基于动态估计反馈的灰色理论航迹关联算法

邱建杰, 蔡益朝, 李 浩, 黄权印

(空军预警学院, 湖北 武汉 430014)

0 引 言

在预警防空情报系统中为了对多目标航迹数据进行融合,首先需要进行“航迹-航迹”之间的数据关联[1]。因此,作为整个空情系统的基础,航迹关联的正确率直接决定了后续航迹融合与目标识别的质量[2-5],并对后续的对敌威胁评估、战场态势生成乃至于战略指挥决策都起着关键性作用。为了进一步提高航迹关联的正确率,给后续空情系统的高效运转提供可靠支撑,广大学者对关联场景中的各类问题做了大量深入研究,并开发出了特点各异的关联算法。

当前应用较为广泛的航迹关联算法大致可分为基于概率统计类[6-8]、基于模糊数学类[9-11]、基于人工智能与神经网络类[12-14]3种。其中,基于概率统计类关联算法的核心观点是计算航迹间的各类统计距离,再通过假设检验来验证航迹间是否关联,该类算法步骤简短易实现,在航迹数量较少,传感器量测精度较高的情况下可以取得较好的关联效果,但随着观测区域目标数量与传感器误差的增大,该类算法往往难以达到预期效果;基于模糊数学类的关联算法则通过各类模糊隶属度函数来计算航迹间的模糊隶属度,通过比较模糊隶属度的大小来判断航迹间的关联关系,这就转换了关联思路,进一步提升了算法在密集场景下的关联正确率,但这类算法参数设置过于复杂,不利于工程实现;基于人工智能类的航迹关联则是利用神经网络强大的学习能力以及非线性拟合能力通过在样本数据上的不断训练迭代来调整神经回路中的隐含参数以解决各类复杂场景下的关联问题,但难点在于如何获取足够的适用于作战场景的样本数据。

灰色理论中的灰色关联分析法则为航迹关联提供了一种新方法:通过点迹序列所组成航迹的几何形状的相似度来判断航迹间的关联概率,同时灰色关联分析法还具有对样本数量要求不高,不须依赖噪声先验分布规律等优点[15-16]。据此,文献[17-18]提出一种基于灰色理论的航迹关联模型,文献[19]利用多维分配理论将双传感器关联拓展至了多传感器,实现了全局最优航迹关联,但由于文献[17-19]中使用两级最大、最小差来计算航迹间的灰色关联度,难以反映航迹间的相对关系,故而当传感器观测目标数量不完全相同时关联效果急剧下降。因此,文献[20]改用三级最大、最小差来计算航迹间的灰色关联度,同时省略了区间值化的过程,进一步强化了航迹间的相对关系,使不同传感器间的数据具有了可交换性。文献[21]通过考虑航迹整体态势相似度与历史局部特征相似度对灰色关联矩阵进行修正,从而实现两级关联判决,进一步推进了灰色关联理论与航迹关联问题的实质结合。但上述文献存在未充分考虑历史航迹,或是利用航迹历史信息时直接对其进行序贯求和等问题。而在密集目标等特殊环境下,传感器误差可能使邻近目标的点迹易位,对于这类信息不经筛选直接利用,在一定程度上会加剧航迹错批的可能性。考虑到这一问题,本文利用Sage-Husa估计器[22-25]来实时估计传感器观测噪声协方差,并利用Critic权重法[26-28]将观测噪声协方差转化为各时刻传感器输出数据的信度权重,再利用序贯航迹关联算法的思想对各时刻的灰色关联度进行序贯加权求和,从而进一步降低传感器误差较大时对于关联系统的影响。经过多场景下的仿真验证,本文提出的关联算法比加权法、修正加权法、模糊法以及传统的灰色关联度关联算法更加理想,同时相较于传统灰色关联度算法,改进后本文算法能够更加正确有效的突出航迹关联对间的灰色关联度。

1 问题描述

1.1 系统方程

为了便于表达,本文所描述的关联模型均是在坐标转换、误差配准等数据预处理工作已完成的前提下进行的。

考虑到匀速目标可由匀加速目标将加速度设零得到,以匀加速目标为例,其运动模型为

(1)

(2)

(3)

H(k+1)为传感器的观测矩阵,一般来说在预警防空情报系统中传感器只能通过目标当前状态观测到位置信息,故

(4)

(5)

W(k)、V(k+1)分别表示目标运动时产生的过程噪声以及传感器在对目标进行探测过程中产生的观测噪声。且两类噪声满足

(6)

