多品种电力市场交易下负荷聚合商投标策略及市场均衡分析

2024-03-06贺焕然伏凌霄王雁凌

电力系统自动化 2024年4期

王鹏，贺焕然，伏凌霄，王雁凌，戴尧

（1.华北电力大学电气与电子工程学院,北京市 102206；2.内蒙古电力营销服务公司,内蒙古自治区呼和浩特市 010010）

0 引言

近年来,中国新能源装机比例的不断提高使得仅靠电源侧调节能力难以满足新能源消纳和电力安全稳定的供应要求［1］。随着新型电力系统的不断建设,电网与负荷双向交互越发频繁,负荷聚合商（load aggregator,LA）作为独立系统运营商（independent system operator,ISO）和海量用户的媒介机构,可实现对用户侧资源的灵活调控,从而缓解短时电力供需矛盾,促进可再生能源消纳［2-4］。未来,更多的负荷聚合商将参与到常态化、规模化的电力市场交易中,打破原先由发电侧、电网侧占主导的传统市场交易局面,电力市场均衡将发生显著变化［5］。

目前,国内外主要以发电侧主体作为市场决策者开展市场均衡相关研究［6-11］。由于负荷侧资源具有海量、多元、分散等特点,建模分析较发电侧更加复杂,因此,针对负荷侧主体的研究大都侧重于优化单个市场决策者的投标策略。文献［12-13］考虑可控负荷响应不确定性影响,提出负荷聚合商风险规避优化报价策略。文献［14］基于主从博弈关系,构建考虑用户调控偏好和负荷聚合商市场收益的聚合商最优定价策略。文献［15］提出一种面向日前市场和实时市场的负荷聚合商随机决策模型,并评估了实施负荷削减合约对聚合商决策过程的影响。文献［16］考虑负荷聚合商与电网和系统运营商之间的互动关系及交易模式,基于变频空调和电动汽车运行特性制定负荷调节策略。上述研究表明,负荷聚合商参与电能量市场交易可有效调整供需关系,降低负荷峰值。然而,上述研究并未考虑实际市场交易中多决策主体之间的博弈竞争关系,可能导致优化结果过于乐观。

此外,通过整合辖区可控负荷,负荷聚合商可以在备用等辅助服务市场中出售灵活调节资源,文献［17-20］分析了聚合商作为灵活性资源提供者在备用市场的投标行为。文献［17］引入条件概率约束,提出了负荷聚合商在备用市场的高可用性投标组合策略。文献［18］提出了风力发电商通过与负荷聚合商进行点对点备用容量交易,从而抵消风电偏差的随机决策模型。文献［19］引入负荷聚合商通过辖区负荷向系统提供运行备用的分层结构,并基于猜想供给函数构建了多主体负荷聚合商的博弈竞价模型。文献［20］构建了负荷聚合商参与需求响应柔性市场投标的非合作博弈动态系统,并分析其动力学投标特性。上述研究中,聚合商可同时参与电能量市场和备用市场的交易,但由于涉及多个市场耦合出清,上述文献聚焦于讨论聚合商的报价策略,未针对辖区各类可控负荷研究具体的调度策略。

基于此,为进一步探究多主体负荷聚合商在各电力市场的报价策略及调度策略,确保负荷聚合商的灵活调节能力能够得到充分利用,本文提出了多品种电力市场交易下负荷聚合商投标策略及市场均衡分析模型。首先,构建了能量-备用联合市场运营框架,其中,聚合商可同时作为电量购买者和备用提供者在市场中进行灵活交易,并提出对应的双层投标优化模型。其次,采用KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件及强对偶理论,将双层模型转化为带均衡约束的数学规划（mathematical program with equilibrium constraints,MPEC）模型,并通过强平稳算法（strong stationary method,SSM）将多主体MPEC 模型转化为带均衡约束的均衡问题（equilibrium problem with equilibrium constraints,EPEC）模型,从而求解电力市场均衡问题。算例表明,本模型在实现各市场决策者及ISO 经济最优的同时,可充分调用负荷侧可控资源为系统提供灵活调节能力。

