原子核β 衰变寿命经验公式*

夏金戈 李伟峰 方基宇 牛中明†

1) (安徽大学物理与光电工程学院,合肥 230601)

2) (安徽理工大学力学与光电物理学院,淮南 232001)

基于β 衰变的费米理论,提出一个计算原子核β 衰变寿命且不含自由参数的经验公式.通过引入奇偶效应、壳效应以及同位旋依赖,新提出的经验公式显著改进了对原子核β 衰变寿命的预言精度.对于寿命小于1 s 的原子核,新经验公式的预言结果与实验寿命常用对数的均方根偏差降至0.220,这比不含自由参数的经验公式提高约54%,甚至优于目前已有的其他经验公式和微观的准粒子无规相位近似方法.在未知核区,新经验公式预言的轻核区原子核的β 衰变寿命一般短于各微观模型的预言结果,而其预言的重核区原子核的β 衰变寿命与各微观模型预言结果基本一致.进一步采用新经验公式预言了核素图上丰中子原子核的β 衰变寿命,为r -过程的模拟提供了寿命输入.

1 引言

宇宙重元素起源是当前核天体物理领域的研究热点[1,2],其中约有一半铁以上重元素来自于快中子俘获过程(r -过程),即通过连续的中子俘获和β衰变合成元素[3–5].原子核的β衰变寿命是r -过程研究的必要输入,对r -过程核合成研究具有重要影响.然而,r -过程涉及的大量原子核的β衰变寿命仍无法从实验测得,尤其对于N=126 附近的原子核[6].因此,对β衰变寿命的理论预言是近年来核物理与天体物理共同关注的热点课题[7–9].

研究β衰变寿命的理论模型目前主要有经验公式[10–13]、gross 理论[14–17]、准粒子无规相位近似(quasiparticle random phase approximation,QRPA)[18–21]和壳模型[22–25]等.壳模型可以考虑β强度函数的精细结构,能够很好地预测轻核和幻数附近原子核的β衰变寿命.然而,由于组态空间维数随着价核子数目的增加而迅速增大,因此,无法使用壳模型对核素图上所有原子核的β衰变寿命进行系统计算;相较于壳模型,微观QRPA 方法可用于计算除少数轻核外所有原子核的β衰变寿命,例如基于有限程小液滴模型(finite-range droplet model,FRDM)[26]、非相对论密度泛函理论[18,19,27]和协变密度泛函理论[20,28–30]的QRPA 方法.然而,传统矩阵形式的QRPA 方法计算非常耗时,为进一步提高计算效率,提出了有限振幅方法 (finiteamplitude method,FAM)求解QRPA 方程[31,32],最近,该方程已被用于系统地预测中等质量和较重丰中子同位素的β衰变寿命[33,34].1969 年,Takahashi 和Yamada[14]首次提出了一个基于强度函数求和规则的统计方法,用于处理原子核的β衰变跃迁,建立了描述原子核β衰变的gross 理论.然而,该理论在描述β衰变寿命方面存在一定的局限性.为了改进这一描述,文献[15]通过修正单粒子强度函数,成功再现了实验的Gamow-Teller 巨共振信息,改进了gross 理论对β衰变寿命的描述,该模型被简称为GT2.此外,文献[16]通过考虑母核的壳效应,发展了semi-gross 理论(semi-gross theory,SGT),其预测精度已与微观模型相当.近年来,研究者们在gross 理论中引入各种微观效应,例如中子和质子单粒子能级的宇称变化[17]、自旋和宇称变化[35]以及相对论Hartree-Bogoliubov 理论中的自旋-轨道劈裂[36]等,这些改进显著提高了gross理论的预言精度,甚至优于微观模型.尽管gross 理论已经能够很好地再现β衰变寿命的实验值,但是对远离稳定线核区的预测,其可靠性仍有待检验.

相比其他研究原子核β衰变寿命的方法,经验公式具有更高的计算效率,通过引入自由参数,可以取得较高的预言精度.除了质子数和中子数外,原子核β衰变寿命的经验公式通常只需要原子核的β衰变能作为输入,而原子核的β衰变能可以根据原子核的质量得到.因此,采用β衰变寿命的经验公式,可以为各种原子核质量模型提供相应的β衰变寿命,从而为r -过程研究提供更为自洽的原子核质量和β衰变寿命输入.β衰变寿命的经验公式可以追溯至早期的萨金特定律[37],即原子核β衰变寿命和β粒子最大能量(即Em)的五次幂成正比.由于该公式所采用的近似较为粗糙,因此预言精度相对较低.通过对萨金特定律中β衰变能的常系数和指数项引入两个自由参数,相较于萨金特定律,预言能力有所提升[10].文献[11,12]发现,β衰变寿命与母核的核子数之间存在着指数关系,由此提出了β衰变寿命的指数定律,进一步引入与母核的核子数相关的壳效应修正项,显著改进了对幻数附近原子核β衰变寿命的描述.文献[13]基于原子核β衰变的费米理论,对相空间因子取相对论极限近似,进一步考虑奇偶效应和壳效应,提出了一个β 衰变寿命的新公式,相比指数规律,该公式更好地描述了已知实验寿命,并基于此构建了各种原子核质量模型对应的β衰变寿命,为r -过程提供了相对自洽的β衰变寿命输入[38].基于萨金特定律,文献[39]通过引入同位旋不对称项、奇偶效应项和壳效应项,进而提出计算β衰变寿命的新经验公式,可以更好地描述质子数Z=10—80 且中子数N=15—130 核区原子核的β衰变寿命.

