巧设数学游戏，培育推理意识

●洪建林

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）指出，要让学生学会观察、学会思考、学会表达。作为核心素养的“三会”是一个整体，三者互相支撑。 与广义的数学思维相比，在“三会”整体结构中，数学思维更加侧重于推理。“新课标”将“推理”一词的含义定位在“演绎推理+合情推理”，由于现实世界是数学思维问题的基础，所以推理都要由思考现实世界的需要来决定。 游戏是儿童存在的方式，数学游戏源于现实生活，能够激发学习兴趣、激活数学思维，促进学生推理水平向纵深发展。 教学中，可以通过以下策略培育学生的推理意识：游戏整合，“变化”中通透；游戏融错，“辨析”中反思；游戏进阶，“闯关”中深入；游戏促思，“直观”中创新。

一、游戏整合，在“变化”中通透

游戏是多种学习活动的“催化剂”。[1]数学教学则蕴含着丰富的游戏元素，不少经典数学名题如“鸡兔同笼”问题、“李白喝酒”问题等纯粹就是蕴含着数学思想方法、数学逻辑推理的智力游戏。一些教师在教学中未能充分发掘智力游戏资源并进行有机整合， 使得富有数学思考价值的游戏利用不够。 鉴于此，教学中有必要对一些智力游戏有机整合，在变化中通透思维、展开推理。

以教学“鸡兔同笼”问题为例：鸡兔同笼，鸡兔共35只，脚数共94只，鸡、兔各有多少只？ 长期以来，不少教师仅仅就题讲题，没有让问题闪烁“智力游戏”的光彩，也没有考虑将题目进行适当的变化，着力于体现数学推理的价值。

变化1：鸡兔同笼，鸡兔共35只，兔脚的只数比鸡脚多2只，鸡、兔各有多少只？

变化2：鸡兔同笼，鸡比兔多11只，脚数共94只，鸡、兔各有多少只？

变化3：鸡兔同笼，鸡兔共35只，兔脚与鸡脚的只数比是24:23，鸡、兔各有多少只？

变化4：鸡兔同笼，鸡的只数与兔的只数比是23:12,脚数共94只，鸡、兔各有多少只？

在以上变化中，每一个问题都会生成新的思路、新的推理。变化1中，可以引领学生这样推理：由于兔脚的只数比鸡脚多2只，1只鸡有2只脚，所以可在鸡、兔总只数中再增加1只鸡，也就是脚的总只数增加2只，这时兔脚的只数与鸡脚同样多，由于每只兔的脚数是鸡的2倍， 这时鸡的只数就是兔的2倍， 兔的只数：（35+1）÷（2+1）=12（只）；也可以由“兔脚的只数比鸡脚多2只”，推出如果将鸡、兔总只数扩大2倍，则兔脚的只数比鸡脚多4只，假设从总只数中减去1只兔，鸡脚与兔脚的只数就同样多，于是这时兔的只数可以这样求：（35×2-1）÷（2+1）=23（只），原来兔子的只数：（23+1）÷2=12（只）；还有学生借助方程进行推理，等等。

变化2中，可以这样推理：由于鸡比兔多11只，11只鸡有脚22只，94-22=72（只），这样鸡的只数与兔的只数同样多，兔的只数：72÷（2+4）=12（只）；还可以这样推理：由于兔比鸡少11只，11只兔有脚44只，94+44=138（只），这样兔的只数与鸡的只数同样多，鸡的只数：138÷（2+4）=23（只）；也可以用以下的思路推理：不妨来个“金鸡独立”，鸡、兔全部抬起自己一半的脚，94÷2=47（只），也就是鸡的只数+兔的只数×2=47，而鸡比兔多11只，47-11=36（只），也就是36只正好是兔子只数的3倍，兔子的只数：36÷3=12（只），等等。

变化3、变化4也可以从不同角度进行深度推理。教师通过“一题多变”方式巧妙地整合后，学生智力游戏活动中的推理元素愈加丰富，这对学生核心素养的提升有着积极的意义，从而更有力地促进学生“会思考”。

二、游戏融错，在“辨析”中反思

课堂因差错而精彩。[2]利用数学游戏，教师有意设计思维陷阱，让学生产生认知冲突，生成差错资源，并反思推理出错的缘由，这有利于学生推理意识的培养。

教学圆柱的体积后，教师设计了这样一个“纸的旋转”游戏：一张直角梯形的纸片（上底3厘米、下底6厘米、高4厘米）相对的两个顶点连成的线段将图形分成两个三角形，请你将纸片沿着高旋转一周，甲、乙旋转后分别得到怎样的图形？ 所得到图形的体积有什么关系吗？ （如图1）

图1

教师让学生进行一张纸的旋转游戏后， 抛出了这样的问题：两个三角形旋转后，所形成的图形的体积有怎样的关系？ 不少同学进行了这样的推理：甲、乙两个三角形等高， 因为甲三角形的底是乙三角形的一半，所以甲三角形的面积是乙三角形的一半；又因为两个三角形都是围绕相同的轴旋转一周， 所以甲三角形旋转后的立体图形的体积是乙三角形旋转后的立体图形的体积的一半。由线段的一半关系，推导出面积的一半关系， 再类比推导出体积的一半关系，于学生的思维推断而言，似乎合情合理，而且不少同学也认为这样的推理正确。