1 能量-备用市场简介

1.1 能量-备用市场组成

本文所构建的能量-备用市场是以集中竞价交易为主的日前市场,市场主体包括风电机组、火电机组、售电公司以及负荷聚合商,其结构如图1 所示。

图1 能量-备用市场结构Fig.1 Structure of energy-reserve market

1.2 能量-备用市场交易机制

1.2.1 能量市场

在电能量市场中,各市场主体均采用“报量报价”的形式申报意愿成交容量和价格,并且可分多段申报以降低电量不成交的风险。ISO 收到各市场主体的申报信息后与备用市场统一出清,最后采用节点电价进行市场结算。在市场交易过程中,针对各市场主体做如下假设:

1）一方面,由于受新能源消纳、发电出力调节限制等因素的影响,风电机组和火电机组的市场投标灵活性受到一定程度的约束；另一方面,伴随发电侧市场监管技术深化,各发电主体之间市场竞争更加充分,难有明显的市场操纵行为。此外,为减小模型复杂度、聚焦分析负荷聚合商市场行为,本文假设发电商仅作为非决策者,根据自身边际效益或边际成本历史数据生成较为固定的投标信息。

2）售电公司下辖的不可控负荷满足正态分布,其市场投标行为具有较强的不确定性和非策略性。因此,在采用蒙特卡洛算法进行投标场景生成后,可通过K均值算法进行聚类缩减［2］,从而有助于市场决策者综合考虑各典型场景制定其最优报价策略。

3）负荷聚合商作为可控负荷参与市场交易的媒介机构,通过优化自身报价策略及调度策略在电能量市场购买电能,并出售给辖区负荷以获取相应的经济收益,为参与备用市场储备灵活调节空间。

1.2.2 备用市场

在备用市场中,ISO 将在日前市场面向火电机组和负荷聚合商购买系统备用容量。为提高各主体投标灵活性,备用市场将根据调节方向不同分为上调备用和下调备用两类交易品种。为降低模型复杂度,聚合商在备用市场中采用单段“报量报价”的方式进行市场申报,并协调包括可转移、可削减以及直控型柔性负荷资源响应市场中标要求。备用市场采用统一边际电价进行结算。t时刻系统所需的上调备用需求和下调备用需求函数如下所示［21］:

需要说明的是,由于发电侧和负荷侧提供系统备用的方式不同,本文以火电机组为参考规定备用调节方向,即负荷聚合商通过预留负荷下调空间参与上调备用市场,通过预留负荷上调空间参与下调备用市场。

2 市场均衡博弈架构

电力市场均衡本质上是市场各主体相互博弈竞争的结果。在一个良性竞争的市场中,各主体经过多轮报价后,当所有决策者都不愿意更新报价时,即达到了市场纳什均衡。通过求解市场均衡问题,不仅可以为市场决策者提供最优投标策略,还能帮助运营商进行经济调度并监督优化市场规则政策。

为求解市场均衡问题,通过双层优化模型来表示负荷聚合商在能量-备用市场的投标问题。上层模型中,各聚合商以能量市场购售电收益和备用市场调节利润之和最大化为目标函数,通过优化在能量市场的各段报价以及上调/下调备用单段报价报量来改变其中标量及出清电价。下层模型中,ISO则以社会福利最大化为目标进行市场出清,出清结果为市场各主体中标量以及市场出清电价。当聚合商改变投标策略时,将影响下层市场出清结果；而下层市场出清结果则决定了各主体的市场利润。

