强化“三个二次”关联，落实数学核心素养——二次函数、一元二次方程、不等式课堂实录

●罗志英

一、创设情境，引入问题

以教材中的问题作为引入：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。 若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少m？

教师：请同学们阅读以上文字并尝试解决这个问题。

生：设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（12-x）m。

由题意得：（12-x）x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}。

整理得：x2-12x+20＜0，x∈{x|0＜x＜12}①

求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。

师：同学们，我们一起观察这个不等式，可以发现这个不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次。 像这样的不等式就是一元二次不等式。 （在PPT 上呈现教材中给出的概念）把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式，称为一元二次不等式。 一般形式：ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0）。

设计意图:数学源于生活，又服务于生活。 在错综复杂的现实背景中，要学会抽象出最为本质的关系，并运用数学语言进行表达。这个问题的解决需要学生有数学抽象、数学建模、数学运算的能力，其中运算的解决是这节课的重点之一，有利于形成数学素养。

二、联系旧知，探究新知

师：对于上述不等式的解法我们尚未悉知，但是我们在初中学习过一元一次不等式的解法。 同时探寻过一元一次不等式、一次函数、一元一次方程的内在联系。 同学们可以呈现一下吗？

生：初中是从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式。 一次函数记为y=kx+b（k≠0），y=0时得到一元一次方程kx+b=0；y＞0 或y＜0 时得到一元一次不等式kx+b＞0 或kx+b＜0；从图象上看，方程的解是一次函数图象与x 轴交点的横坐标，kx+b＞0的解集是x 轴上方图象对应的x 的取值；kx+b＜0 的解集是x 轴下方图象对应的x 的取值。

设计意图：知识的建构要达成，不仅需要给予新的“脚手架”，还需要他们在原有的“脚手架”上找到支撑。“三个二次”就应该是在“三个一次”上的生长。 当熟悉的感觉扑面而来，畏难情绪会降低。

图1

师：回答得非常清楚，我们是否可以尝试用该想法求得一元二次不等式的解集？

生：类似的，可以先画出二次函数的图象。 然后观察图象与x 轴的关系，根据所求不等式的符号，选择位于上方或者下方部分作为二次不等式的解集。

图2

师（追问）：能否举例说明？

生：以一个具体的二次函数为例，比如y=x2-12x+20，可以得到一元二次方程x2-12x+20=0 的两个根是x=2 和x=10。 一元二次不等式x2-12x+20＞0的解集就是位于x 轴上方图象对应的x 的取值，即x＜2 或x＞10。

师：为了便于描述，我们再来统一一个概念，即二次函数的零点，对于二次函数y=ax2+bx+c，把使ax2+bx+c=0 的实数x 叫做二次函数y=ax2+bx+c 的零点。（a≠0）零点即是函数对应方程的根。快速处理函数y＝x2-3x+2 的零点是多少？

生（几乎是全体）：1 和2。

设计意图：教材是我们学习的主要材料，值得认真理解分析。教材在这个地方设计了零点的概念。这个和以往的教材略有不同。

师：类似的，能否从降次观点看一元二次不等式， 进而得出一元二次不等式的求解方法呢？ 如果不好叙述， 仍然以一元二次不等式x2-12x+20＜0 为例分析。

生： 可以把一元二次不等式x2-12x+20＜0 左边因式分解得到 （x-2）（x-10）＜0， 分类讨论得到，解集取两者的并集。

师：X 同学通过因式分解，将二次降为一次，用符号法则将问题转化为一次不等式组的求解，这就是同学们在初中学习并掌握了的知识。 老师也希望同学们能在未来的学习中逐步体会并应用这种想法。

师：或许我们还有别的思考方向。如果这个方向不容易琢磨，老师或许可以略作提示。 比如，一元二次方程x2-12x+20=0，易知x≠0，同除以x，得到x-

设计意图：教材上只涉及了思考一，即用二次函数的图象解决二次不等式的求解。 目的是让学生学会类比推理，感知“三个一次”与“三个二次”是有共同点的。学习不是传输与接受的过程。笔者希望能够思考的每一个点，都让学生去感受，哪怕是不完美、不完整的探索与思考。事实上，方案二的降次想法、方案三的函数方程想法也都是对化归想法的铺垫和渗透。

