研讨新高考试题 启示高三复习建议——对全国数学新高考Ⅱ卷的评析

⦿ 安徽省蚌埠第三中学 程雷虎

2023年全国数学新高考Ⅱ卷引起了社会的广泛关注,除了海南、辽宁、重庆三个省市延续使用外,还增加了山西、黑龙江、安徽、云南、吉林等过渡地区,在使用过程中,考生反映此套试卷的解答题部分比全国数学新高考Ⅰ卷要难,计算量大,一不小心就“前功尽弃”.本文旨在对2023年全国数学新高考Ⅱ卷展开深入剖析,揭示该套试题“不易”的背后所隐藏的“庐山真面目”,提出一些思考与建议,以期对2024届高三复习提供有益参考.

1 试卷结构特点

2023年全国数学新高考Ⅱ卷秉承着与前两年新高考Ⅱ卷结构基本保持一致的风格,试题总题量为22小题,满分150分,其中单选题、多选题、填空题、解答题分值分别为40分、20分、20分、70分.具体知识点分布见表1.

表1

2021～2023年全国数学新高考Ⅱ卷知识分布的对比见表1.

可以确定的是2023年全国数学新高考Ⅱ卷在结构上与前两年新高考Ⅱ卷基本保持一致,难度上略有变动,但数学原理一致,没有偏题、怪题.学数学,就是要学会在千差万别的题中识别永恒不变的数学原理.

2 试卷总体特点

本套试卷遵循《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》[1]的各项要求,注重基础,体现方法,突出思想,考查能力.考查考生的数学素养和探究意识,注重能力立意,突出考查考生的运算求解能力与逻辑思维能力,体现数学的科学价值和理性价值.试卷覆盖中学数学的主干内容,选填部分难度适中,解答题难度偏中上,在结构、难度、命题方向及命题手法上与新高考接轨,“五育”并举,并且针对不同层次教育教学实际水平,合理控制了试卷难度,利于不同水平考生能力的发挥.试题科学、规范,设问新颖、灵活,与当前教育形态相匹配,利于教师反思2024届新高三复习教学方向,有利于促进中学实施素质教育.

2.1 立足基础知识,考查主干内容

2023年全国数学新高考Ⅱ卷的设计立足于中学数学的基础知识、基本技能和基本方法,如第1,2,3,5,7,10,13,14,17,18题都是直接考查基础知识和基本方法.此外,试卷还注重对高中必修课程和选择性必修课程所学主题内容的全面考查,集合、复数、初等函数、平面向量、数列、不等式、排列组合、圆锥曲线等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查.其中,第11题以导数问题突显不等式跨界分析,注重数学知识综合能力的考查;多选题设问合理,条件直指问题,突出了新课程的选择性.在此基础上,试卷还强调对主干内容的重点考查,体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性.如在解答题中重点考查了三角函数与解三角形、立体几何、直线与圆锥曲线、函数与导数、概率统计、数列等主干内容.其中,概率统计以类似疫情核酸检测为背景,交汇函数综合考查;圆锥曲线对双曲线的二级结论进行考查.

2.2 注重能力立意,突出通性通法

2023年全国数学新高考Ⅱ卷试题以能力立意为核心,坚持多角度、多层次地考查推理论证能力、空间想象能力、阅读理解能力、实际应用能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力.如试卷第9题以多选形式全面考查圆锥内容,题目考查基础知识,四个选项设问逐层递进,前面的选项为后面的选项提供条件,各选项分别考查圆锥的不同性质,互相联系,重点突出,有效扎实地考查数学运算素养;第20题考查了空间想象能力;第17,18,20,21,22题考查了推理论证能力、运算求解能力和探究能力;第19题考查了利用概率统计思想和函数思想解决实际问题的能力.

试题注重对数学通性通法的考查,命题时以一道题为载体,呈现给考生的是一类题,通过一道题考查考生掌握解决这一类问题的通用方法.如试卷第20题的第(1)问考查空间异面垂直的证明,第(2)问考查二面角的求法;试卷第5,10,15,21题通过直线与圆、三类圆锥曲线的位置关系给出了直线与圆、圆锥曲线研究的基本方向与基本特点;第22题揭示了函数与导数命题中以不等式和极值为背景的命题手法及解题方法,再次呼应热点,突出通性通法,启示研究方向,引导2024届高三复习思路.

2.3 知识点的交汇题依然会考查

第19题是概率统计与函数知识点交汇的题型,回看其他新高考数学试题,不难发现,2021年新高考Ⅱ卷第21题是概率统计与函数性质的交汇题型,2022年新高考Ⅱ卷第22题是导数与不等式证明的交汇题型.新高考数学大题中的知识点交汇考查可以说在这两年中依然有出现,实际上,新课程标准中高中数学内容有三角、数列、函数、概率与统计、立体几何、解析几何、数学建模等主题,而要求这些主题的学习应建立在整体思维的基础上,为了考查考生的整体意识、综合能力和应用能力,知识点的交汇考查在今后的新高考中出现的可能性很大.