在此基础上,通过KKT 条件和强对偶定理将双层优化模型中的下层市场出清模型转化为对应的最优性条件,实现由双层优化模型到单层MPEC 模型的转化。考虑到多决策者市场博弈过程中可能没有纯策略性的纳什均衡,故引入纳什均衡稳态点的概念,通过SSM 将每个MPEC 模型转化为对应的最优性条件。最终,将各MPEC 模型的最优性条件集汇总形成EPEC 模型,进而求解满足所有决策者利润之和最大化的最优稳态策略解［22］。聚合商参与能量-备用市场的均衡博弈架构如图2 所示。

图2 市场均衡问题博弈模型框架Fig.2 Game model architecture for market equilibrium problem

3 市场均衡模型

3.1 聚合商双层优化模型

3.1.1 上层模型

1）目标函数

负荷聚合商通过聚合辖区内可控负荷参与能量-备用电力市场。上层模型的目标函数为聚合商考虑非策略主体投标不确定性下,电能量市场购售电收益与备用市场调节利润之和最大化,即

式中:Fj为聚合商j的总利润；I、I、I、C分别为场景ω下t时刻聚合商j的电能量市场利润、上调备用市场利润、下调备用市场利润以及备用响应缺额惩罚；ΓW为售电公司投标场景集合；πω为场景ω出现的概率；Ωj为负荷聚合商j下辖可控负荷集合；k,t,ω为场景ω下t时刻可控负荷l第k段中标量；λm,t,ω为场景ω下t时刻节点m边际电价；和为聚合商j面向辖区负荷的售电定价策略,采用二次函数的形式表示；λ和λ分别为场景ω下t时刻全网上调和下调备用市场出清电价；α和α分别为可控负荷l在上调和下调备用市场的二次调节成本系数；R和R分别为场景ω下t时刻可控负荷l上调和下调备用中标量；p和p分别为场景ω下t时刻可控负荷l上调和下调备用可用性概率；λP为聚合商备用响应容量缺额对应的惩罚系数,设为50美元/(MW∙h)。

2）约束条件

（1）电能量市场分段报价约束:

式中:λ为t时刻可控负荷l第k段投标价格；λL,max和λL,min分别为可控负荷电能量市场报价上限和下限。

（2）备用市场报价约束:

式中:λ和λ分别为t时刻可控负荷l上调和下调备用投标价格；λRU,max和λRD,max分别为可控负荷在上调和下调备用市场的报价上限。

（3）备用市场报量约束:

式中:Rmax和Rmax分别为t时刻可控负荷l在上调和下调备用市场的申报容量；υ和υ为二进制变量,分别表示t时刻可控负荷l在上调和下调备用市场的投标状态；,max为可控负荷l的最大备用容量。

聚合商下辖负荷的不同调节特性将导致备用市场报量约束具有较大差异。针对可转移负荷,为有助于制定负荷转移计划,假定各负荷在单个时间段只能参加上调或下调备用市场,且保证一个周期内上调备用和下调备用的中标总量相等。

针对可削减负荷,聚合商可与其签订若干削减合同,从而通过在负荷侧降低在线负荷提供系统上调备用。

针对直控型负荷,由于此类负荷具备聚合商直接控制条件和自动功率控制的能力、灵活性强,可同时参与上调/下调备用市场。

（4）可控负荷备用可用性。实际上,由于可控负荷受生产、生活等因素的影响较大,在响应备用市场中标方面具有不确定性。考虑到市场预期收益能在一定程度上提高可控负荷参与市场的积极性,增加可控负荷被调用成功的概率,故本文在不增加目标函数非线性的同时,提出基于备用市场出清电价以及可控负荷平均调节成本的可控负荷备用可用性表达式。

式中:为可控负荷l在备用市场被调用成功的基础概率；βpl为可控负荷l的备用市场预期收益激励系数。

3.1.2 下层模型

1）目标函数

在下层模型中,ISO 整合所有市场主体的投标信息,考虑系统运行约束,以社会福利最大化为目标函数进行经济调度,即

式中:λ为机组g的第b段报价；λ,t,ω为场景ω下t时刻售电公司d的第q段报价；λ和λ分别为机组g第b段的上调和下调备用报价；PgG,b,t,ω为场景ω下t时刻机组g第b段中标量；R和R分别为场景ω下t时刻机组g第b段上调和下调备用中标量；P为场景ω下t时刻售电公司d第q段电能量中标量。