为进一步提高β衰变寿命经验公式的预言能力,本文将基于原子核β衰变的费米理论,对费米积分函数采用相对论极限近似,并忽略核跃迁矩阵元的影响,首先提出一个无自由参数的β衰变寿命计算公式.进一步引入同位旋依赖、奇偶效应和壳效应等修正项,并将经验公式中常系数项作为自由参数,利用NUBASE2020[40]中的β衰变寿命实验数据确定自由参数,通过与实验数据和其他理论模型的预言结果进行比较,研究该经验公式的预言精度和外推能力.

2 理论框架

根据原子核β衰变的费米理论[41],在容许跃迁近似下,衰变常量λ表示为

其中,T1/2为原子核的β 衰变寿命,me和Em分别表示β粒子的质量(即电子质量)和最大能量,g为弱相互作用常量,Mif表示从母核初态i到子核末态f的跃迁矩阵元.f(Z,Em) 是费米积分函数,其形式为

其中,pm为β粒子的最大动量.F(Z,Ee) 是库仑修正因子,其形式为

由于精细结构常数α为小量,对F(Z,Ee) 中的γ取近似αZ→0,并对(2)式取相对论极限近似Ee→pec,可得

将(4)式代入(1)式,并忽略 |Mif| 的影响,即取Mif≡1,可得β衰变寿命公式(命名为公式 F1):

其中,Qβ为β衰变能,(6163.4±3.8)s .研究发现,将(5)式最后一项的负号替换为正号,公式F1预言的寿命与实验数据的偏差降低近一个数量级,因此,在实际计算中,公式F1最后一项采用正号.

为了进一步提高对原子核β衰变寿命的描述精度,参照文献[13],在公式 F1中通过引入物理量I=(N-Z)/A和δ=(-1)Z+(-1)N,以考虑β衰变寿命的同位旋依赖及其奇偶效应.然而,由于α2Z2为小量,因此,公式 F1中的第3 和第4 项对计算衰变寿命影响较小.如果将这两项的常系数作为自由参数,即使目前已有上千个原子核的实验寿命,也无法通过拟合实验寿命确定这两个参数的精确数值,其不确定性甚至约为其取值的 3 倍.因此,对于这两个参数,本文保留了基于费米理论推导出来的常数值 ln(2r0/(ℏc))和1/3,而仅将剩余的 3 个常系数作为自由参数,并在新引入的I和δ前添加两个自由参数,得到如下β衰变寿命公式(命名为公式 F2):

公式 F2的自由参数ai(i=1,2,···,5) 可以通过拟合实验寿命确定.

壳效应对原子核的β衰变寿命也具有重要影响,参照文献[12,13],本文进一步在公式 F2中引入壳效应修正项:

进而可得包含壳效应的β衰变寿命公式(命名为公式 F3):

公式 F3的自由参数ai(i=1,2,···,9) 也通过拟合实验寿命确定.

原子核β衰变能Qβ可以通过原子核质量计算得到,本文的原子核质量取自Weizsäcker-Skyrme质量模型(WS4)[42].原子核β衰变寿命的实验数据取自NUBASE2020[40],但只保留了Z,N≥8,β-衰变分支比为 100%且T1/2<106s 的实验数据.通过拟合实验数据,可以确定公式 F2和F3中的自由参数分别如下:

为了研究不同β衰变寿命经验公式的预测能力,本文将采用寿命常用对数 lgT1/2的均方根偏差(rms)来评估:

