局部平均随机过程随机场采样定理

张 硕

(天津财经大学理工学院，天津 300222)

0 引言

自从1949 年信息论的创始人Shannon[1]正式提出采样定理以来，这一定理作为信号的基本分析工具在信号分析与处理中发挥了重要作用，可以说没有采样定理，就没有今天手机的普及和信息社会的文明。

关于采样定理的研究可以追溯到20 世纪初。1915 年，Whittaker[2]在研究插值理论时，利用辛格函数完成了对给定数据进行内插的问题，并给出了具有整函数性质的基数函数C(x)，也就是信号处理中经常提到的频谱有限函数。Whittaker 还证明这一基数函数C(x)不仅是f(x)的插值表达式，而且是f(x)的一般逼近表达式，从这一点讲，Whittaker 是数学领域采样定理研究的先驱[3]。1920 年，Ogura[4]指出了Whittaker 定理中存在的问题并对采样定理进行了清晰描述，遗憾的是，Ogura 在采样方面的工作在很长时间内都没有得到认可，直到1992 年他的基本定理才引起了数学界的关注[5]。Nyquist、Kotelnikov 和Shannon 也先后从不同角度对信号采样问题进行了深入研究，对该定理的发展和推广做出了很大贡献。因此，采样定理又被称为Whittaker-Kotelnikov-Shannon 采 样 定 理(以 下 简 称WKS 采 样 定 理)。实 际 上Whittaker 的 理 论与Shannon 的理论是采样定理在数学领域与信息处理领域的等价形式。

WKS 采样定理为利用频谱有限信号的离散采样值恢复原始信号提供了依据，建立了连续信号和离散信号之间的桥梁。尽管如此，WKS 采样定理在使用中仍存在一些缺陷和局限性。很多学者针对WKS 采样定理的局限性从不同角度开展了深入研究，其中不乏精彩的结论，进一步扩大了采样定理的应用范围。首先，WKS 采样定理要求采样间隔相等，这对采样仪器的精确度提出了更高的要求而且采样的数据也必须完整。因为无论是人工还是机器控制采样间隔都无法做到等间隔，在某些实际情况中不得不进行非均匀采样，而且如果在采样的时间段内信号频率变化很大，按照WKS 采样定理中进行均匀采样会造成数据冗余，在要求的时间段内进行非均匀采样可以减小数据冗余度，这在处理一些大数据图像时就非常重要。早在1953 年，Black[6]就提出了非均匀采样的思想，通过一些例子讨论了非均匀采样的应用，指出在信号重构过程中会存在误差。1956 年，Yen[7]详细研究了一些特殊的非均匀采样过程，推导出频谱有限信号的一些有趣性质，给出了四个广义采样定理，并引入了一类称为“最小能量”的信号，这类信号更适合包含有限个采样点的非均匀采样。随后的几十年，非均匀采样信号的重构问题，非均匀采样的域变换算法，非均匀采样的方式设计，非均匀采样的误差分析都成为研究的重要方向，详见参考文献[8]。

其次，WKS 采样定理要求信号频谱有限，这只是理想的数学模型，一个信号不可能同时时域有限又频域有限。因此，实际中处理的信号经常是非频谱有限的，这就促使人们考虑更大的函数空间，比如小波子空间、平移不变空间。1992 年，Walter[9–10]将采样定理推广到小波子空间，随后又建立了小波子空间的不规则采样。Walter 小波子空间采样定理是WKS 采样定理的推广，如果将Walter 小波子空间采样定理中的基函数s(t)换成辛格函数，即为WKS 采样定理。而s(t)并非一定是频谱有限函数，如果它是非频谱有限的，则Walter 小波子空间采样定理可以重构非频谱有限信号。1993 年，Xia 和Zhang[11]在小波空间中研究了基正交尺度函数的采样定理及小波变换。1996 年，Liu[12]在样条小波空间中建立了不规则采样定理。在文献[11]的研究基础上，孙文昌和周性伟[13–15]对小波子空间的采样问题进行了深入研究，得到了一系列有意义的结论，使得小波空间的采样定理有了进一步发展，并建立了向量小波空间上的采样定理，给出了小波子空间里采样定理的各种误差分析。随着小波理论的发展，采样定理这一课题再一次得到了发展，借助小波空间的自由度更高的特点，很多研究者提出了实用性更广泛的采样公式。

