指数有界双连续n阶α次积分C半群的扰动

赵华新, 贺凯丽, 刘娟娟

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

算子半群理论在泛函分析和实际问题中有着广泛的应用,经过多年的持续发展,算子半群种类不断丰实,算子半群的扰动是算子半群理论研究的重要内容,许多学者对此作了大量研究工作。文献[1-2]讨论了n次积分C半群的扰动;文献[3-4]讨论了α次积分C半群的扰动;文献[5-6]讨论了双参数C半群的指数公式、谱及其扰动;文献[7-8]讨论了扰动双参数C半群的相关性质;文献[9]研究了指数有界双连续α次积分C半群的扰动;文献[10-11]给出了双连续n次积分C半群的定义及其性质;文献[12-14]讨论了n阶α次积分C半群扰动、指数有界性和紧性;文献[15]研究了指数有界双连续n阶α次积分C半群的定义及其性质;文献[16]讨论了指数有界双连续n阶α次积分C半群的生成定理。对于指数有界双连续n阶α次积分C半群的扰动还尚未被研究。本文在此理论基础上,给出指数有界双连续n阶α次积分C半群的扰动的结果并进行证明,从而进一步完善了双连续n阶α次积分C半群的相关理论。

1 预备知识

文中假设X为无限维的复Banach空间,B(X)是X上的有界线性算子全体所组成的代数;D(A)为线性算子A的定义域,X′是X的共轭空间,τ是X上的一个局部凸拓扑并具有以下性质:

设T(t)∈B(X),n∈N,α≥0,

T(t)=0当且仅当存在n≥0使JnT(t)=0,t≥0。

2 基本概念和引理

定义4[10]设C∈B(X)为单射,n∈N,α≥0,若:

2) 存在闭线性算子A,满足

3) {T(t)}t≥0强τ连续,即对每个x∈X,映射t→T(t)xτ连续;

4) {T(t)}t≥0等度双连续;

则算子族{T(t)}t≥0⊆B(X)称为指数有界双连续n阶α次积分C半群。其中A为其次生成元,把Gτ(M,ω,C)记为X内的所有指数有界双连续n阶α次积分C半群。

定义5[16]设{T(t)}t≥0是由A次生成的指数有界双连续n阶α次积分C半群,Ra(λ)C=Rc(λ,A)=λn-1(λn-A)-1C,有定义在Banach空间X上的有界逆算子,则称λ为指数有界双连续n阶α次积分C半群的次生成元的C正则点,Ra(λ)C是A的C预解式。

引理1[15]令n∈N,α≥0,C∈B(X)是单射,A:D(A)⊂X→X为闭线性算子并满足A⊂C-1AC,{T(t)}t≥0⊆B(X)τ连续并满足

有

引理2[16]令n∈N,α≥0,C∈B(X)是单射,A:D(A)⊂X→X为闭线性算子并满足A⊂C-1AC,{T(t)}t≥0⊆B(X)τ连续并满足

若有

则指数有界双连续n阶α次积分C半群{T(t)}t≥0的次生成元为A。

3 主要结果

定理1 设A为指数有界双连续n阶α次积分C半群{T(t)}t≥0的次生成元,B⊂B(X),BA=AB,BC=CB,CB∈B(X)为单射,满足

R(CB)⊂R(C)及A+B⊂C-1(A+B)CB,

则C-1(A+B)CB生成双连续n阶α次积分C半群{TB(t)}t≥0:

证明 由引理1有:

由预解方程可得:

利用数学归纳法可证:

故有:

由引理2知,C-1(A+B)CB生成双连续n阶α次积分CB半群{TB(t)}t≥0:

定理得证。

推论1 设A为指数有界双连续n阶α次积分C半群{T(t)}t≥0的次生成元,对于任意复数r,Cr∈B(X)为单射,满足

R(Cr)⊂R(C)及A+r⊂C-1(A+r)Cr,

则A+r生成双连续n阶α次积分Cr半群{Tr(t)}t≥0,

推论2 设A为指数有界双连续n阶α次积分C半群{T(t)}t≥0的次生成元,对于任意复数r,CB∈B(X)为单射,BA=AB,BC=CB,满足:R(CB)⊂R(C),则rA生成双连续n阶α次积分CB半群{TrA(t)}t≥0:

TrA(t)=r-αT(rt)C-1CB

证明 由引理1有:

由引理2知,rA生成双连续n阶α次积分CB半群{TrA(t)}t≥0,

TrA(t)=r-αT(rt)C-1CB。

4 结 论

本文在指数有界双连续n阶α次积分C半群的生成定理的基础上,得到C-1(A+B)CB生成的双连续n阶α次积分C半群{TB(t)}t≥0的表达式。作为2个特殊情况,对于任意复数r,在推论1中给出A+r生成的双连续n阶α次积分Cr半群{Tr(t)}t≥0的表达式,在推论2中给出rA生成的双连续n阶α次积分CB半群{TrA(t)}t≥0的表达式,从而丰富了双连续n阶α次积分C半群理论。