3 结果讨论

为了检验本文提出的各经验公式的预言能力,将与文献[13]提出的β衰变寿命的经验公式进行比较,为方便起见,将其命名为公式 FZ.表1 列出了经 验公式 F1,F2,F3,FZ对T1/2<106s,T1/2<103s,T1/2<1 s 原子核衰变寿命对数值的均方根偏差σrms(lgT1/2),并在图1 中展示.公式F2,F3,FZ的参数均采用三个数据集中的实验寿命进行拟合.可以看出,各经验公式很好地描述了短寿命原子核的β衰变寿命.对于实验寿命T1/2<1 s 的原子核,经验公式 F1,F2,F3,FZ计算的均方根偏差相较于实验寿命T1/2<106s 的原子核分别降低了 56%,59%,64%,67% .对比公式 F1,公式 F2通过考虑同位旋不对称项和奇偶效应项,并引入自由参数,预言精度显著提升,对实验寿命T1/2<1 s 的原子 核预言 精度提升了 42% .公式 F3通过引入壳效应修正项,预言精度进一步提升,相较于公式 F1,对实验寿命T1/2<1 s 的原子核,预言精度提升了 54% .公式 F3和公式 FZ均可以很好地描述原子核的β衰变寿命,对实验寿命T1/2<103s,T1/2<1 s 的原子核,公式 F3的预言精度比 FZ分别提升了1.2%和0.4%,而对实验寿命T1/2<106s 的原子核,公式 F3的预言精度比 FZ提升了8%.因此,相较于公式 FZ,公式 F3可以更好地描述长寿命原子核的β衰变寿命.

图1 表1 均方根偏差 σrms(lg T1/2) 的柱状图Fig.1.Bar figure of the rms deviations σrms(lg T1/2) in Table 1.

表1 经验公式 F1,F2,F3和FZ 预言的原子核衰变寿命的对数与实验数据的均方根偏差 σrms(lg T1/2),其中第2—4列分别对应 T1/2 <106 s,T1/2 <103 s和T1/2 <1 s 的原子核数据集Table 1.The rms deviations σrms(lg T1/2) of the logarithms of nuclear β -decay half-lives predicted by the empirical formulas F1,F2,F3,and FZ with respective to the experimental data,where the 2nd–4th columns represent the data sets for nuclei with T1/2 <106 s,T1/2 <103 s,and T1/2 <1 s,respectively.

图2 给出了各经验公式预言的β衰变寿命与实验数据对数差随质子数Z、中子数N变化的散点图.可以看出,公式 F1预言的原子核β衰变寿命一般短于实验数据,尤其是对幻数附近的原子核.原子核的β衰变寿命与Qβ以及能级密度等各种物理因素有关.由于原子核的Qβ在幻数之后突然增加,从公式 F1可见,Qβ的突然增加会引起公式 F1预言的原子核β衰变寿命迅速降低,从而导致公式 F1的预言结果在幻数附近与实验数据偏差较大,呈现出明显的壳效应现象.公式 F2通过添加同位旋依赖和奇偶效应等物理量,对原子核β衰变寿命的预言与实验数据偏差基本在一个数量级以内,但Qβ仍对原子核β衰变寿命起主导作用,因此,公式 F2的预言结果仍具有较明显的壳效应现象.通过引入壳效应修正项S(Z,N),可以有效地考虑幻数附近影响β衰变寿命的其他物理因素,因此,公式 F3显著改进了对幻数附近原子核β衰变寿命的描述,其改进程度与公式 FZ较为接近.公式 FZ引入了含有 5 个自由参数的壳效应修正项,且在重核区包括了一个与传统幻数无直接关系的修正项,即Z=70和N=110 的修正 项[13],而本文 提出的 公式 F3仅使用 4 个自由参数的壳效应修正项,即可取得与公式 FZ类似的效果,甚至略优于公式 FZ.

图2 经验公式 F1,F2,F3,FZ的预测 结果与实验数据的对数差 随质 子数Z 和中子数N的变化.竖线对应质子幻数 Z=8,20,28,50,82 和中子 幻数 N=8,20,28,50,82,126Fig.2.Logarithmic differences between the predictions by the empirical formulas F1,F2,F3,FZ and the experimental data as the functions of proton number Z and neutron number N.The vertical lines correspond to the proton magic numbers Z=8,20,28,50,82 and the neutron magic numbers N=8,20,28,50,82,126 .

为进一步研究经验公式 F1,F2,F3和FZ对实验寿命的描述能力,图3 展示了各经验公式预言的原子核β衰变寿命与实验数据的对数差.研究发现,公式 F1预言的衰变寿命与实验数据偏差在一个数量级以内的原子核占总数的 75%,公式 F2将偏差在一个数量级以内的原子核占比提升至 88%,公式 FZ和F3进一步 将这一 占比分 别提升至90%和 91% .此外,由图3 可见,各经验公式对丰中子短寿命原子核的描述能力优于长寿命原子核,因此,外推至未知的丰中子核区,各经验公式可能具有较好的预言能力.

图3 经验公式 F1,F2,F3,FZ 的预测结果与实验数据的对数差Fig.3.Logarithmic differences between the predictions by the empirical formulas F1,F2,F3,FZ and the experimental data.

