不定方程13x2-11y2=2和48y2-13z2=35的公解
2024-03-07朱文娜牟全武
朱文娜,牟全武
(西安工程大学理学院, 陕西 西安 710048)
0 引言
不定方程是数论研究的重要对象,为了研究实二次域的Gauss类数问题,人们需要求解一类特殊的二次不定方程—Pell方程。自20世纪40年代至今,关于两个Pell方程的公解问题已有大量研究(如文献[1-7]),这使得一些特殊的二元四次不定方程得到完全解决。从研究方法上看,除了综合运用递推序列及二次剩余等初等方法[8-9],还可以借助Gel’fond-Baker方法及Diophantus逼近等高等方法[10-11]。
设a1,a2,a3为正整数,且满足任意两数之积与1的和为完全平方数。关于不定方程组
(1)
的求解引起不少人的兴趣。1969年,Baker和Davenport[2]证明了当(a1,a2,a3)=(1,3,8)时,不定方程组(1)仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,1),(11,19,31);1997年,陈志云[12]给出了当(a1,a2,a3)=(7,9,32)时不定方程组(1)的正整数解的上界;2008年,郑兆顺[13]给出了当(a1,a2,a3)=(9,11,40)时不定方程组(1)的正整数解的上界;2022年,李杨[14]给出了当(a1,a2,a3)=(8,10,36)时不定方程组(1)的正整数解的上界。2011年,贺腊荣[15]证明了当(a1,a2,a3)=(11,13,48)时不定方程组(1)的正整数解满足x<0.92×2418393,y<2418393,z<1.92×2418393。本研究的目的是改进文献[15]中的结果,利用Gel’fond-Baker方法及Diophantus逼近方法,我们证明了
定理1不定方程组
(2)
的全部解为(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1 151)。
1 预备工作
x2-Dy2=M
(3)
x2-Dy2=1
(4)
x1x2-Dy1y2≡0(mod|M|),x1y2-x2y1≡0(mod|M|)．
且方程(3)的属于结合类K的全部解可由
表出。
方程组(2)可化为
将13x与13z分别视作x,z,则只需求解方程组
(5)
(6)
(7)
或
(8)
由以上分析,只需要分别考虑式(6)和式(7)同时成立或者式(6)和式(8)同时成立这两种情形。当m=0时,由式(6)得(x,y)=(13,1),代入方程组(5),得到(5)的一组正整数解(x,y,z)=(13,1,13);当m=1时,由式(6)得(x,y)=(299,25),代入方程组(5),无解;当m=2时,由式(6)得(x,y)=(7 163,599),代入方程组(5),得到式(5)的一组正整数解(x,y,z)=(7 163,599,14 963)。故当0≤m≤2时得到方程组(2)的两组正整数解(x,y,z)=(1,1,1),(551,599,1 151)。下文中将证明m≥3时,式(6)和式(7)不能同时成立,式(6)和式(8)亦不能同时成立,故此种情形下方程组(2)无解。我们采用反证法,仅对式(6)和式(7)同时成立的情形进行详细讨论,对式(6)和式(8)同时成立情形的讨论是完全类似的,故略去。
2 Gel’fond-Baker方法的应用
注意m≥3,n∈。为叙述方便,令
经计算知P>28 700,Q>1。根据式(6)及式(7)得
故P>Q且
(9)
由式(9)推出
即
(10)
用下述引理3证明若式(10)成立,则必有m<1027。
这里d=[(α1,α2,…αk):
引理3的证明见文献[17]第20页。
令
(11)
(12)
(13)
(14)
显然d=[(α1,α2,α3):]=[]=4。
容易验证代数数α1,α2,α3所满足的极小多项式分别是
这给出A1=24,A2=50,A3=813 120。又由式(13)得B=max{m,n,1}=m。根据引理3推出
-ln|Λ|<19210ln(24)ln(50)ln(813120)ln(m)
(15)
由式(14)及式(15)知
但当m≥1027时此不等式不成立,故必有m<1027。
3 Diophantus逼近方法的应用
(16)
则不存在整数m,n同时满足
(17)
|mθ-n+β| (18) 引理4的证明见文献[2]第133～134页。 令 这里α1,α2,α3由式(11)给出。由式(12)得 |mθ-n+β|<0.1C-m (19) 设 θ0=0.812 019 300 234 695 763 189 497 317 209 119 603 268 924 900 197 531 476 104 505, 取p/q为θ0的渐近分数,q≤1031且q最接近1031。根据Dirichlet逼近定理得|qθ0-p|≤10-31。经计算知 注意 根据引理4,当26≤m<1027时式(19)不成立。故只需考虑3≤m≤25的情形。 θ有连分数的渐近分数序列 取q=117,p=95,φ=qθ-p。经计算知 |φ|=0.006 258 13…,‖qβ‖=0.475… (20) 由式(19)得 |m(p+φ)-qn+qβ|<0.1qC-3<0.002. 故当3≤m≤25时,有 ‖qβ‖=‖m(p+φ)-qn+qβ-mφ‖ ≤‖m(p+φ)-qn+qβ‖+m‖φ‖ =|m(p+φ)-qn+qβ|+m|φ| <0.002+25×0.007 =0.177, 这与式(20)矛盾。 综上讨论,m≥3时式(6)和式(7)不能同时成立,同理可证式(6)和式(8)也不能同时成立,故定理1得证。
