构建试题研究框架，精准分析得出启示*——2023年全国高考数学新课标Ⅰ卷与DSE数学试题比较研究

石天然 林子植|江西科技师范大学数学与计算机科学学院

高考是衡量中学教育质量、学生毕业和升学的重要依据之一，其命制理应科学、权威并与时俱进.作为国际认可的考试评价项目，中国香港中学文凭考试（Hong Kong Dioploma of Secondary Education Examination，简称DSE，即“香港高考”）试卷可为内地高考提供借鉴.数学是DSE必考学科，包括“数与代数”“度量、图形与空间”“数据处理”“数的进一步运用”四个板块.那么，它与内地高考数学试题有何异同？对内地高考数学考试题命制有何启发？笔者以高考评价体系为指导，选取2023 年全国高考数学新课标Ⅰ卷（以下简称“新课标卷”）与DSE 数学试题（以下简称“文凭卷”）进行对比分析，得出启示，下面具体阐述.

一、构建分析框架，精准分析试题

笔者从试题特征的两大构成要素“立意”和“情境”出发，结合国内外试题研究中普遍采用的研究视角，构建了数学试题比较研究的分析框架（如图1所示）.

图1 数学试题比较研究的分析框架

整个框架分为两大部分：一是对试卷结构进行对比分析，具体的分析维度包括试卷组成、题型题量、考试时间等；二是对试题特征进行对比分析，具体的分析维度包括立意、情境.其中，“立意”指试题考查的知识内容和认知水平，“情境”指试题的情境类型和呈现方式.

（一）试题结构比较分析

新课标卷由一份试卷组成，文凭卷则由paper1、paper2 两份试卷组成，这是试卷数量的不同，同时在试卷的整体结构方面，二者也存在很大的差异，具体如表1所示.

表1 新课标卷与文凭卷试题整体结构比较

由表1可知，新课标卷选择题与非选择题题量分别占55%和45%，题型比例平衡确保了试题测量功能的有效发挥：在选择题部分，分为单项选择题和多项选择题两类，多项选择题并未规定正确选项数量，在一定程度上提升了试题难度；在非选择题部分，以填空题和解答题为主，能够较好地考查学生解决复杂数学问题的能力，且填空题在一定程度上丰富了试题的类型，有利于开展个性化的学习.文凭卷的相关情况如下：在选择题部分，只有单项选择题，虽题量多达45 道，但分值占比较小，且单独分开测试，时间为75 分钟；在非选择题部分，以简述类的综合题为主，且设置的题组间存在密切联系，但试题难度较小、答案单一，只能简单反映考生思维.

综合而言，新课标卷和文凭卷在试题结构上有以下三点差异.一是题型、题量不同：新课标卷包括单选题、多选题、填空题和解答题，题量较少；文凭卷包括单选题和简答题，题量较多.二是单题分值差异较大：新课标卷选择题的单题分值高达5分，文凭卷单题分值为1分，故以新课标卷考查学生，学生的总得分受单个选择题作答情况的影响较大.三是可用工具不同：新课标卷既不允许考生使用计算器，也不允许考生查阅数据手册，但往往会对数据进行特殊的设计；文凭卷允许考生使用计算器和查阅数据手册，并提供相关的数学运算公式，在题目的设置上可以专注于数学本身，更倾向于直接使用真实的理论数据.

（二）试题特征比较分析

相比于试题结构，试题特征更能反映一套试卷的内核，也更具有借鉴性.因此，笔者从知识内容、认知水平、情境类型、情境呈现方式四个维度对新课标卷和文凭卷进行比较分析.

1.知识内容维度

“一核四层四翼”的高考评价体系是高考试题质量的评价依据，其将高考考查内容凝练为核心价值、学科素养、关键能力、必备知识［1］.必备知识是形成学科素养、关键能力和核心价值的基础，而数学学科必备知识又可凝练为数与代数、函数、图形与几何、概率与统计、综合实践五条主线.从这五条主线出发，笔者对新课标卷与文凭卷进行比较，有关知识内容维度的考查分值占比如图2所示.

图2 新课标卷与文凭卷知识内容维度分值占比比较

由图2 可知，在知识内容维度上，新课标卷是函数＞图形与几何＞数与代数＞概率与统计＞综合实践，文凭卷是函数＞图形与几何＞数与代数＞综合实践＞概率与统计.总体而言，在概率与统计、综合实践部分，新课标卷侧重前者，文凭卷侧重后者，其他方面二者的侧重点基本一致.为深入探析，下面以具体试题为例说明.