2）约束条件

（1）节点功率平衡约束:

式中:Φm为与节点m相关联的节点集合；为与节点m相关联的可控负荷集合；为与节点m相关联的不可控负荷集合；为与节点m相关联的机组集合；δm,t,ω和δn,t,ω分别为场景ω下t时刻节点m和节点n的功角；Bmn为节点m到节点n的线路电纳；λm,t,ω为对应约束的对偶变量。

（2）备用容量平衡约束:

（3）中标量约束:

式中:Pax为机组g第b段中标量上限；P为场景ω下售电公司d第q段中标量上限；Pax为可控负荷l第k段中标量上限；Rax和Rax分别为机组g第b段的上调/下调备用中标量上限；每个约束右侧[·]内为其对应的对偶变量。

（4）容量耦合约束:

式中:P和P分别为机组g的最大和最小发电容量；P为可控负荷l的最大负荷容量。

（5）网络拓扑约束:

式中:C为节点m到n的线路传输功率极限；δmax和δmin分别为节点功角上、下限；λ为对应的对偶变量。

3.2 MPEC 模型

上层聚合商决策模型（式（3）—式（15））和下层ISO 出清模型（式（16）—式（33））构成了双层优化模型（式（34））。

式中:x为上层模型决策变量；y为下层模型决策变量；μ和λ为下层约束对偶变量,且λ为出清电价；gj(xj,y)为上层模型的不等式约束；hj(xj,y)为上层模型的等式约束；Φ(x,y)为下层模型目标函数；G(x,y)为下层模型的不等式约束；H(x,y)为下层模型的等式约束。

当ISO 进行市场出清时,各市场主体的投标信息已知,下层模型是线性凸规划模型,且一定存在最优解。因此,下层模型满足强对偶定理,即原函数与对偶函数在最优点处值相等。由于强对偶定理公式与互补松弛条件等价,且相较于互补松弛条件,强对偶定理公式可避免后续求解EPEC 问题时对互补约束条件求导产生更多的非线性项［23］。因此,基于KKT 条件和对偶理论,双层优化模型可转化为MPEC 模型（式（35））,具体计算式详见附录A。

3.3 EPEC 模型

为寻求电力市场均衡,需同时对多个市场决策者的MPEC 模型进行求解,从而形成EPEC 模型。目前,EPEC 模型求解算法主要包括对角化算法（diagonalization method,DM）［24］和SSM［25-26］两类。考虑到SSM 具有直接的数学表达式和明确的经济含义,且相比于DM 更容易收敛至纳什均衡稳态解,故采用SSM 将EPEC 模型转化为等价的最优性条件进行求解。

对于市场决策者j,式（36）定义其MPEC 模型对应的拉格拉日函数为Lj,式（37）—式（44）构成了市场决策者j对应的EPEC 模型的SSM 表达式,具体表达式详见附录B。

3.4 EPEC 模型目标函数

上文得到了一系列最优性条件,其本质是市场均衡的可行域。需要在此基础上将目标函数添加到最优性条件集中,从而确定可行域中有意义的解。本文设置EPEC 模型中的目标函数为各聚合商在能量-备用市场的收益之和的最大化,即

式中:Is为所有负荷聚合商j的集合。

4 模型线性化方法

上述EPEC 模型中存在大量非线性项,为提高模型的求解效率,可采取一定的线性化方法解耦非线性项,将EPEC 模型由混合整数非线性规划转化为混合整数线性规划。

4.1 互补松弛条件中的非线性项

在使用KKT 条件将双层模型转化为MPEC 模型时,约束条件中引入了非线性的互补松弛条件。通过大M 法,可将类似于0 ≤μ⊥P≥0 的互补松弛条件线性化为:

式中:υ为二进制变量；M为无穷大的常数。

4.2 决策变量与对偶变量相乘产生的非线性项

形如ηω P、ηω R、ηω λ等由决策变量与对偶变量相乘产生的非线性项存在于式（37）中。由于ηω有一定的自由度,并且每个市场出清场景ω都对应着一个参数,故对偶变量ηω对模型结果影响较小,可通过参数化方法将其转化为线性项。

4.3 两个决策变量相乘产生的非线性项

4.3.1 约束条件中的非线性项

4.3.2 目标函数中的非线性项

此时的式（47）仍含非线性项,可采用二进制展开法［27］进一步线性化。针对,由于此前可控负荷l已采取分段递减报价的方式进行市场申报,且各段中标上限恒定,故可结合式（48）— 式（52）将其等效为和；对于非线性项,将为间隔离散为i个数值,结合式（53）—式（56）将等效为

式中:P,t,ω和Pt,ω,i为功率参考值；ψ,t,ω和ψ,t,ω,i为二进制变量,表示与决策变量以及最近的参考值；为进行i等分后的单个离散值；分别为与对偶变量最接近的参考值。

5 算例分析

5.1 参数设置

算例中,电力网络采用6 节点系统,拓扑结构如图3 所示。网络中,W1、W2 和W3 为风电机组,G1和G2 为火电机组且最小出力为20 MW。各机组在电能量市场的申报信息见附录D 表D1。在备用市场中,G1 和G2 分三段进行申报,每段申报容量为20 MW,投标价格信息见附录D 表D2。

图3 6 节点系统拓扑结构Fig.3 Topology of six-bus system

此外,系统中共有6 个负荷侧市场主体。售电公司D1、D2 和D3 投标策略通过蒙特卡洛算法分别生成100 个三段式场景,然后,通过K均值算法缩减为6 类典型场景,各场景报价曲线及概率分布见附录D 图D1。负荷聚合商L1、L2 和L3 整合辖区负荷资源在能量-备用市场进行灵活交易,各聚合商负荷组成面向辖区负荷的售电定价策略,负荷聚合商参数如附录D 表D3 所示。假设聚合商下辖各类可控负荷参数相同,参数信息详见附录D 表D4。

算例求解平台为MATLAB,调用求解器CPLEX,算例仿真分为单时段与多时段两部分。在进行单时段算例分析时,系统上调/下调备用需求系数均为3；在进行多时段算例分析时,系统各时段上调/下调备用需求系数如附录D 图D2 所示。

5.2 电能量市场报价策略及市场均衡分析

考虑到负荷聚合商在联合市场中需通过购买基线负荷以满足基本用电需求及储备灵活调节能力,本节分别采用边际成本约束（marginal constraints,MC）模型、MPEC 模型以及EPEC 模型来具体分析单个时段聚合商在电能量市场的报价策略。其中,MC 模型指完全竞争市场环境下,各聚合商均不参与主动决策,仅按自身各段边际报价；MPEC 模型指仅存在一个市场决策者L3,其余市场主体均为非决策者,按边际价格报价；EPEC 模型指联合市场中L1、L2、L3 均为市场决策者,且三者投标策略相互影响。各模型对应聚合商电能量市场投标信息见附录E 图E1。由于市场决策者各段投标策略与售电公司各典型投标场景相对应,本文以场景4 为例开展具体分析,其结论同样适用于其他场景。在场景4 下,各聚合商节点电价如表1 所示,中标结果如图4所示,各节点市场出清情况如附录E 图E2 所示。