第三，WKS 采样定理要求获得无限多个离散采样点的精确值。一方面，实际采样中计算机只能进行有限次运算，只能使用有限个采样点的值重构原始信号，这样会产生截断误差。另一方面，由于仪器的精度和惯性，得到的只是采样点的局部平均值而非精确值。基于以上两点，学者们提出了局部采样和平均采样的概念。

第四，WKS 采样定理适用于确定性信号的重构，而自然界的信号大多是随机信号，而且依赖于多个变量，比如时间、位置等，有关随机信号和随机场采样的研究应运而生。早在1955 年，Yaglom 和Harkevich 在博士论文中研究了宽平稳过程采样问题。1957 年，Balakrishnan[16]证明了连续参数随机过程的采样定理并给出了精确重构公式，将采样定理推广到了复值宽平稳过程。

根据信号的类型从确定性信号转向对随机信号采样的研究，尤其是非平稳随机信号、随机场的采样定理是一个新的研究课题；根据函数空间的类型，研究者提出了条件更宽松的函数空间来重构原始信号，如小波空间、样条空间、平移不变空间、再生核空间等。根据采样点的取值，由精确采样转向局部平均采样。这些研究不是孤立进行的，如频谱有限信号的平均采样[17–19]，样条子空间中信号的平均采样[20–21]，平移不变空间中的平均采样[22–24]，再生核空间中的采样与重构[25–27]，混合勒贝格空间中信号的采样和重构问题[28–32]等都有有价值的结论提出，这对采样定理的发展和应用起到了非常大的推动作用。本文主要从随机信号与局部平均采样两方面系统介绍近几年在随机过程、高维随机过程、随机场、时空随机场局部平均采样定理方面的若干结论，以及时空随机场采样的未来研究方向。

1 经典随机过程采样定理

WKS 采样定理被正式介绍到工程领域后，为信号处理的有关理论奠定了基础，也成为具有历史意义的里程碑。同时，很多学者也注意到大自然中的大多数信号是随机的，没有确切的表达式。因此，关于随机过程的采样问题受到了关注，其中就包括前苏联数学家Kolmogorov。在WKS 采样理论中基本的模型是频谱有限函数，将其推广到随机信号时也是从频谱有限函数开始的。

1955 年，Kolmogorov 的博士生Yaglom 在他的博士论文中讨论了宽平稳随机过程采样的有关问题。1957 年，Balakrishnan[16]将采样定理推广到复值平稳随机过程，给出了复值平稳过程均方收敛的结果及证明。

定理1[16]若复值平稳过程{X(t),t ∈R}的谱密度函数f(λ) = 0(|λ|＞Ω)，即{X(t)}的自相关函数R(τ)在[−Ω,Ω]上频谱有限，则

即按均方收敛，简记为

Belyaev[33]也一直从事随机过程和采样定理方面的研究，1959 年，他研究了解析随机过程，给出了随机过程解析性的充分条件及高斯过程和平稳过程解析的充要条件。同时，也将采样定理从概率1 收敛的角度推广到复值随机过程。

定理2[33]若随机过程{X(t),t ∈R}的谱密度函数f(λ) = 0，当|λ|＞ Ω，即{X(t)}的自相关函数R(τ)在[−Ω,Ω]上频谱有限，则在几乎处处收敛意义下成立：

WKS 采样定理解决的是确定性频谱有限信号的恢复问题，而随机信号是实际中是常见的，通常用平稳过程作为随机过程采样定理的研究模型。以上定理说明对于[−Ω,Ω]上的频谱有限的平稳随机信号，可以由它的离散采样值恢复原始信号。若Ω ＞Ω，也可以做到几乎处处收敛。

与此同时，Lloyd[34]也从数学角度对宽平稳随机过程的采样问题进行了讨论。1962 年，Yaglom[35]在专著中介绍了频谱有限宽平稳随机过程的性质和有关结论。1965 年，Zakai[36]推广了频谱有限函数和随机过程的定义，并得出采样定理在此推广定义下仍然成立的结论。Butzer 和Splettst¨osser[37–42]是关于随机过程采样的研究中比较有代表性的学者，他们在进一步完善宽平稳过程采样定理的研究中做了出色的工作，在1978～1983 年发表了一系列宽平稳过程采样问题的文章。Pog´any[43–50]在采样定理方面著作颇丰，对频谱有限随机过程，高维随机过程等进行了深入研究，但都属于点采样。对在[−Ω,Ω]上频谱有限的随机信号，Splettst¨osser[39]在1981 年，利用指数型积分函数理论证明了频谱有限宽平稳随机过程的采样定理。