2.4 阅读能力、题意理解与计算能力要求较高

本套试卷选填题,除了填空题第16题难度相对大点,可以说是“一马平川”,注重基础.但从解答题第18题开始,难度陡然提升.解答题的难度一方面体现在阅读理解上,要求学生需认真阅读、仔细审题,很多考生由于阅读能力差,无法理解题中的含义,因此无从下手.如第19题,很多考生很难从频率分布直方图上得出漏诊率和误诊率.另一方面,解答题对于计算的要求也极高,需要学生有扎实的计算功底且能打破计算障碍.如第18题,设置了分段数列求和问题,不仅需要考生理解分段数列求和的分类思想,还要有扎实的计算功底.很多考生在做题的过程中,由于计算繁琐望而却步.在今后的数学教学中,要求我们引导学生加强阅读理解和运算求解能力的提升.

2.5 情境题型设计,体现素质教育

本套试题注重情境题型设计,既综合性地灵活考查了数学学科素养,又体现了当前教育形态(坚持立德树人,实施素质教育,培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人).试卷中问题情境丰富,设问方式通俗易懂.如试卷第3题以体育运动为背景设置了排列组合题,在考查学生数学知识的同时,又引导学生加强体育锻炼,将体育教育融入数学教育;第12题以信道传输0,1信号为背景设置了相互独立事件的概率,试题设置的情境真实、贴近生活,同时源于教材例题;第19题以医学检测为背景,让学生在实际问题中体会生活,培养学生感恩意识,懂得“哪有岁月静好,只是有人在负重而行”.这些问题都反应了数学与实际生活的结合,这就要求学生不能只做“书呆子”,而应该将所学的数学知识运用到生活,“五育”并举,推动社会的发展和进步.

3 教学启示与备考建议

3.1 深度研读课程标准,明确高考考试方向

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》[1]中蕴含着学科内涵、能力目标等核心素养要求,在研读课程标准时,需要加大深度,不仅要读,还要研,要将标准中的学科内涵和能力目标等进行细化.在对比这两年新高考数学试卷的基础上,从总体上分析和把握2024年新高考试卷可能的动向.

笔者认为,2024届的高考复习要继续注重对主干知识的讲解,注重对数学基础性、应用性和学科思政的渗透,将中国教育的方针政策与高中数学知识有机结合起来,构建数学问题的直观模型,让学生感受优秀的数学思想;当然,还要加强阅读理解能力、运算求解能力,以及高中数学知识应用的综合性,体会数学知识与现代生活息息相关.

关注核心素养导向的趋势,结合近两年新高考试卷,建议让高三学生明确当前高考考查的侧重点以及关注的核心素养.

(1)数列作为离散函数的代表,让学生掌握数列研究的基本方法和基本思想的同时,在复习过程中应适当增加数列性质及求和性质的研究,增加数列题型的计算练习.

(2)函数性质方面,要注意考查形式的多样性,注意多种初等函数的综合性.应重点复习函数性质的判断方法和基本思想,以及掌握特殊函数的性质与图象.

(3)三角函数作为周期函数的特殊代表,考查比较常规.复习时要把握方向,适当控制难度,重点解决三角函数的图象与性质的理解和应用、三角知识在解决数学问题中的应用(正弦定理、余弦定理等);要关注三角函数的图象和性质在研究一般函数性质时的特殊作用.

(4)几何与代数.首先,解析几何应通过算法选择、算理分析的教学与示范,彻底落实运算问题,加强学生学习品质的提升,理解代数方法在研究解析几何问题中的作用;注重解析几何中的通性通法的讲解,加强解析几何中几何意义的解读和解题方法的比较,真正让学生理解解析几何的特点,提升学生的数学认识和水平.其次,立体几何要规划空间位置关系的性质与判断,重点强调核心位置关系的逻辑推理训练,解决数量关系的刻画与求解,凸显空间想象能力.

(5)函数与导数综合问题,要突出函数性质的应用,研究重要函数模型背景及性质,熟悉常见的命题手法,适当关注高等数学背景知识.

(6)概率与统计问题,应加强时代性、应用性,突出数据处理能力、题面阅读能力.教学中,应培养学生良好的审题习惯,恰当提取数据信息,渗透学科知识的交叉,让学生体会数学学习的广泛适用性,培养应用意识和建模意识.

3.2 回归教材,夯实基础,理解概念

教材中的例题、习题大多都是很多题型的浓缩版.事实上,很多高考试题来源于教材,是教材例习题的变式或推广.因此,以教材为素材组织高三复习是提高学生复习效果的有效途径.新高考数学很多问题都很基础,源于教材,教师在复习过程中一方面要让学生将教材中的定义、概念吃透,真正理解概念,这样才不会出现似懂非懂的现象.另一方面,教师要思考教材的编写意图,基础知识点如何延伸,解题方法如何运用,充分发挥教材导向作用,激发学生的基础意识,培养数学核心素养,提升学生举一反三的能力.

3.3 突出通性通法,优选解题方法,规范解题过程

高考中的很多问题,其解题方法大多源于教材例题和习题,需要教师通过研究性复习教学,将教材中的解题方法提炼出来.同时,要注意教材中的解题思路和解题规范性,突出通性通法,弱化解题技巧,重在问题的分析和解题书写步骤的规范,培养学生严谨的数学推理思维.在复习过程中,教师还应注重培养学生的计算能力,突破计算上的障碍,注重解题优化的意识.