式中:q,r分别表示过程噪声与观测噪声的均值;Q(k),R(k)为其对应的噪声协方差矩阵。在传统的关联模型中通常将噪声均值设定为零,且一般用常值矩阵来表示噪声协方差矩阵代入运动方程计算,但在作战环境下复杂的作战背景以及敌方电磁干扰会令观测噪声的协方差矩阵具有时变特性。因此,本文将采用Sage-Husa估计器来实时估计观测噪声的协方差矩阵,并将其作为评估传感器实时性能的依据,为后续本文算法的开展奠定基础。

1.2 灰色关联分析法原理

灰色关联分析法的主要思想是将航迹关联问题转化为模式识别问题,即将传感器l探测到的nl个目标点迹视为对应数量的已知模式,将传感器m探测到的nm个目标点迹视为待识别模式,将待识别模式与识别模式进行两两对应,即可实现关联功能。

在介绍前先做如下假设:

为了防止量纲不同导致数据间失去可比性,在计算航迹间灰色关联度前,要对航迹进行生成化处理。灰色关联分析法一般采用区间值化来对航迹信息的各维度状态信息进行标准化处理。

(7)

式中:o=1,2,…,no;i=1,2,…,n1。则参考序列目标i的点迹与待识别序列目标j的点迹在k时刻指标o方面的关联系数为

(8)

式中:Δij(k,o)称为Xi和Xj第o个指标的绝对差,即k时刻两目标点迹标准化后第o个指标的数据差值绝对值

Δij(k,o)=|ΔXi(k,o)-ΔXj(k,o)|

(9)

ξij={ξij(k,o),o=1,2,…,no}

(10)

为了便于进行筛选识别正确的航迹关联对,将每个目标与参考目标各指标上的关联系数融合为一个值,便称为待识别目标与参考目标在当前时刻的灰色关联度,记为

γij=γ(Xi,Xj)

(11)

按照各指标设定的权重来计算灰色关联度

(12)

通常采用平均法,即取αo=1/no(o=1,2,…,no)。

在计算出各航迹间的灰色关联度后,即可根据其构建出与之对应的灰色关联矩阵:

(13)

运用最大灰色关联度原则来选取对应的候选航迹关联对,即令

(14)

式中:i=1,2,…,n1。接着对候选航迹关联对进行关联门限判别,超过判别门限的才可确定为航迹关联对,即

其中,ε为关联门限,一般取ε>0.5。

2 基于动态估计反馈的灰色关联度航迹关联算法

从第1.2节的描述中不难看出,传统的灰色理论分析法仅依靠当前时刻的目标状态开展航迹关联,而并未考虑到航迹历史信息的重要性,在复杂电磁环境下当传感器性能被抑制时算法性能将受到影响。为了使算法具有更加广泛的应用场景以及更加优秀的关联效果,在算法中引用序贯关联算法[8]的思想,同时将传感器输出数据的实时质量转化为各时刻的序贯权重,使算法能够动态调整各时刻目标状态的参考程度,从而更加合理的利用航迹历史信息,有效提升正确航迹关联对与非航迹关联对间的对比度。

2.1 传感器数据质量评估

传统的航迹质量评估指标主要以精确度为主,常用的指标有位置均方根误差、速度均方根误差[25]以及状态估计协方差中其他元素。但部分传感器本身并不生成状态估计协方差或由于通信带宽原因导致其无法传输,这使得航迹质量评估工作需要离线进行。因此,为了在线评估航迹质量,工程上采用量测协方差近似替代状态估计协方差[20],并通过先验知识来假定噪声的协方差矩阵,以常值观测协方差矩阵进行滤波计算[29]。然而,由于目标的实时非规则机动以及实际复杂环境等因素的影响,系统的模型以及噪声往往难以准确确定,并且噪声可能具有时变的统计特性[24]。

对此,Sage与Husa[30]提出一种基于极大后验无偏噪声估计器,可实时估计出符合最大似然准则的量测噪声与过程噪声,具体表示为

(15)

(16)

(17)

(18)

由于Sage-Husa估计器是基于卡尔曼滤波算法提出的,但实际目标跟踪过程中可能存在非线性噪声且原始算法存在容易发散等问题,因此需将Sage-Husa估计器与无迹卡尔曼滤波(unsented Kalman filter, UKF)算法结合。

UKF算法流程如下[31]。

步骤 1从目标当前状态附件抽取2n+1个sigma点。

(19)

步骤 2利用状态转移方程f(x)计算转移后的新sigma点。

(20)

式中:qk为过程噪声均值。

(21)