首先，假设Lp(R)是在R 上的可测函数空间，满足‖f‖p ＜+∞，其中的范数定义为

对于Ω ≥0 以及1≤p ≤∞，如果f ∈Lp(R)为整函数，且满足|f(x)|≤CeΩ|x|(C为常数)，则称f属于Bernstein 空间，记作f ∈BpΩ，表示限制在实数范围内Lp(R)的具有指数型参数为Ω的函数f的全体[51]。由Paley-Wiener 定理，一个平方可积函数f是在[−Ω,Ω]上频谱有限的，当且仅当f ∈B2Ω。

定理3[39]若宽平稳过程X(t)的自相关函数RX ∈BpΩ，其中1≤p ≤2,Ω ＞0，则成立

定理4[39]若宽平稳过程X(t)的自相关函数RX ∈BpΩ，其中1≤p ≤∞,Ω ＞0，且自相关函数RX对某个γ ＞0 满足

则宽平稳过程X(t)的Shannon 采样级数展开式(1)成立。

这是Splettst¨ossor 从函数空间的角度利用指数型积分函数理论严格证明了对于频谱有限宽平稳随机信号，如果其自相关函数满足一定条件时，可以由其离散采样值恢复。

尽管频谱有限是WKS 采样定理中的一个非常重要的条件，相关结果也有很多，然而这一条件在实际中总是很难得到满足，或者说准确的带宽是未知的。为此，我们通常使用宽平稳非频谱有限随机过程作为模型，Splettst¨osser 在之前研究的基础上又进一步给出了用采样级数展开式近似非频谱有限随机信号函数时产生的误差的估计和收敛速度。

若宽平稳过程X(t)的自相关函数RX ∈BpΩ(1≤p ≤∞)，则称X(t)是在[−Ω,Ω]上频谱有限的，记作X(t)∈L。

注意到任意自相关函数RX ∈BpΩ具有无穷阶导数，所以宽平稳过程X(t)属于下述Lipschitz 类

现实中的信号虽然大部分有随机性，但是频谱有限且时域有限的函数是不存在的。这一定理说明非频谱有限的随机信号可以由其离散采样值逼近。

2 随机过程局部平均采样定理

在WKS 采样理论中，都是通过采样点处精确的函数值恢复原始信号。在用测量工具采取样本值的过程中，测量工具本身会产生测量误差，实际中得到的采样值并不是f(t)在时间变量tk(k ∈Z)点的精确值，而是tk点附近的局部平均值。这种将取局部平均应用于采样定理的思想是Gr¨ochenig[52]在1992 年提出来的。具体地说，就是将f(t)在tk点的采样值取为

如果δ足够小，则局部平均值是f(tk)的非常好的近似。

Gr¨ochenig[52]基于局部平均建立了频谱有限的确定性连续信号不规则采样的新数学模型，证明了在一定条件下，频谱有限确定性连续函数f(t)可由〈f,uk〉唯一确定，并给出了迭代重构算法。

局部平均采样是采样定理发展过程中Gr¨ochenig 提出的非常有代表性的观点。这一算法给出了频谱有限确定性连续函数的恢复迭代，也为局部采样平均在随机信号中的应用和推广奠定了基础。

在Gr¨ochenig[52]、Butzer[53–54]、Spletts¨osser[39]、Sun 和Zhou[17–18,20,22,56]等学者的研究基础上，Song 等[19,57–60]研究了在[−Ω,Ω]上频谱有限的连续信号f(t)及随机过程X(t)的局部平均采样问题，并在2006 年优化了由Butzer 和Lei[54]于2000 年对确定性信号的研究结果。2007 年，Song 等人[57]给出了对称区间上频谱有限宽平稳随机过程的采样定理。

对于随机过程X(t)的采样问题，同样存在采样值并不是X(t)在时间变量tk(k=0,1,2,···)点的精确值的问题。类似处理确定性信号的方法，将tk点附近的局部平均积分值作为采样值，它是新的随机变量。X(tk)局部平均积分值定义为

