直击“数列”解题中的易错点

丁甘婷

数列是新教材选择性必修第二册内容，涉及面广、交汇性大、综合性强，新高考对其要求较高.考生在解题中往往会出现这样或那样的错误，有的错误还不易察觉.现列举七大易错点，以备后期复习要注意防范．

易错点1.忽视函数观点下项数n的取值范围

例1. 在数列an中，a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），则通项公式an=．

错解： 在an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2）中，

令n为n-1，得到：

an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2.

两式相减后得到， an-an-1=（n-1）an-1，

即an=nan-1，anan-1=n（n≥2）．

因此， ana1=anan-1·an-1an-2·an-2an-3… a2a1=n·（n-1）（n-2）…3·2=n ！， a1=1．

故an=n ！，n∈N*.

剖析：递推式an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2成立的条件应该是n≥3，而不是n≥2，所以两式相减后得到的等式an=nan-1成立的条件也应该是n≥3.“n≥3”与“n≥2”有差别，赋值时由于忽视了这个细节，使到手的分数在不经意间丢失，留下了许多遗憾，这不得不引起大家足够的重视．

正解： ana2=anan-1·an-1an-2·an-2an-3… a3a2=n·（n-1）（n-2）…3=n ！2，其中n≥3.

在an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2）中，

令n=2，得a2=a1=1. 所以当n≥3时，an=n ！2. a2=1适合此式，但a1=1不适合此式．

故数列{an}的通项公式是an=1， （n=1）

n ！2， （n≥2）

训练1： 在数列{an}中，a1=1，1a1+2a2+3a3·+…+n-1an-1=1an（n≥2），则通项公式an= .

易错点： 易忽视递推式中项数n的取值范围．

解析：在1a1+2a2+3a3+…+n-1an-1=1an（n≥2）中，

令n為n-1，得到1a1+2a2+3a3+…+n-2an-2=1an-1（n≥3）.

两式相减后，得到 n-1an-1=1an-1an-1，anan-1=1n（n≥3）.

即a3a2=13，a4a3=14，a5a4=15，…，anan-1=1n.

将这（n-2）个等式整体相乘，得 a3a2·a4a3·a5a4… anan-1=13×4×5×…×n，ana2=2n！，其中n≥3.

在1a1+2a2+3a3+…+n-1an-1=1an（n≥2）中，令n=2，得a2=-1.

所以当n≥3时，an=-2n！. a2=-1适合此式，但a1=1不适合此式.

因此，数列{an}的通项公式是an= 1， （n=1）

-2n！.（n≥2）

易错点2. 忽视“数列中的比例”与“实数中的比例”的差异

例2.两个等差数列｛an｝和｛a′n｝的前n项和分别为Sn：S′n，且满足Sn：S′n=（5n+13）：（4n+5）， 则a10：a′10=（）

A.4：5B.3：4C.5：4D.4：3

错解：设Sn=（5n+13）k，S′n=（4n+5）k，

则an=Sn-Sn-1=5k，

a′n=S′n-S′n-1=4k，

所以an：a′n=5：4．

于是a10：a′10=5：4. 故选C．

剖析：从Sn：S′n=（5n+13）：（4n+5）可知，比值Sn5n+13=S′n4n+5随着项数n的变化而变化，不能设为常数k. 这里将其与实数中的比例 ab=cd=k（常数）混同致错.

正解1：设Sn=（5n+13）nk，S′n=（4n+5）nk，

则an=Sn-Sn-1=（10n+8）k，

a′n=S′n-S′n-1=（8n+1）k，

∴an：a′n=（10n+8）：（8n+1），其中n≥2.

于是，a10：a′10=（10×10+8）：（8×10+1）=4 ：3，

故选D．

正解2：因为S2n-1=（2n-1）an，T2n-1=（2n-1）bn，所以anbn=S2n-1T2n-1.

于是a10a′10=S2×10-1S′2×10-1=S19S′19=5×19+134×19+5=43. 故选D．

训练2： 两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An，Bn，且满足AnBn=6n+47n+2. 则满足anbn=11的正整数n的值是 ．

易错点： 易忽视“数列中比例”的意义，宜于利用A2n-1B2n-1=anbn处理．

解析： anbn=A2n-1B2n-1=12n+412n+1=6+352n+1=112n+1=7n=3.