(22)

步骤 4将转移后的sigma点利用观测方程h(x)进行再一次转移。

(23)

式中:rk为观测噪声均值。

(24)

(25)

步骤 6利用观测协方差的估计值PZZ,k求增益矩阵Kk。

(26)

(27)

步骤 7计算目标状态与协方差。

(28)

(29)

已知在传统的线性系统中有

Pk|k-1=Φ(k)Pk-1|k-1Φ(k)T+Qk

(30)

PZZ,k=H(k)Pk|k-1H(k)T+Rk

(31)

式中:Pk|k-1,PZZ,k分别为目标状态协方差与观测协方差的估计值。

由式(22)、式(25)易知:

(32)

结合式(15)～式(18)、式(20)～式(24)可得在UKF中,噪声的估计值如下:

(33)

(34)

(35)

(36)

考虑到式(33)～式(36)中是对各时刻的数据求平均,而对于时变的噪声数据则应尽量提高新数据的影响力,因此在每个时刻数据前乘上一衰减记忆因子{ηi,i=1,2,…,k}用以调整各时刻噪声数据的权重,令

(37)

式中:b为遗忘因子,一般取0

(38)

即可得到递推式:

(39)

同理可得

(40)

(41)

(42)

2.2 动态序贯灰色关联度

在获取系统的量测噪声协方差矩阵后,从中提取其对角元素,即当前时刻各方向上的量测噪声误差标准差σx(k),σy(k),σz(k),并使用Critic权重法将其转化为各时刻的动态序贯权重。

假设当前系统所处时间序列为第k时刻,共有x,y,z3个方向的数据作为评价指标,则可构成量测噪声误差标准差矩阵:

(43)

首先对数据进行标准化处理,由于噪声标准差属于逆向指标,故令

(44)

接着计算标准化后的数据标准差σj以反映出当前各指标的对比性

(45)

计算指标j与其他指标间的矛盾性系数fj:

(46)

式中:rij表示指标i,j间的相关系数,本文采用的为皮尔逊相关系数。

则第j个指标的信息承载量Cj为

Cj=σjfj,j=1,2,3

(47)

根据各指标的信息承载量大小来确定指标权重ωj:

(48)

计算各时刻的评估分值Si:

(49)

(50)

接着按照第1.2节中所述原理计算待识别航迹间的灰色关联系数,但航迹关联研究中各传感器数据是公共坐标系下的观测值,其相对关系是航迹关联判断中最为重要的因素,不应采用区间值化方法改变数据列之间的相对关系[20]。由于式(8)中的两级最大最小差计算出的灰色关联系数不具有交互性,即存在将待识别航迹与参考航迹交换后灰色关联系数不统一的问题,故本文参考文献[20]中的思路略过区间值化的过程直接使用指标间的绝对差值|Xi(k,o)-Xj(k,o)|替代,并采用三级最大最小差来计算修正灰色关联系数。

(51)

同时,传统灰色理论航迹关联中将各指标关联系数求和取平均来计算航迹间的灰色关联度,默认目标跟踪时各指标权重相同,即在式(12)中令αo=1/no(o=1,2,…,no),这与实际情况存在出入。故咨询数据融合领域专家对模型中的目标信息进行主观赋权:由于在三维运动模型中,目标在高度上的机动性要低于平面方向,因此目标z方向上的信息参考价值应稍低于x,y方向;同时,考虑到当前主流传感器只能观测到目标的位置信息,而速度信息则依靠位置信息的迭代计算而来,加速度信息则由速度信息得来,故而其重要性应依次递减。综上,结合专家空情数据处理经验,给出各指标权重为

α=[0.3,0.3,0.2,0.06,0.06,0.03,0.02,0.02,0.01]

(52)

式中:前3维分别表示x,y,z方向的位置信息权重;4～6维分别为对应方向上的速度信息权重;7～9维分别为对应方向上的加速度信息权重,即令α1=a2=0.3,a3=0.2,α4=α5=0.06,α6=0.03,α7=α8=0.02,α9=0.01。

则k时刻两航迹间的动态序贯灰色关联度为

(53)

则可根据式(53)构建k时刻序贯灰色关联矩阵

(54)

算法 1 基于动态估计反馈的灰色理论航迹关联算法If γ'ij(k)=maxj γ'ij(k) If 是该行唯一最大关联度γ'ij(k)=γ'ij(k)γ'mj(k)=0, m≠i Else多义性处理 EndElse γ'ij(k)=0End