教师没有直接发表意见，而是继续借助电脑进行游戏操作，让学生想象一下，两个三角形旋转后的立体图形是否完全相同，并借助直观演示，引领学生观察： 乙三角形旋转一周后所形成的两个圆锥底面半径都是4厘米，高的和是6厘米；甲三角形旋转后不再是一个圆锥，体积是所在圆柱体积的三分之二。学生尝试计算推理：甲三角形的体积：∏×42×3÷3×2=32∏（立方厘米），乙三角形的体积：∏×42×6÷3=32∏（立方厘米）。同学们顿时感到惊奇，不仅惊奇于面积相等的两个三角形围绕同一条轴、 经历同样的旋转运动后，而体积关系却因此而变，原先的推理也出现了错误；还惊奇于两个立体图形的体积竟然相等，这样的结论打破了学生的推理局限：因为高相等，由线段长度的一半关系推出面积大小的关系是成立的，但是，由此推出旋转后立体图形体积的一半关系的类比推理并不成立。

指向“三会”素养的数学教学，重在让学生学会思考，这样的素养培养不仅仅表现在积极引导学生观察、分析、比较、抽象、概括，还在于巧妙设计数学小游戏，有效创设认知冲突，甚至故意让学生出错，这种错误往往体现为推理的出错，从而引发学生“错中辨、错中悟、错中创”，发展学生的推理意识和思维素养，让思考更深刻、学习更有深度。

三、游戏进阶，在“闯关”中深入

数学游戏活动中的数学闯关游戏，教师可以适当改变游戏规则，让学生的推理活动随着规则的变化而呈现出不同的水平。因此，教学中可以设计不同层次的闯关游戏，运用富有变化的游戏规则，让学生在闯关中进阶式推理。

以算24点游戏为例，教师设计了形如“3、3、X、X”的“算24点”闯关游戏。

第一关:下列四个数，只进行加、减、乘、除四则运算，不使用括号，使其运算结果等于24。

3333；3344；3355；3399；

第二关：下列四个数，可以进行加、减、乘、除四则运算，并使用括号，使其运算结果等于24。

3322；3366

第三关：下列四个数，可以进行加、减、乘、除四则运算，并使用括号，使其运算结果等于24。

3388；3377

闯关活动不断改变游戏规则，第一关和第二关，学生的推理可以在整数范围内进行。

“第一关”活动中，学生灵活运用符号，调整数的顺序，这样的推理体现基础性水平。 如3×3×3-3，3×4+3×4，5×5-3÷3，3+3+9+9，等等。

第二关，挑战性有所提高。 学生仅用加、减、乘、除运算还不能推算出结果，这时需要借助括号进行运算，推算水平进一步提高。 如（3+3）×（2+2），（6÷3+6）×3，等等。

第三关，学生受思维定式影响，往往在整数范围内进行推算，而这两题利用整数运算已经无法求解，需要利用小数、分数等知识进行推理，这对学生的推理水平有了更高的要求，更具灵活性和丰富性，教学实践中能够独立算出的同学可谓是少之又少。 如（3+3÷7）×7，8÷（3-8÷3）。

上面的“算24点”闯关游戏，呈现了学生不同的思维层次、不同的推演水平。教师将具有某些特点的数据进行分类并设计具有变化的游戏活动规则，再组织学生进行思维进阶训练，这样的游戏挑战能够激发学生的推理水平向深层次发展。

四、游戏促思，在“直观”中创新

数学游戏更大的功能不是仅体现为激发学习兴趣，更在于启迪学生玩中思、玩中创。在这方面，几何直观发挥着极大的作用，它激活了学生的推理、创新。

我们看这样一个例子。小明玩了一个小游戏：将一张长3厘米、宽2厘米的长方形纸片任意放在一张圆形纸片上（长方形的一个顶点与圆心重合），并分别沿着相邻的长、宽画出两条顶点都在圆上的线段。问：阴影部分面积比空白部分面积多多少？ （如图2）

图2

游戏的过程中，任意放一个长方形，让学生的注意力更为集中。 由于只知道长方形纸片的长、宽，而阴影、空白两个部分均为不规则的图形，并不知道相关条件，学生一下子陷入思路混沌之中。教师在学生卡壳之际，给予适当点拨，将图形适当“动”起来，引领学生在小组里尝试着用同样大的小长方形纸片摆一摆、拼一拼，如图3。

图3

排成的四个小长方形与要求的问题有何联系？借助操作游戏，我们可以发现，4个小长方形具有对称性、结构性，在其之外的阴影部分面积之和正好与空白部分的面积相等，由此可推理：4个小长方形的面积和就等于阴影部分与空白部分面积之差。 看似无从解答的问题，通过直观操作就让问题迎刃而解。教师巧妙利用操作游戏、几何直观，迅速激发学生的探索欲望，让学生推理意识进一步生成、发展，更可贵的是赋予了学生发现意识和创新性思维。

游戏，让学习更美好。 巧设数学游戏，让学生在游戏中学会推理、学会学习、学会创造，在整合、变化中通透思维，在融错、辨析中反思提高，在进阶、闯关中深入推导，在操作、直观中发现、创新，这必将推动学生推理意识的形成、发展，促进学生在游戏中提升核心素养。