图4 能量市场负荷聚合商中标结果Fig.4 Bidding results of LAs in energy market

在MC 模型中,联合市场为完全竞争市场,聚合商无法参与市场决策。各聚合商按照分段边际电价进行市场投标。此时,节点2 侧L1 为边际主体,边际电价为59.70 美元/（MW∙h）；节点5 侧边际电价为L2 投标电价53.60 美元/（MW∙h）；节点6 侧边际电价为D3 投标电价60.23 美元/（MW∙h）。

在MPEC 模型中,L3 作为唯一市场决策者进行策略优化,考虑售电公司6 类典型投标场景生成对应六段式报价曲线。与MC 模型相比,MPEC 模型中L3 市场平均报价提高了3.24 美元/（MW∙h）。在保持节点出清电价不变的前提下,L3 采用高于自身边际收益进行购电报价的方式提高中标量12.58 MW·h。然而,该市场行为存在价格欺诈,扰乱了电力市场运营环境,给非决策主体带来了恶性经济损失,在实际电力市场运营中应尽量避免。

在EPEC 模型中,所有聚合商都将作为决策者生成包含“低价废标”在内的七段式报价曲线,从而实现各典型场景下的博弈均衡。此时,各聚合商均主动下调报价曲线,聚合商侧节点电价为三类模型中最低。与MC 模型相比,L3 通过经济持留的方式降低了6.88 MW ∙h 的中标容量,并成为节点6 的边际主体。此时,L3 将压低节点电价至58.73 美元/（MW∙h）,低于边际收益61.89美元/（MW∙h）。在节点2中,L1将参考D1 投标策略,在保持中标容量不变的前提下,降低报价使得节点电价下降至D1 的第2 段电价58.12 美元/（MW∙h）。此时,L1 边际收益高于节点电价1.83 美元/（MW∙h）。在节点5 中,L2 受L1和L3 决策的影响,通过调整报价提高7.01 MW∙h 购电中标量,此时L3 边际收益恰好等于节点电价。

相较于MPEC 模型,EPEC 模型考虑了各聚合商之间的动态博弈过程,从而削弱了L3 在市场中的决策优势,使得模型更加符合实际市场规则。此外,由于EPEC 模型中结算电价以及中标电量均在市场博弈中产生,各聚合商在通过降低市场报价、调整购电容量等方式实现利益最大化的同时,也将发挥优化系统负荷曲线等作用。

5.3 备用市场投标策略及市场均衡分析

本节将分析系统上调/下调备用需求变化时,负荷聚合商在备用市场的报价策略。图5 所示为备用日前市场各时段市场出清情况。

图5 备用市场出清结果Fig.5 Clearing results for reserve market

当系统整体备用需求较低时,备用市场出清电价随火电机组中标容量阶梯变化。例如,01:00—03:00 时段,上调备用市场G1 和G2 仅第1 段申报容量中标。此时,市场出清电价为G2 的第2 段备用电价33.27 美元/（MW∙h）。这是因为当市场出清电价过低时,可控负荷响应市场的积极性不高,导致聚合商可能因无法有效履行备用中标要求而面临高额的惩罚。因此,为尽可能抬高市场价格,各聚合商作为市场决策者在与火电机组的博弈中将放弃部分市场份额,形成价格联盟,利用火电机组分段报价的价格差联合提高自身报价至火电机组下一段未出清报价,从而提高可控负荷的备用可调用性,实现整体收益最大化。

随着系统备用需求的不断增加,在11:00—14:00 时段,当发挥备用支撑作用的火电机组因备用中标容量全部投入市场而退出竞争时,备用市场将成为聚合商占主导的多寡头竞争市场。此时,聚合商不再依据火电机组的报价进行决策。作为市场价格决定者,各聚合商将利用市场力大幅提高申报电价,但同时聚合商之间的非合作博弈关系也会在一定程度上限制出清电价,使其维持在一个市场均衡稳态点。