例1（DSE-20）如图3 所示（注：试题中图序均为编者加），已知正方形ABCD，正五边形ADEFG，正六边形AGHIJK，求∠ABK.

图3

【评析】这道题考查学生几何板块的知识，可从正多边形内角和、外角和角度切入分析.在考查几何问题时，相比于新课标卷，其最直观的区别为图形简单、题目简洁，但在考查上依旧能做到面面俱到.

对具体知识内容的考查侧重点，新课标卷和文凭卷也有不同.以“函数”板块为例，其不同如下：新课标卷侧重于幂函数、指数函数、对数函数等单个板块函数的应用，通过试题剖析各类问题，考查学生对函数公式、性质及相关推导的理解与应用，从而达到促进学生数学运算、数学思维、推理能力的目的；文凭卷更强调“函数”板块和“图形与几何”板块之间的联系，通过对日常熟悉的图形加以剖析，引出相关函数，进而考查函数的相关知识，其考查题量占比多达30%，说明命题者有意引导学生关注二者之间的联系.

2.认知水平维度

笔者结合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）和香港高考数学考试说明中的相关要求，以及部分学者的研究，将认知水平由低到高分为记忆、理解、运用、分析四个层次［2］.从这四个层次出发，笔者对新课标卷与文凭卷进行比较，有关认知水平的考查分值占比如图4所示.

图4 新课标卷与文凭卷认知水平维度分值占比比较

由图4 可知，在认知水平维度上，新课标卷是运用＞理解＞分析＞记忆，文凭卷是分析＞运用＞理解＞记忆.从分值占比情况看，两套试卷在记忆、运用两个层次差别明显，新课标卷极其重视运用的考查，极不重视记忆的考查，而文凭卷在各个层次的考查分布平均.为深入探析，下面以具体试题为例说明.

例2（DSE-18）已知几何数列（等比数列）α、7、β，且1＜α＜β.

（1）使用log7β表示log7α.

（2）如果logβα、log7β、logαβ是等差数列，求其公差.

【评析】这道题考查学生分析的认知水平，在理解、掌握数列知识的前提下，要求学生进行变化，分析等比、等差数列的相关属性，从而求解.学生需要具有较强的推理能力.由于试题的考查是层层递进的，学生还需要在记忆、理解和应用水平达到很好的发展后才能求解该题.

综合来看，二者在认知水平上存在差异的内在原因是对学生的认知要求不同.从整体上来看：新课标卷注重考查学生运用所学知识解决实际问题的能力，而不仅仅是对知识本身的理解和掌握；文凭卷则不同，不仅各认知水平层次占比均匀，部分试题还要求学生将所学的知识进行远迁移，以解决情境陌生、综合性强的复杂问题，这表明文凭卷更注重考查学生对所学知识本身的理解、掌握和全面应用.

3.情境类型维度

教育学领域的情境主要可以分为两大类：第一类是教学/课堂情境，通常是指教师在教学活动中所创设的情境；第二类是问题/试题情境，通常是指在教育测量的问项中所出现的情境.《课程标准》指出，问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体.情境可分为数学情境、现实情境、科学情境三个类型.从这三个类型出发，笔者对新课标卷与文凭卷进行比较，有关情境类型的考查分值占比如图5所示.

图5 新课标卷与文凭卷情境类型维度分值占比比较

分析图5 可知，在情境类型维度上，二者都是数学情境＞现实情境＞科学情境，且数学情境的占比均在80%以上，远大于另两类情境，但不同的是，新课标卷未涉及科学情境.为深入探析，下面以具体试题为例说明.

例3（DSE-9）下面的茎叶图（如图6所示）显示了一组工人在一周内工作时间的分布，分布区间为27.

图6

（1）求上述分布的中位数及众数.

（2）若从这群人中随机挑选一名工人，求所选出的工人工作时间超过众数的概率.

【评析】这道题考查学生“概率”板块的知识，通过对茎叶图的解读，还原数据，进而分析中位数、众数并求解概率.该题以工人工作时间为背景，符合学生的认知水平，属于现实情境的考查.把工作时间放到现实情境中考查，可使学生在解决问题的同时，加深对生活环境的理解.