对于采样处的函数值，无法获得精确值，用局部平均值代替。实际上，取得采样平均值的权函数支撑区间也很难做到完全对称，Song[58]将局部平均中权函数的支撑区间由对称改为非对称区间，系统研究了频谱有限和非频谱有限实值宽平稳过程的局部平均采样相关问题，将Spletts¨osser 关于宽平稳过程的采样推广到局部平均采样，其中权函数uk(t)满足下列性质

这一定理说明，对于频谱有限的宽平稳随机信号，实际中很难得到它的精确离散采样值，可由其采样点处的局部平均采样逼近，且误差可以控制在一定范围内。

但是，在实际中宽平稳过程频谱的精确界是未知的，在这种情况下就需要考虑非频谱有限宽平稳过程采样逼近。Song[59]在Spletts¨osser[39]于1981 年得到的非频谱有限宽平稳过程采样逼近的逼近阶的基础上，给出了非频谱有限宽平稳过程局部平均采样逼近的误差上界。

{uk(t)}是(4)式定义的实函数列。

显然，当Ω →∞可以用宽平稳过程局部平均采样逼近非频谱有限宽平稳过程。另外，在随机过程的局部平均采样逼近方面，得到了宽平稳随机信号局部平均采样的概率1 收敛的结果。

其中{uk(t)}是(4)式定义的实函数列。

如前所述，频谱有限这一条件在实际中是难以满足的，在寻求更一般的函数空间过程中，采样定理被推广到了样条子空间、小波子空间、平移不变子空间等。早期关于平移不变子空间的采样问题基本上都围绕均匀采样和确定性信号，后来更加关注非均匀采样和局部平均采样。2014 年，Xian 和Li[61]将随机过程与平移不变空间相结合，引入平移不变随机过程。它是经典频谱有限随机过程的一般情况，也是一种非频谱有限随机过程。得到了平移不变随机过程的两个采样定理，推广了频谱有限随机过程和平移不变空间的结果。

定义1[61]若宽平稳随机过程{X(t) :t ∈R}的自相关函数RX(τ)属于某个平移不变子空间，即

则称{X(t):t ∈R}为平移不变宽平稳过程。

定理11[61]令X(t)为平移不变随机过程，生成子ψ对于V2(ψ)是连续且稳定的，满足ψ(x)=O(1+|x|)−β,β ＞1，X:=(xj:j ∈Z)是V2(ψ)的采样集，则存在～K(xk,·)，使得

是均方收敛的。

WKS 采样定理局限于由sinc 函数的整平移生成的频谱有限空间，但是在实际应用中，很多信号不是频谱有限的，比如核磁共振成像，并且sinc 函数衰减速度比较慢。因此，WKS 采样定理在实际中很少被用到。现代数字信号处理要求空间的生成元选择在时域和频域同时有良好的局部性质，如果生成元在时域和频域上衰减且满足一定条件，信号仍然可以被唯一稳定恢复，这是更一般的平移不变空间上采样问题。

定理11 将文献[62]在平移不变空间中的结果推广到了平移不变随机过程的情况。Xian和Li[61]还证明了平移不变随机过程，也可以通过局部平均采样重构。

定理12[61]令X(t)为平移不变随机过程，生成子ψ对于V2(ψ)是连续且稳定的，假设

以上两个定理将文献[21,62–63]中平移不变子空间的结果推广到了平移不变随机过程，而且将文献[34,57–58,64–68]中关于频谱有限随机过程的结果推广到了平移不变随机过程，并在定理12 中给出了重构算子Sxj(t)的一个显式构造。

2016 年，Jiang 等[27]将频谱有限空间和平移不变空间的随机信号局部平均采样定理进一步推广到再生核空间。

定义2[27]令T为定义在Lpν(R)上的幂等积分算子，其中1≤p ≤∞，且T的核函数K′′满足

幂等积分算子T的值域V={Tf:f ∈Lpν(R)}={f ∈Lpν(R) :Tf=f}为Lpν(R)的再生核子空间，即对于任意的x ∈R，存在Cx ＞0，使得|f(x)≤Cx‖f‖Lpν|,∀f ∈V。当自相关函数RX(t)属于Lpν的再生核子空间V时，称随机过程X(t)为加权再生核随机过程。