5.4 负荷聚合商调度策略分析

在上述能量-备用市场报价策略分析的基础上,本节将进一步分析负荷聚合商辖区负荷调度策略。图6 给出了各时段聚合商负荷功率曲线以及各类可控负荷备用响应容量。

图6 聚合商能量-备用市场负荷调度策略Fig.6 Load dispatching strategy of LA in energy-reserve market

在电能量市场与备用市场联合决策方面,考虑到00:00—06:00 和19:00—24:00 等需求较低时段,系统备用电量的主要来源是火电机组,负荷聚合商仅承担少部分备用容量。此时,聚合商主要考虑的是电能量市场的购售电利润,聚合商的基线负荷基本保持不变。随着系统备用需求的增加,备用市场出清结果将对电能量市场决策产生更大的影响。例如,在11:00—14:00 时段,聚合商在电能量市场的投标决策开始随系统备用需求特别是下调备用需求而调整。这主要是因为聚合商下辖的可削减负荷仅具备上调备用灵活性,聚合商下调备用资源更加稀缺,当聚合商在下调备用市场的边际收益高于电能量市场的边际收益时,聚合商将通过下调基线负荷的方式为可控负荷在下调备用市场置换更多的负荷上调空间。

在各类柔性负荷资源协同调度方面,由于仅有可转移负荷与直控型负荷能够响应下调备用市场,且可转移负荷调节成本较低,故原则上各聚合商将优先安排可转移负荷参与下调备用响应。同理,原则上在上调备用市场中,可削减负荷也将因调节成本最低而优先调用。然而,考虑到在一个周期内可转移负荷上调与下调备用响应容量必须相等,安排过多的可转移负荷响应下调备用市场会挤压可削减负荷在上调备用市场的响应容量。基于此,为减小备用调节总成本,同时激励不同调节成本可控负荷参与中标响应,提高灵活资源整体可调用性,聚合商将结合自身可控负荷组成以及市场出清电价变化开展调度计划。具体包括:

1）在上调备用市场中,安排可转移负荷在09:00—15:00 等市场出清电价较高时段为系统提供上调备用,可削减负荷则主要在00:00—05:00、18:00—24:00 等市场出清电价较低时段以及11:00—14:00等需求尖峰时段参与中标响应；

2）在下调备用市场中,安排可转移负荷在00:00—06:00、18:00—24:00 等市场出清电价较低时段以及12:00—14:00 等需求尖峰时段响应聚合商中标要求,直控型负荷则主要在08:00—15:00 等市场出清电价较高时段提供下调备用能力。

5.5 EPEC 模型求解算法对比

当前,EPEC 模型的难点在于模型求解难度大、难以收敛至合理的均衡点。基于此,本文采用SSM对EPEC 模型进行转换,并通过相应的线性化方法进行求解。为验证所提算法的有效性,本节定义纳什均衡度函数来反映所求市场均衡策略集的优劣性,相关介绍详见附录F。在此基础上,基于单时段的EPEC 模型分别采用DM、传统SSM 以及线性化SSM 三种算法进行求解,相关计算指标对比结果如表2 所示。

表2 EPEC 模型求解算法比较Table 2 Comparison of solving algorithms for EPEC model

对比分析可知,DM 对各个决策者依次求解MPEC 问题,并将结果作为下一个决策者优化的已知条件,通过多次迭代求解市场均衡。因此,在一个EPEC 模型中,MPEC 问题求解数目大、计算时间长,且容易收敛至局部最优解而导致市场均衡性较弱。SSM 将各MPEC 问题转化为对应最优性条件,通过将多主体问题统一求解,进而提高算法的收敛性。然而,采用SSM 后,模型具有很强的非线性,传统方法是通过粒子群算法等智能算法进行求解,但仍需多次求解MPEC 问题才能实现市场均衡。在此基础上,本文采用大M 法、二进制展开法将SSM由非线性问题转化为线性问题,大幅减少了MPEC问题的求解次数,在实现所求策略集合纳什均衡的前提下提高了模型的求解效率。