计算出序贯灰色关联矩阵后,根据上述原则来提取候选关联对的序贯灰色关联度;同时,本文算法考虑在密集目标等场景下,目标间初始关联度必然较低,因此为了避免漏关联,本文采用动态步进关联门限,即令

(55)

若关联系统中存在M(M≥3)个传感器,则可按照上文所述方法构建k时刻任意两传感器间的序贯灰色关联矩阵。同时,构建多传感器的全局统计量为

(56)

式中:

(57)

定义二进制变量为

(58)

如此,可令多传感器关联问题转化为多维分配问题,即求解:

(59)

关于式(59),可采用拉格朗日松弛算法对其求解,且所解出的航迹关联对同样需经过关联门限检验,而后即可实现全局最优关联。综上所述,基于动态估计反馈的灰色关联度航迹关联算法流程图如图1所示。

图1 算法流程图Fig.1 Algorithm flow chart

3 仿真分析

为了便于问题描述,本文以三维坐标下的双传感器关联系统为例使用计算机对其建模,进行50次蒙特卡罗仿真实验,使用瞬时关联正确率与平均关联正确率来衡量关联结果理想与否。同时选用传统灰色理论航迹关联算法[19]、加权法[6]、模糊法[10]作为对照组与本文所提算法进行对比,以更加直观体现本文对算法改进后的效果。

假设两传感器所输出数据已完成时空配准,坐标转换等数据预处理工作,系统仿真步数为100步,采样周期为1 s,现共设定3种不同的航迹关联场景。

场景 1常规观测场景,目标数量为50批,将目标运动范围大致限定在一个300 km×300 km×300 km立体空间内,初始位置按正态分布产生,航向在0～2π按正态分布随机产生,加速度在一定范围内按均匀分布产生。

场景 3密集编队飞行场景,在场景2的基础上,于航迹起始阶段将目标分为8组密集飞行编队,令其高度始终相同,降低目标加速度,以使同一编队目标初期的运动速度基本保持一致,同时各编队做相向运动,并于不同时刻相交。此外,关于对照组中的加权算法,考虑到目标状态维度为9维,根据χ2假设检验表中99%的把握对应值将该算法检验阈值定为2.0。场景中其他相关参数如表1所示。

表1 各关联场景参数设置Table 1 Parameter settings for each associated scene

表2 不同场景下各算法关联正确率Table 2 Correlation accuracy of each algorithm in different scenarios %

表3 不同场景下各算法耗时情况Table 3 Time consumption of each algorithm in different scenarios s

图2 目标运动轨迹俯视图Fig.2 Top view of target motion trajectory

图3 不同场景下各算法瞬时关联正确率Fig.3 Instantaneous association accuracy of various algorithms in different scenarios

分析图3及表2,不难看出,在场景1(常规关联场景)本文所选4类算法都有比较理想的表现,除加权法外,其他3种算法关联正确率均在90%以上。而由场景1切换至场景2后,由于传感器的性能降低,目标初始空间位置分布密集以及噪声协方差时变等原因,3类传统算法的关联效果均严重下降,传统灰色分析法下降了约15%,其他两种传统算法关联正确率下降均在30%以上,而本文算法正确率基本不受影响,这充分证明了本文算法能够有效应对密集目标下的航迹关联问题。同时,由场景2切换至场景3后,从图3(c)中可以看到,由于目标在飞行初期进行了密集编队飞行,此时同一编队的运动方向基本一致,因而各关联算法的初始关联效果均不理想,值得注意的是,在第20～25步左右,由于编队飞行目标大多于此时相交,使得本文算法的关联正确率出现了小幅下降,而其他算法由于关联正确率较低或还未收敛,这些相交的编队目标在这几个算法中本就属于错误关联对,因而在目标相交时没有出现关联正确率下降的现象。但总的来说本文算法的效果仍然最好且较场景2仅下降约3%,保持在90%以上,这充分说明本文算法对于时变噪声协方差下做相似运动的密集目标关联场景具有较强的适应性。从表3可以看到,各算法在3类场景下的耗时依次递增,但从场景1转换至场景2后的耗时几乎成倍增长,而场景2与场景3的耗时增加并不大。经分析,这是由于场景1中目标比较分散,而场景2与场景3目标初始位置分布十分密集,如多义性处理这类算法步骤在场景1中因不符合条件被跳过并未执行,且后两种算法中噪声协方差并非一定的,在很大程度上增加了算法的计算复杂度。本文算法在所有算法中的耗时最高,牺牲了一定时间效率,但本文算法较传统灰色分析法在3类场景中的耗时最多增加了不到0.7 s,而关联效果最高能提高近18%;加权法的耗时虽然较低,但其在目标比较分散时的关联正确率也仅有72%,在噪声统计特性未知等复杂场景(场景2、场景3)下的关联效果差的难以接受。