定理13[27]令δ和a满足

设Γ ⊂R 是间隔为δ ＞0 的相对分离集，{ψγj:j ∈Z}为相应的平均采样泛函集。如果对某个η ＞0，加权再生核宽平稳随机过程X(t)的自相关函数RX(t)满足RX(t)≤RX(0)(1+|t|)−1−η，且对任意的s ∈R，有K′′(s −x,y)=K′′(x,s −y)成立，则可得

在压缩传感和超宽带通信等工程问题中，很多信号不具有平移不变结构，比如，在雷达领域中为了实现高空间分辨率和目标鉴别能力，雷达系统传输的是高瞬时频率的脉冲，雷达信号的带宽急速增大。传统雷达回波信号依赖于WKS 采样定理的采样和处理体系显得力不从心。选用更广泛的生成函数和对应采样核，才能精确重构该类信号。再生核空间的随机信号局部平均采样定理对更大空间信号的采样和恢复提供了理论支撑。

3 高维随机过程局部平均采样定理

在此基础上，得出了以下结果。

随着信息技术的发展，信号处理进入了大数据时代，其中许多信号属于高维信号，比如多媒体信号、地震信号、海浪信号等等，里面蕴含着很多有价值的信息，以上定理对这些信号的采样和重构问题起到了至关重要的作用。

4 齐次随机场局部平均采样定理

关于随机信号采样的研究已经取得了丰硕的成果，在实际中人们也注意到大多数随机信号并不仅是时间t的函数，还可能和其他变量有关，比如空间变量，也就是说大多数随机信号是多变量随机信号。流体力学中的湍流、海浪的雷达回波信号、水文学中的温度场、湿度场等，这些随机信号在应用中通常被称为随机场。早在1941 年，Kolmogorov[71]在研究湍流时提出了随机场的雏形。随后他的博士生Yaglom[72–74]对n维空间随机场进行了研究，建立了相关的谱理论。Vanmarcke 从20 世纪70 年代起开始研究随机场理论，1976 年，他将随机场理论引入岩土工程的可靠度分析中，建立了土性剖面的随机场模型并成为分析岩土工程可靠度的常用模型。1983 年，Vanmarcke[75]又提出了随机场的局部平均，并将其应用于土木工程。但是，他所考虑的局部平均属于对称平均，不具有一般性。关于多变量信号的采样定理，最早由Parzen[76]在1956 年引入，随后Miyakawa[77]、Petersen 和Middleton[78]在多变量信号的采样定理的研究方面都取得了一些结果。尤其是Spletts¨osser[42]在1982 年，给出了多变量确定性函数Shannon 采样定理的混淆误差。基于以上研究，Zhang 和Song[79–80]给出了局部平均齐次随机场采样定理及均方估计的误差上界，并讨论了齐次随机场局部平均采样的概率1 收敛问题，将宽平稳随机过程的局部平均推广至齐次随机场。

Lp(Rn)是Rn上的‖f‖p ＜+∞全体可测函数空间，其中

给定概率空间(W,A,P)，定义在Rn×W上的实值随机场X(t):=X(t,ω)是弱齐次的，当且仅当E[X(t,ω)2]＜∞,∀t ∈Rn，且自相关函数

对于t ∈Rn是独立的，即RX(t,t+τ) =RX(τ)，其中t= (t1,t2,···,tn),τ= (τ1,τ2,···,τn)，简称齐次随机场。

BnΩ,p是限制在Rn内Lp(Rn)的具有指数型参数为Ω的函数f(t)的全体。如果RX(τ)∈BnΩ,p, 1≤p ≤∞，则称齐次随机场X(t):=X(t,ω)在[−Ω,Ω]上是频谱有限的，即

注1 定理8 是此定理的特殊情形。

定理21[80]若齐次随机场X(t)的自相关函数RX(τ)∈BΩ,p, 1≤p ≤∞，且满足

随机场在土木工程中应用极为广泛，比如岩土工程结构可靠性的分析中，考虑不同地理位置的土体性质变化时，建立土性剖面的随机场模拟模型，通过采样计算土性的相关参数，在真实反映土性指标以及结构可靠性的分析中必不可少。

