向分力,是因为无论对小球,还是对质心,法向分力均不做功.

在应用动能定理时,要把研究对象区分为质点和质点系,要考虑到动能定理分为质点动能定理、质点系动能定理、质心动能定理和相对动能定理,其关系如表1所示.对质点系列动能定理方程的时候,不仅要考虑到内力做功的问题,还要全面考虑到所有外力做功.如果进一步扩展的话,我们会发现,牛顿定律、动量定理也要做类似区分.

表1 各动能定理与对应的功