图4 和图5 分别以Ni,Sn,Pb 同位素和N=50,82,126 的同中子素为例,给出了经验公式 F1,F2,F3和FZ预言的β衰变寿命.可以看出,公式 F1预言的β衰变寿命具有过强的奇偶振荡现象,而公式 F2,F3和FZ通过引入与奇偶效应相关的物理量δ,有效地降低了这种奇偶振荡.在已知核区,公式 F1预言的β衰变寿命一般短于实验数据,而公式 F2,F3和 FZ预言结果与实验数据更加符合.当外推至未知的丰中子核区,公式 F1预言的β衰变寿命一般长于公式 F2,F3和FZ的预言结果,其中公式 F2和F3外推的原子核β衰变寿命较为接近,短于公式 FZ的预言结果.

图4 F1,F2,F3 预测的Ni,Sn,Pb 同位素的 β 衰变寿命,及其与 FZ 计算结果的比较Fig.4.Nuclear β -decay half-lives of Ni,Sn and Pb isotopes predicted by the F1,F2 and F3,and their comparison with FZ calculations.

图5 与图4 一样,但 对应 N=50,N=82,N=126同中子素链Fig.5.Same to Fig.4,but for N=50,N=82,and N=126 isotones.

图6 以Zn,Zr,Sn,Nd,Pb 同位素为例,将公式 F3预言的β衰变寿命与基于FRDM 的QRPA(FRDM+QRPA)[43]、基 于Hartree-Fock-Bogoliubov 模型的FAM (HFB+FAM)[33]和QRPA(HFB+QRPA)[27]等微观模型的计算结果进行比较.在已知核区,公式 F3更好地描述了原子核β衰变寿命的实验数据,尤其对于Zn,Zr 和Sn 同位素链.定量地,对于图6 中5 条同位素链,FRDM +QRPA,HFB+FAM 和HFB+QRPA 模型预言寿命的对数与实验数据的均方根偏差分别为0.795,0.852 和1.075,而公式 F3对应的均方根偏差仅为0.716,显著优于FRDM+QRPA,HFB +FAM 和HFB+QRPA 模型.当外推至未知的丰中子核区,对于Zn 和Zr 等轻质量原子核,公式 F3预言的衰变寿命一般短于各微观模型的结果;随着质子数的增加,公式 F3预言的衰变寿命与其他微观模型预言结果的差别逐渐缩小,对于Pb 同位素链,即使往未知丰中子核区外推 20 步,公式 F3预言的衰变寿命仍介于各微观模型预言结果之间,即与其他微观模型的预言结果基本一致.

图6 公式 F3 预测的Zn,Zr,Sn,Nd,Pb 同位素的 β 衰变寿命,及其与FRDM+QRPA,HFB+FAM,HFB+QRPA 理论结果的比较Fig.6.Nuclear β -decay half-lives of Zn,Zr,Sn,Nd and Pb isotopes predicted by formula F3,and the comparison with the theoretical results of FRDM+QRPA,HFB+FAM and HFB+QRPA models.

图7 给出了核素图上公式 F3对原子核β衰变寿命的预言值分布.从图7 可见,随着中子数的增加,原子核β衰变寿命逐渐变短.在轻核区(Z≲50),原子核β衰变寿命最低可降至 10-4—10-5s,在中等质量核区(50 ≲Z≲95),原子核β衰变寿命最低可至 10-3—10-4s,而对于重核区(Z≳95),原子核β衰变寿命最低仅至 10-2—10-3s .

图7 公式 F3 预言的原子核 β 衰变寿命Fig.7.Nuclear β -decay half-lives predicted by formula F3 .

4 结论

综上所述,基于原子核β衰变的费米理论,本文首先提出一个不含任何自由参数的经验公式,该公式可近似计算原子核β衰变寿命;通过考虑同位旋依赖和奇偶效应并引入5 个自由参数,得到了第2 个经验公式,该公式有效地改善了未知原子核β衰变寿命预言的奇偶振荡,显著提高了对原子核β衰变寿命实验数据的描述能力,但对幻数附近原子核β衰变寿命的描述仍有较大偏差;进一步引入壳效应修正项,新提出的经验公式显著改进了对幻数附近原子核β衰变寿命的描述,整体的预言精度进一步提升.研究发现,在已知核区,新经验公式对于短寿命原子核有着较好的预言能力,其精度甚至优于目前已有的经验公式和微观的QRPA 模型.在未知核区,对较轻原子核,新经验公式预言的原子核β衰变寿命一般短于各微观模型预言结果,随着原子核质子数的增加,其预言的β衰变寿命与各微观模型预言结果的差别逐渐缩小并基本一致.最后,采用新经验公式预言了核素图上丰中子原子核的β衰变寿命,为r -过程模拟提供了寿命输入.未来可以将本文得到的原子核β衰变寿命应用至r -过程模拟,研究其对r -过程丰度及其演化的影响等.