易错点3. 忽视对数列中字母参数取值的讨论

例3. 设b∈R，数列｛an｝的前n项和Sn=3n+b，则（）

A.｛an｝是等比数列

B.｛an｝是等差数列

C. 当b=-1时，｛an｝是等比数列

D. 当b≠-1时，an=3+b，n=1

2·3n-1，n≥2

错解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1-b）=2·3n-1.故选A．

剖析： 本题中a1=S1=3+b，它是否适合an=2·3n-1，依赖于参数b的取值，必须对b的取值进行讨论．

正解： a1=S1=3+b，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1-b）=2·3n-1．

当b=-1时，a1适合an=2·3n-1； 当b≠-1时，a1不适合an=2·3n-1。

因此当b=-1时，an=2·3n-1，n∈N， 此时｛an｝是等比数列；

当b≠-1时，an=3+b，n=1

2·3n-1，n≥2故选CD．

训练3：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，…）．

（1）求q的取值范围；

（2）设bn=an+2-32an+1，记｛bn｝的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．

易错点： 比较Sn与Tn的大小时，易忽视对公比q取值的讨论．

解析：（1）因为｛an｝是等比数列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0．

当q=1时，Sn=na1>0；

当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q>0，即1-qn1-q>0，（n=1，2，…）

上式等價于不等式组：1-q<0，

1-qn<0，（n=1，2，…） ①或1-q>0，

1-qn>0，（n=1，2，…） ②

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得-1

综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．

（2）由bn=aa+2-32an+1得bn=anq2-32q，Tn=q2-32qSn

于是Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq+12（q-2）.

又∵Sn>0且－10，

所以当-12时，Tn-Sn>0，即Tn>Sn；

当-12

当q=-12或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn．

易错点4. 忽视数列单调与函数单调的区别

例4.已知单调递增数列｛an｝的通项an=n2-kn（n∈N*）， 则实数k的取值范围是（）

A. （-∞，2］B.（-∞ ，3）

C.（-∞ ，2）D.（-∞ ，3］

错解：由于二次函数f（x）=x2-kx在区间［k2，+∞）上单调递增， 在-∞，k2上单调递减.

因此要使数列an=n2-kn（n∈N*）在［1，+∞）上单调递增，只要1≥k2，k≤2.故选A．

剖析：本题中如果a1，a2在对称轴的两旁且a1

正解1：由于二次函数f（x）=x2-kx在区间［k2，+∞）上单调递增， 在-∞，k2上单调递减. 因此要使数列an=n2-kn（n∈N*）在［1，+∞）上单调递增，只要1≥k2，k≤2．

但如果a1，a2在对称轴的两旁且a1

正解2： 因为数列｛an｝单调递增， 所以an

得n2-kn<（n+1）2-k（n+1），即k<2n+1对任意n∈N*恒成立，因此k<3.故选B．

训练4： 若bn=3n（n+1）2n，则数列｛bn｝的第 项最大，且最大项为.

易错点：易忽视数列单调性的意义，利用bn≥bn+1

bn≥bn-1确定项数n，再求最大项．

解析：设第n项最大，则bn≥bn+1，

bn≥bn-1，

即3n（n+1）2n≥3（n+1）（n+2）2n+1，

3n（n+1）2n≥3（n-1）n2n-1，

解得2≤n≤3.所以n=2， 3.所以数列｛bn｝的最大项是b2=b3=92．

易错点5. 忽视数列不等式放缩的指向性

例5.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an=1（2n+1）2，求证：Sn<14．

错解1： an=1（2n+1）2<1（2n+1）（2n-1）=12（12n-1－12n+1）．

于是，Sn=a1+a2+a3+…+an<12（1－13+13－15+…+12n-1－12n+1）

=12（1－12n+1）=n2n+1.

剖析：显然n2n+1的值已经超过了14，“放缩法”以失败而告终. 失败的原因是：分母“超量”缩小，下面要控制放缩量，以达到预期的目标. 接着又有下列放缩方法．

错解2 ： an=1（2n+1）2<1（2n+1）·2n=12n－12n+1.

于是，Sn=a1+a2+a3+…+an< （12－13）+（14－15）+（16－17）+…+（12n－12n+1） ．

剖析：显然放缩后的分式无法裂项求和，“放缩法”又以失败而告终.数列知识与不等式知识相融合，是高考中一种常见的题型，整体放缩法是解决这类问题的有效手段. 但在整体放缩过程中，又会常常出现放缩不当的情况，此时必须反思解题过程，按解题目标重新确定新的放缩方案. 反思.的过程就是不断调整思维方向、深化思维层次、提高思维水平的过程．

正解：an=1（2n+1）2=14n2+4n+1<14n2+4n=14（1n－1n+1）．

于是，Sn=a1+a2+a3+…+an<141-12+12-13

+13-14+…+1n-1n+1

=14（1－1n+1）<14.

训练5： 已知正项数列an满足：S100为an的前100项的和，则下列结论中正确的是（）

A.76

C.54

易错点： 忽视对递推式1an+1-1an=1an（1an+1+1an）放缩不当致错．

解析：1an+1-1an=1an（1an+1+1an）就是1an+1-1an=1an≥1an，

即an+1an≤12，ana1≤（12）n-1，an≤（14）n-1.

于是，S100≤（14）0+（14）1+（14）2+…+（14）99=43-43·（14）100<43.

又1a2-1a1=1a1（1a2+1a1），解得a2=14.

因此，a1+a2=54，S100>54.故选C．

易错点6. 忽视对数列项数的奇偶讨论

例6.在数列an中，a1=1，且anan+1=nn+2 （n∈N*）.求an的通项公式．

错解： 在递推式中，令n为n+1，得到an+1an+2=n+1n+3 .

