几何匹配滤波器及其对间歇采样转发干扰的响应特性

梁 璞,汪 敏,蒋彦雯,范红旗,付 强

(1. 中国人民解放军96747部队, 青海 西宁 810007; 2. 国防科技大学 电子科学学院, 湖南 长沙 410073)

0 引 言

间歇采样转发干扰[1-2](ISRJ)是一种基于数字射频存储[3](DRFM)技术的干扰方式,它通过对截获到的雷达回波进行间歇转发,可形成相干的密集假信号,目前已广泛应用于各类干扰机[4]中,对大时宽信号的脉冲压缩雷达取得了较好的干扰效果[5]。

主瓣干扰对抗一直以来是雷达领域的难题之一[6-7],间歇采样转发干扰就是一种有效的主瓣干扰形式。由于间歇采样转发干扰表现出良好的欺骗和压制特性,为提高雷达自身防护能力,相应的抗干扰技术也同步发展。针对间歇采样转发的对抗技术研究取得了一定进展[7],文献[8-11]采用波形设计的方法来对抗干扰,文献[12]针对线性调频(LFM)信号间歇采样干扰存在多普勒频移的特点,设计了一种脉内正交的线性调频-相位编码波形,该方法能够在无干扰条件下进行正常检测目标,并对间歇采样转发干扰进行干扰检测识别与剔除。文献[13]则通过对回波信号的扩展处理和时频分析设计自适应带通滤波器来剔除干扰。但上述方法过于依赖对回波信号的参数估计或时频分析,实现难度较大且精度难以保证。

几何代数(GA)[14-15]是结合了代数与几何优势的一种数学工具,它将传统的实空间拓展到几何代数空间,并给矢量的代数操作赋予了丰富的几何意义。利用GA工具重新审视矢量的代数操作,有利于根据几何直观构造新的信息处理算子,近年来逐渐应用于信号处理[16]、雷达[17-19]、图像处理[20]和机器人[21]等领域。文献[18]将几何代数运用到雷达信号检测中,构造了以角度为输出的几何检测器,文献[19]首次提出了利用几何代数构造匹配滤波器,但是理论分析尚不完善。

本文针对脉冲压缩雷达对抗切片转发干扰问题,基于GA视角重新认识匹配滤波[18,22-23]过程,进而设计出以角度为输出的匹配滤波器(下文称作几何匹配滤波器),并从理论上分析了几何匹配滤波器对ISRJ的响应特性,通过典型参数下的仿真验证了其对干扰的抑制能力及其对目标检测性能带来的提升。

1 复矢量内积的几何解释

1.1 GA空间

考虑RN空间中的两个不相关的矢量{u,v},在GA中,二者的外积定义为

u∧v=|u||v|sinθuve1∧e2

(1)

式中:θuv是u与v之间的夹角;e1、e2为u与v所在平面内的单位正交基,外积的大小为|u||v|sinθuv,方向由u旋向v。e1∧e2表示u与v所在平面内的单位2-矢量或2-Blade,即有方向的单位面元。同理,也可定义三个甚至多个不相关矢量的外积,称作k-矢量或k-Blade。

在GA中,用零矢量(标量)、矢量、2-矢量和3-矢量分别表示点、有向的线段、平面和空间体。当维数k大于3时,表示k-矢量。因此,GA空间GN内的元素可表示为

(2)

式中:〈M〉k表示GN中的k-矢量;M称之为多重矢量(Multivector)。显然,〈GN〉0空间等价于空间RN。

1.2 GA空间下的复矢量内积的几何解释

首先定义CN空间与〈G2N〉0空间同构映射T∶CN→〈G2N〉0,用来在二者之间建立等价对应关系。

一般地,对于CN中的复矢量x与单位复矢量e,可构造下述映射T。

x=[Re(x)+iIm(x)]

(3)

e=[Re(e)+iIm(e)]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

各个数学量的几何含义如图1所示。

图1 各个数学量几何含义Fig.1 The geometric meanings of various mathematical quantities

基于上述定义,给出如下定理。

(10)

该定理的代数证明如下:

由式(3)、式(4)及内积的定义可得

〈x,e〉=eHx=

[Re(e)-iIm(e)]T[Re(x)+iIm(x)]=

[Re(e)TRe(x)+Im(e)TIm(x)]+

i[Re(e)TIm(x)-Im(e)TRe(x)]

(11)

(12)

2 几何匹配滤波器

2.1 匹配滤波器的内积形式

为了获得距离高分辨能力,必须对接收的宽脉冲回波进行匹配滤波处理,使其变成窄脉冲。根据匹配滤波的理论,匹配滤波器的输出可表示为如下矩阵形式。

y=Xh

(13)

其中,X定义为

(14)

以及

(15)

