椭圆、双曲线焦点弦性质的推广及高考命题探源

张蕴禄

圆锥曲线的焦点与准线是圆锥曲线一对重要的点与线，圆锥曲线的许多精彩绝伦的性质很多是通过焦点、准线这个载体来演绎的.本文将探索椭圆、双曲线焦点弦的一个重要性质的推广，并围绕此性质进行高考命题探源.

1 椭圆、双曲线焦点弦性质的推广

椭圆、双曲线的焦点弦的性质非常丰富，下面的性质1是椭圆、双曲线焦点弦的一条重要性质.

定义 椭圆、双曲线的准焦点、类准线

椭圆、双曲线的准焦点与类准线仍然保持了椭圆、双曲线焦点、准线的若干性质，其中性质1对于椭圆、双曲线准焦点与类准线仍然是成立的，即下面的性质2.

下面仅证明性质2（1），性质1、以及性质2（2）证法与此类似，限于篇幅、不再赘述.

圆锥曲线的准焦点和类准线本身就是圆锥曲线焦点、准线的推广，其实椭圆的准焦点和类准线还可以再进行推广.性质2中椭圆的准焦点在焦点轴上，再次推广后，椭圆的准焦点还可以在短轴上.

2 高考命題探源

椭圆、双曲线的准焦点与类准线，是焦点、准线的推广，广受高考以及各类命题人员的青睐，许多的高考试题与椭圆、双曲线的准焦点和类准线有关.

点T（t，m）的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2＜0.

（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

命题探源：其中的（3）就来自于椭圆的准焦点与类准线的性质.易知点T（9，m）是类准线x=9上一点，MN一定过x=9对应的准焦点（1，0）.

（1）求E方程；（2）证明：直线CD过定点.

在2023年高考中，全国新高考Ⅱ卷再一次考到了准焦点与类准线问题，只不过这一次曲线载体由椭圆换成了双曲线.

3 经典解法

有关涉及椭圆、双曲线准焦点与类准线问题的解法有很多，下面以例3的（2）为例，给出解决此类问题的两种经典解法.

方法一：定比点差法

方法二：交点系方程法

分析：交点系方程法也常称作曲线系方程法，此类问题运用交点系方程法可使思路清晰、过程简洁.

椭圆、双曲线的焦点、准线推广到了准焦点与类准线.事实上，椭圆、双曲线的准焦点、类准线还可以再进行推广，例如准焦点还可以在对称轴以外的其他位置，这就是圆锥曲线的极点、极线.也就是说圆锥曲线的性质是相互关联的，只有经历过一次次的拓展，才能厘清性质与性质之间的相互关系，才能达到对性质、结论的深度理解，才能任其题目千变万化，总能透过题目的表面现象看到题目背后的本质，正所谓“不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”.