与原递推式相除，得an+2an=（n+1）（n+2）n（n+3）．

在anan+1=nn+2 中，令n=1，则a1a2=13 ，a2=13.

因此，

an=anan-2·an-2an-4·an-4an-6…·a6a4·a4a2·a2=（n-1）n（n-2）（n+1）·（n-3）（n-2）（n-4）（n-1）·（n-5）（n-4）（n-6）（n-3）…·3×42×5a2=n2n+2，n=2也适合上式．

故an=n2n+2，n∈N*.

剖析：本题中的递推式an+2an=（n+1）（n+2）n（n+3）不是邻项之比，利用累乘法时必须对项数n分奇偶讨论．

正解：当n为偶数（n≥4）时，an=n2n+2，n∈N*.

当n为奇数（n≥3）时，

an=anan-2·an-2an-4·an-4an-6…·a5a3·a3a1·a1=（n-1）n（n-2）（n+1）·（n-3）（n-2）（n-4）（n-1）·（n-5）（n-4）（n-6）（n-3）…·2×31×4a1=2nn+1.n=1也适合上式.

故an=2nn+1，n为奇数

n2n+2. n为偶数

训练6： 已知数列｛an｝满足：a1=1且an+an+1=2n+1（n∈N*）．

（1）证明：数列an2n-23是等比数列，并求｛an｝的通项公式；

（2）设Tn=1a1+1a2+1a3+…+1an，证明：Tn<74（n∈N*）．

易错点： 易忽视对和式Tn中项数n的奇偶讨论．

解析：（1）an+an+1=2n+1就是an+12n+1=-12·an2n+1，

即an+12n+1-23=-12·（an2n-23），

所以数列an2n-23是以a12-23=-16为首项，公比为-12的等比数列．

于是，an2n-23=-16×（-12）n-1，an=2n+1+（-1）n3，n∈N*.

（2）当n为奇数（n≥3）时，

1an-1+1an=3（12n+1+12n+1-1）=3·2n+1+2n（2n+1）（2n+1-1）=3·2n+1+2n2n·2n+1+2n-1<3·2n+1+2n2n·2n+1=3·（12n+12n+1），

因此，Tn=1a1+1a2+1a3+…+1an<1+3（123+124+125+126+…+12n+12n+1）

=1+3·（14-12n+1）=74-32n+1<74.

当n为偶数（n≥2）时，Tn

故Tn<74（n∈N*）.

易錯点7. 忽视数列项的符号随意去掉绝对值

例7.设等比数列｛an｝的前项和为， a1=1，S3=13.

（1）求通项公式；（2）若｛an｝是递增数列，求数列｛ ｜an-n-2｜ ｝的前项和.

错解： （1）易得an=3n-1，n∈N*，或an=（-4）n-1，n∈N*.

（2）取an=3n-1，n∈N*，则｛ ｜an-n-2｜ ｝的前项和为：

Tn=（a1+a2+a3+…+an）-（3+4+5+…+n+2）

=1-3n1-3-n（n+5）2=3n-n2-5n-12.

剖析：本题错在忽视考察an-n-2值的正负， 随意去掉绝对值求和致错.在遇到绝对值求和问题时，要特别注意绝对值里面数的正负，否则极易出错．

正解：（2）由（1）知，an=3n-1，n∈N*.

令bn=an-n-2=3n-1-n-2．

由3n-1-n-2≥0知，3n-1≥n+2，所以n≥3.

由3n-1-n-2<0知，n≤2，即n=1， 2.

设数列｛ ｜an-n-2｜ ｝的前项和为Tn=b1+b2+b3+…+bn．

当n=1时，T1=b1=2；当n=2时，T2=b1+b2=3；

当n≥3时，Tn=3+9（1-3n-2）1-3-（n-2）（n+7）2=3n-n2-5n+112．

故Tn=2，n=1

3n-n2-5n+112. n≥2

训练7：记数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+1.设bn=an+1-2an．

（1）证明：数列bn为等比数列；

（2）设cn=|bn-100|，Tn为数列cn的前n项和，求T10．

易错点：易忽视对bn-100的正负讨论．

解析：（1）由Sn+1=4an+1得Sn=4an-1+1（n≥2，n∈N），

两式相减得：

an+1=4（an-an-1）（n≥2），即an+1-2an=2（an-2an-1），

于是bnbn-1=an+1-2anan-2an-1=2（an-2an-1）an-2an-1=2（n≥2）．

故数列bn是首项b1=a2-2a1=4-2=2，公比为2的等比数列.

（2）由S2=a1+a2=4a1+1，∴a2=4，∴b1=2，bn=2·2n-1=2n，

cn=|2n-100|=100-2n，n≤6

2n-100，n>6

∴T10=600-（21+22+...+26）+27+28+29+210-400

=200-2（1-26）1-2+27+28+29+210=200+2+28+29+210=1994．

责任编辑徐国坚