同时分析图3(b)、图3(c)可知,在密集目标场景下相较于传统的灰色分析法,本文算法的优势在于初始关联正确率高,收敛速度快。起始关联正确率高,是由于本文根据专家意见对于各指标的权重进行了合理的主观赋权,因而在密集目标的情况下本文提高了正确关联对之间的辨识度;而收敛速度快,则是由于本文充分利用了航迹历史信息,对其进行序贯处理,而并非同传统灰色关联算法那般待目标分开后才可收敛。为了验证上述结论,分别画出场景2中第1步、第5步以及第10步时传统灰色分析法与本文算法中各目标间的灰色关联度三维柱状图如图4～图6所示(正确关联对在两传感器中的序号相同)。

图4 第1步中两算法各目标间关联度Fig.4 Correlation degree between the two algorithms’ targets in step 1

分析图4～图6易知,在第1步时由于目标比较密集,故传统灰色关联度无法很好地筛选出正确的航迹关联对,而本文算法由于对算法中各指标权重实施了专家赋权,同时在关联前期采用了动态步进关联门限,因而能够起到提高算法目标分辨力的作用。由于本文目标通过Critic权重法对目标进行了动态序贯处理,因而具有更快的收敛速度,对比图5(a)与图5(b),可以看到在第5步时传统灰色关联度仍无法有效筛选出正确的关联对,而本文算法中正确关联对与错误关联对间的灰色关联度已逐步拉开。当系统运行至第10步时,目标已逐步分散,此时传统灰色分析法亦可筛选出正确关联对,但有较多的错误关联对与正确关联对极为接近,若环境条件稍有变化则仍易造成错误关联,而本文算法中仅有少数错误关联对与正确关联对间的灰色关联度比较接近,这说明本文算法具有更强环境适应能力。

图5 第5步中两算法各目标间关联度Fig.5 Correlation degree between the two algorithms’ targets in step 5

同时,为了进一步验证本文算法在目标分辨力上的优势,现定义目标关联判定信度为υi(k)=γc(k)/γe(k),其中γc(k)表示k时刻目标i正确航迹关联对间的灰色关联度,γe(k)表示k时刻目标i错误关联对中的最大灰色关联度。若υi(k)<1,则说明k时刻对目标i进行了错误的关联判定,反之,若υi(k)越大则说明对该目标进行正确关联判别的信度就越高。某次蒙特卡罗仿真实验中本文算法与传统灰色分析法在场景2的第1步、第5步与第10步中各目标的关联判定信度如图7所示。

图7 各目标关联判定信度Fig.7 Correlation determination reliability of each target

显然,从图7中可以看出,无论是做出正确关联的频率,还是算法的关联判断信度,本文都要高于传统灰色分析法。

4 结束语

传统算法仅将当前时刻的目标信息作为关联判定依据,因而当环境噪声统计特性未知、目标比较密集或出现航迹交叉等情况时关联效果极差,因而本文算法在传统灰色分析法基础上增加了一种动态估计反馈机制:引入了Sage-Husa估计器来实时估计传感器的噪声协方差作为评估输出数据质量的依据,并使用Critic赋权法将实时噪声协方差转换为各时刻序贯权重,再参考序贯航迹关联算法的思想根据Critic法所得结果对各时刻航迹间的灰色关联度赋权并求和,从而在对当前时刻的航迹情况做出判决前同时考虑过去时刻的航迹信息。以保证应对实战中具有时变统计特性的噪声协方差的同时,还能充分利用航迹历史信息,有效解决密集目标场景下的关联问题。仿真证明,在密集目标与时变噪声协方差等特殊关联场景下,无论是在关联正确率,还是关联判定的可靠性方面,本文算法明显优于传统灰色分析法以及模糊法、加权法等经典算法,充分验证了本文算法的性能优越性以及鲁棒性。但需要指出的是,尽管本文算法在相当程度上提高了关联工作的可靠性,但却牺牲了一定的时间效率,且从根本上讲本文算法最终仍是将航迹关联问题转化为了多维分配问题,此时若要进行全局最优关联,则需要求传感器数量不超过5,否则便易造成计算量爆炸问题,后续需考虑将各类智能算法应用于多维分配问题的求解,以进一步优化本文算法的性能。