式中:x[n]为雷达接收信号;h[n]为匹配滤波器脉冲响应(在这里h[n]等于发射信号);y[n]为匹配滤波器输出;N与M分别为接收信号长度与匹配滤波器脉冲响应长度。由式(14)可知,匹配滤波器的输出可看作由X的行矢量Xi与h的内积得到,即

y=[〈X0,h〉,〈X1,h〉,…,〈XN+M-1,h〉]T

(16)

2.2 几何匹配滤波器的构造

根据第一节中的定理X,式(16)中N+M-1次内积操作等价于GA空间内N+M-1次投影操作,并且由式(9),可构造以投影角余角为输出的新的匹配滤波器,本文称为几何匹配滤波器,其输出为

z=[ψ0,ψ1,…,ψN+M-1]T=

(17)

式中:ψi为行矢量Xi与由h决定的超平面之间的夹角。几何匹配滤波器的处理流程如图2所示。

图2 几何匹配滤波器流程Fig.2 The process of geometric matched filter

图3 几何匹配滤波器几何含义Fig.3 The geometric meaning of geometric matched filter

3 几何匹配滤波器对ISRJ的输出

3.1 间歇采样转发干扰

对脉冲压缩雷达,不失一般性,考虑距离单元数为P的距离波门区间[p1,pP]。则波门内的雷达接收信号sr[n]可表示为

(18)

式中:ap信号回波复幅度;st[n]为发射信号,通常为LFM信号或相位编码信号等形式。

间歇采样信号u[n]是一个矩形脉冲串,其离散表达式为

(19)

式中:Ts为离散采样周期;τJ为转发时长;TJ为间歇周期;τJ与TJ的比值为占空比,间歇频率fJ=1/TJ。

当间歇频率低于信号带宽时,距离单元pJ处的干扰信号sJ[n]输出为

sJ[n]=G·sr[n]·δ[n-pJ]u[n]=

sa[kπfJτJ]cos[2πkfJnTs]sr[n-pJ]

(20)

式中:G为干扰机的增益。

3.2 匹配滤波器输出

假设目标矢量Xr=[sr[0],sr[1],…,sr[M-1]],假定目标回波幅度apr=A,其经匹配滤波器后的输出可表示为

〈Xr,h〉=MA

(21)

同理,令干扰矢量XJ=[sJ[0],sJ[1],…,sJ[M-1]],干扰信号经匹配滤波器后输出的主假目标[1]为

(22)

3.3 几何匹配滤波器输出

考虑实际情况,当观测信号含有噪声w[n]时,假设噪声为独立同分布的复高斯白噪声,方差为2σ2。此时,目标矢量与干扰矢量分别为

Xr=[sr[0]+w[0],sr[1]+w[1],…,

sr[M-1]+w[M-1]]

XJ=[sJ[0]+w[0],sJ[1]+w[1],…,

sJ[M-1]+w[M-1]]

定义脉压后的信噪比(SNR)ρ1、干噪比(JNR)ρ2分别为

(23)

根据式(17),目标与干扰经几何匹配滤波器输出分别为

(24)

(25)

式中:ψJ为主假目标对应角度。下面考虑sinψr的统计特性,由于sinψr是目标矢量Xr的复杂非线性变换,其概率密度的精确解析式难以求得,但当M较大时可得到近似表达式。

由概率论的知识易得,〈Xr,h〉服从复高斯分布,其均值和方差分别为MA、2Mσ2,因此|〈Xr,h〉|服从莱斯分布[24-25],莱斯因子为ρ1,当ρ1很大时,|〈Xr,h〉|近似服从均值为MA,方差为Mσ2的高斯分布。

(26)

因此,其均值与方差分别为

(27)

可见,随着SNR的增大,sinψr的均值接近于1,方差接近于0,故sinψr依概率收敛于1,ψr趋于π/2。同理,当M很大时,sinψJ同样近似服从高斯分布,其均值与方差分别为

(28)

通过上述分析并结合图3可以看出,几何匹配滤波器的角度输出是观测矢量与由发射信号决定的超平面之间的投影余角,因此取值区间恒为0-π/2,且随着信号能量的增大,观测矢量与超平面之间的投影余角越大,说明观测信号越“接近于”发射信号。

通过判断主假目标输出角度的大小,可以估计间歇转发干扰的重要参数占空比。同时,上述分析还可以得出另一个结论:sinψr与文献[19]中几何检测器的检验统计量的统计特性是一致的,因此后续的信号检测可直接利用几何检测器实现。

高龄患者的介入手术治疗风险及围手术期的药物(如双联抗血小板)治疗风险显著高于年轻人。本研究的主要目的是探讨高龄急性冠状动脉综合征(ACS)患者治疗策略的选择依据。

若目标矢量Xr与干扰矢量XJ在时域上有重叠,假设二者在时域上的重叠比例为α,当α≠0时,式(24)中|Xr|因混有干扰信号的能量而变大,因而使ψr减小。为了减小目标与干扰重叠带来的影响,可采用限制|Xr|幅度的方法来增大ψr的输出。借鉴恒虚警检测中门限的求取方法,限幅门限由式(29)给出。