4.情境呈现方式维度

高考试题要合理创设情境，设置新颖的呈现方式，促使学生主动思考，发现新问题、找到新规律、得出新结论.笔者参考陈志辉的划分标准，将情境呈现方式分为纯字母数字、故事或情节、图形或表格、故事与图表结合四种形式［3］.从这四种形式出发，笔者对新课标卷与文凭卷进行比较，有关情境呈现方式的考查分值占比如图7所示.

图7 新课标卷与文凭卷情境呈现方式维度分值占比比较

分析图7 可知，在情境呈现方式维度上，二者都是纯字母数字＞故事或情节＞图形或表格＞故事与图表结合，侧重点一致.在分值占比上，新课标卷集中于纯字母数字，其是占比最低的故事与图表结合的二十多倍，文凭卷分布较均衡，两端最值差略大于六倍.为深入探析，下面以具体试题为例说明.

例4（DSE-29）下图（如图8 所示）显示了一些工程师一年培训小时数的分布，找出分布上的四分位数.

图8

【评析】这道题以“图形+故事”两个角度的情境结合展开，融合了工程师工作时间，并给出相关图像，十分顺畅地引入数学问题.学生需要将题目情境与从图像获取的信息相结合，然后才能求解出问题答案.

综合而言，二者在情境的呈现方式上有如下不同：新课标卷中描述性文字较少，大多数题目聚焦数学本身；文凭卷擅长将情境、试题与图像结合，达到“境—题—像”三位一体，从而帮助学生从整体上探索问题.

二、基于试题精准分析的命题启示

（一）允许使用数学工具，落实“因题设问”

一个好题目的关键就是要明确测量的目标，达到测量的预期结果，不应该受到工具及外在客观因素的限制.相较于文凭卷试题的设计和可用工具的配套，内地高考试题在一定程度上受限于外部因素影响，没有真正落实“因题设问”［4］.在数学工具的使用上，《课程标准》把“注重信息技术与数学课程的整合”作为高中课程的基本理念之一，并指出要“尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合”.因此，高考命题可以考虑允许学生配套使用数学工具，确保试题编制摒弃固化思维，不受客观因素的限制，真正“发光发热”，落实“因题设问”.

（二）倡导知识融合，加强内容横纵联系

数学是一门综合性学科，数学问题大多横跨多个领域，高中数学知识体系涉及面广、联系颇多.在横向方面，它要求学生能做到从单个知识点出发，通过发散思维联系其他内容，形成相关的知识网络.在纵向方面，它要求学生能以某个知识点为主干，串联一系列相关知识，实现对知识理解的由浅入深.文凭卷比较好地体现了知识融合，其命题通过加强各板块知识间横向的联系，考查学生的发散思维与一题多解能力.同时，文凭卷每年有一定比例的题目属于中考衍生题，它通过这种方式将数学各板块纵向的知识连接起来，考查学生层层递进的思维体系.内地高考数学试题的命制可借鉴文凭卷的做法，注重融合学科知识，平衡好知识的广度与深度问题.

（三）均衡思维难度，培养学生的迁移意识

数学思维指用数学思考问题和解决问题的思维活动形式，其实质为人脑对客观现实的概括和间接反映，属于人脑的基本活动形式［5］.在认知水平与学科能力上，与新课标卷呈现出“知识面窄但思维难度较大”的特点不同，文凭卷呈现出“知识面宽但思维难度较小”的特点，重在考查学生对所学知识的理解和掌握，即直接运用所学知识解决熟悉情境下的问题的能力.此外，文凭卷还有很大比例的主观题，让学生设计方案、陈述自己的观点等，着重考查学生对所学知识的迁移和应用.内地高考数学试题的命制可借鉴文凭卷的做法，均衡思维难度，进而引导学生自主发生正向迁移.

（四）关注时事热点，优化命题表征方式

数学的一大特点是具有极强的抽象性，因此高考试题中需要使用一定数量的数学情境来考查学生的数学抽象能力.但是，数学建模和数据分析等核心素养的培育和考查需要在具体的实践活动中加以落实，因此还需要相当数量的真实世界情境试题.文凭卷试题情境最显著的特点即情境生活化，这种生活化体现在“工人的工作时长”“学生课堂”等具体的生活场景中.通过生活化的情境将数学知识与生活联结，能使数学试题更“接地气”，同时能在一定程度上考查学生融合生活经验和学科思维来解决数学问题的能力［6］.内地高考数学试题的命制可借鉴文凭卷的做法，优化高考命题的表征方式，关注时事热点，设置生活化的情境，使不同类型的情境与试题内容相辅相成，将“考试”与“育人”有机融合.