师：同学们的想法很好，这样的变化就比较丰富了。 同时需要注意在解二次不等式的时候，符号（特别是负号）对问题的影响。 通过这些比对，你们想用哪种方式求解一元二次不等式？

生：第一种。

师：那么我们一起，试从二次函数的角度解二次不等式并归纳求解基本步骤。 以PPT 上这个例来分析。

三、运用例题，同化新知

例1 求不等式x2-5x+6＞0 的解集。

生：对于方程x2-5x+6=0，因为△＞0，所以它有两个不等实数根。 解得：x1=2，x2=3。

师：先观察不等式的形式，整理成最高次项系数为正，然后解对应的一元二次方程。

生：画出二次函数y=x2-5x+6 的图象。

师：有具体的二次函数画出图象是比较容易的。

生：结合图象得不等式x2-5x+6＞0 的解集为{x|x＜2，或x＞3}。

师：刚才X 同学的解答过程详细完整，我们具体梳理一下基本步骤：（1）整理（整理成最高次项系数为正的形式）；（2）求根（求出二次方程的根）；（3）画图（画出二次函数的大致图象）；（4）结论（用集合语言写出不等式的解集）。 接下来，我们再尝试两个练习（两分钟）。

例2 求不等式9x2-6x+1＞0 的解集。

例3 求不等式-x2+2x-3＞0 的解集。

生2：整理不等式，求得方程的Δ＜0，画出图象，发现没有满足条件的取值，于是原不等式的解集为φ。

设计意图：通过具体问题，得到二次不等式解法基本步骤，过程自然、流畅。 三个例题代表了三个典型的方向，有利于完成后面的总结，解决数学运算问题。

师：结合刚才的练习，请同学们交流讨论，再次思考、理解、总结“三个二次”之间的关系，完成表格，只须考虑a＞0 的情况即可。

生1：Δ＞0 时，方程ax2+bx+c=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），不等式ax2+bx+c＞0 的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}，不等式ax2+bx+c＜0 的解集为{x|x1＜x＜x2}。

生2：Δ=0 时，方程ax2+bx+c=0 有两个相等实根，不等式ax2+bx+c＞0 的解集为不等式ax2+bx+c＜0 的解集为φ。

生3：Δ＜0 时，方程ax2+bx+c=0 无实数根，不等式ax2+bx+c＞0 的解集为R，不等式ax2+bx+c＜0 的解集为φ。

师：通过总结，进一步熟悉了三个二次的关系，也有利于熟悉二次不等式的解法， 请同学们迅速完成教材P53.1 内容（三分钟），订正答案。

设计意图：比较简单，让学生独立完成，从而落实“四基”、发展“四能”。

师：接下来，我们再次总结“三个二次”的关系，重点在关注彼此的联系。 (1)三个“二次”中，二次函数是主体；(2)方程的根、函数的零点、两函数的交点横坐标是统一的；(3)不等式的问题可以和方程（等式）的问题统一解决。

设计意图：根据最近发展区理论，搭建梯子，给予探究过程中关键步骤、关键问题的导引，使学生通过梯子一步一步攀升，进而解决问题，从而在探究的过程中培养学生的高阶思维、科学精神和意志品质。

师：及时处理例2 若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0 的解集为R，求实数a 的取值。

生：1.当a-2=0 时，即a=2 时，原不等式恒成立，解集为R。

综上所述，a 的取值范围为-2＜a≤2。

师：X 同学解决问题的思路清晰，非常棒。 分类讨论是数学的重要方法之一。

设计意图：分类讨论思想是数学的重要思想方法，这个例题旨在培养学生严谨的逻辑思维。

四、梳理总结，促进内化

师：我们一起来总结一下。 这节课，你学到的具体知识——

生：两个概念，第一是一元二次不等式、函数的零点；第二是一元二次不等式的解法，梳理了“三个二次”之间的内在联系。

师：很好，那么在具体知识之外你想到了什么？数学和哲学一样，需要有对未知领域的沉思。

设计意图：学生进行交流与分享，谈收获与困惑，更利于释惑明理。

《普通高中数学课程标准 (2017 年版2020 修订)》强调在教学的过程中既要关注学生学习的结果，更要重视其学习的过程。 在本课堂教学中，笔者通过各种不同形式的探究活动，引导学生思考、交流、探究、归纳二次不等式的解法以及“三个二次”的联系，探究过程中学生能体会从特殊到一般的的归纳、从未知到已知的化归。