(29)

式中:Th为限幅门限;P为纯噪声条件下|Xr|超过Th的概率。限幅过程的几何含义如图4所示。

图4 目标矢量的限幅Fig.4 The limiting for the target vector

4 仿真实验

4.1 仿真参数设置

本节以间歇直接转发干扰为例,利用几何匹配滤波器的输出对干扰的采样占空比进行了估计;同时讨论了不同条件下目标及干扰经过几何匹配滤波器后的输出特性,并与传统匹配滤波器进行了对比。假设发射信号为LFM信号。发射信号与干扰信号仿真参数设置如表1、2所示。

表1 LFM信号参数设置Tab.1 The settings of parameter for LFM signal

表2 间歇采样直接转发干扰参数设置Tab.2The settings of parameter for ISRJ

4.2 采样占空比的估计

通过3.3节的分析,可通过对主假目标输出角度反向求取其正弦值的平方来对间歇采样转发干扰的占空比τJ/TJ进行估计,图5给出了不同JNR下,利用几何匹配滤波器估计占空比的均方误差,蒙特卡洛次数为100次。

图5 JNR与估计均方误差的关系Fig.5 The relationship between JNR and estimated mean square error

从图5可以看出,随着JNR的增大,占空比的估计误差减小,当JNR达到26 dB时,均方误差接近于0。因此,利用几何匹配滤波器可以对采样占空比进行有效估计,且随着干扰能量的增大,估计误差越来越小。占空比参数的估计可用于抗干扰雷达波形及匹配滤波器优化[8],为抑制间歇采样转发干扰提供重要的先验知识。

4.3 干扰与目标的输出特性对比

文献[20]给出了当目标与干扰在时域上不重叠时,即目标与干扰相距大于1.5 km(本文参数下)时匹配滤波器与几何匹配滤波器对目标与干扰的输出结果。因此,本节重点讨论目标与干扰在时域上重叠的情况。

图6 目标与干扰相距0.15 km时匹配滤波器及限幅前后几何匹配滤波器输出Fig.6 The output of matched filter and geometric matched filter before and after the limiting process when the distance between the target and interference is 0.15 kilometers

定义主假目标与目标的输出幅度比改善因子为Q,即

(30)

由图6可以看出,若对几何匹配滤波器的输出不进行限幅,改善因子几乎为0,而限幅操作后,改善因子约为5 dB。可见,限幅操作可改善由干扰带来的目标输出角度减小的情况。

表3给出了目标与干扰相距0.15 km时,不同占空比与间歇频率下几何匹配滤波器(限幅后)的改善因子。

表3 不同占空比与间歇频率下的改善因子Tab.3 The improvement factors under different duty cycles and intermittent frequencies

表3表明,在不同的占空比以及转发频率下,几何匹配滤波器的输出均压缩了目标与假目标之间的相对大小,这对后续的目标检测将带来一定的增益。为了探究几何匹配滤波器对目标检测过程的影响,图7给出了不同SNR及JNR下,分别对匹配滤波器及几何匹配滤波器的目标输出进行检测后的结果。假设目标与干扰相距0.15 km,参数设置同表1、2。其中,几何匹配滤波器输出由几何检测器[19]来进行检测,匹配滤波器输出由单元平均恒虚警(CA-CFAR)检测器进行检测,虚警概率设为10-5。表4给出了当检测概率为0.9时,不同的JNR下几何检测器带来的检测性能的提升。

图7 不同SNR及JNR下几何检测器与CA-CFAR检测概率Fig.7 The probability of detection for geometric detector and CA-CFAR detector under different SNR and JNR

表4 不同JNR下几何检测器检测增益Tab.4 The gain of detection for geometric detector under different JNR

从图7以及表4的结果可以看出,由于干扰产生的假目标落在CFAR检测器的参考单元内,CFAR检测器的检测性能会大幅下降[19],几何匹配滤波器由于压缩了干扰与目标的相对大小,因此在大动态变化的背景下可更好地对目标进行检测,且随着干扰能量的增强,几何检测器带来的检测增益越来越大。

5 结束语

本文针对脉冲压缩雷达应用,基于GA的视角重新认识匹配滤波过程,并设计出几何匹配滤波器。实验结果表明,利用几何匹配滤波器可以对间歇采样转发干扰的采样占空比进行有效的估计,估计误差随JNR的增大而减小;同时,几何匹配滤波器由于对数据进行了归一化及反正弦变换,压缩了假目标与真实目标之间的相对大小,改善了大动态背景下的目标检测性能。

在几何匹配滤波器滤波处理的基础上,利用估计的干扰先验优化波形与滤波过程,实现有效干扰对抗,将是下一步的研究重点。