5 非平稳随机信号及采样定理

平稳随机信号在理论上得到了深入研究和发展，也广泛应用于雷达、通信、自动控制等诸多工程领域。关于非平稳随机信号的研究，长期以来受限于理论的发展，在应用中通常将它们简化为平稳随机信号处理，当然结果有时并不太令人满意。随着科学技术的发展和进步，对非平稳随机信号分析与处理的研究逐渐受到国内外学者的广泛关注，其理论和方法取得了很大的发展。1965 年，Zakai[36]首次描述了非平稳随机过程的采样定理，但是并没有对其进行彻底的数学描述[81]。直到1972 年，美国学者Gardner[82]才正式给出并证明了非平稳随机过程的采样定理。

定理22[82]若RX(t,s)为非平稳随机过程X(t)的自相关函数，且RX(t,s)的二维Fourier 变换SX(f,v)是频谱有限的：对于|f|≥Ω,|v|≥Ω,Ω/=0，有

则对于任意的t ∈(−∞,∞)，X(t)在均方意义下有如下表示

两年之后，Sharma 和Mehta[83]将非平稳随机过程的采样定理推广到了n维空间。首先，他们给出了非齐次随机场(n维非齐次随机过程)频谱有限的定义。

定义3[83]设n维非齐次随机过程X(t1,t2,···,tn)的自相关函数为RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)，如果它的n维Fourier 变换满足以下频谱有限的限制，对于|fk|≥Ωi且|vk|≥Ωi,k=1,2,···,n,i=1,2,···,n，有

则称非齐次随机场X(t1,t2,···,tn)在区间(−Ωi,Ωi)是频谱有限的。

由以上定义可将采样定理的一般形式推广至n维空间。

定理23[83]设RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)是n维非齐次随机场X(t1,t2,···,tn)的自相关函数，如果对于|fk|≥Ωi且|vk|≥Ωi,k=1,2,···,n,i=1,2,···,n，RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)的n维Fourier 变换SX(f1,f2,···,fn,v1,v2,···,vn)满足(8)式，那么对任意的ti ∈(−∞,∞),i=1,2,···,n，X(t1,t2,···,tn)在均方意义下有如下表示

上述结果也被推广到非齐次随机场的局部平均采样，得到了一些初步的结果。

定理24[84]设RX(t,s)为非齐次随机场X(t)的自相关函数。如果RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)的n维Fourier 变换SX(f1,f2,···,fn,s1,s2,···,sn)满足有限带宽的限制(8)式，∂2RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)/∂tj∂si ∈C(R2n)且

则对于Ω ≥2π且0＜γ ≤1，有

这一结果只是针对频谱有限空间中的非齐次随机场信号局部平均采样进行了讨论。如前所述，应用中的很多随机信号并非具有频谱有限和平移不变性，所以关于随机场局部平均采样理论的进一步研究还有很大空间。

6 时空随机场的局部平均采样

近几年，信号采样的有关研究不胜枚举，从频谱有限空间到平移不变空间，再到再生核空间，信号和采样的形式越来越多样化，应用范围也越来越广泛，也促使研究者们发现了更多的问题，急需在理论上有更多的突破。比如，关于随机场局部平均采样理论已经在海浪参数反演[85]和海洋污染监测[86]以及全息采样及三维显示[87]等应用方面取得了一些成果，这些成果的取得证明采样定理尤其是随机场局部平均采样有广泛的应用。但是，以上应用中实际上只是更多的从数学理论角度处理，用到了多指标随机场，并未考虑时间和空间的不同属性。严格地说，海浪和视频中的三维数据均为时空随机场，直接看做多指标随机场失去了它的物理意义。时空随机场的特殊属性已经得到了学术界的关注，国内外陆续有一些关于时空随机场的成果问世。2022 年，混合范被首次引入到齐次随机场，对齐次混合勒贝格空间中再生核齐次随机场的局部平均采样进行了初步探讨[88]。

当齐次随机场的自相关函数属于混合勒贝格空间中的再生核子空间，则称该齐次随机场为混合勒贝格空间中的再生核齐次随机场。

设算子T为定义在混合勒贝格空间Lp,q(Rd+1)上的幂等积分算子，即

其中算子T的核函数K是定义在(R×Rd)×(R×Rd)上的函数，并满足

连续模定义为

对于定义在Rn×Rn上的函数K0(x,y)而言，相应的W0-范数定义为

记V:={Tf:f ∈Lp,q(Rd+1)}={f ∈Lp,q(Rd+1) :Tf=f}为幂等积分算子T的值域空间。空间V是混合勒贝格空间中的再生核子空间，即对任意的(t,x)∈R×Rd，存在常数Ct,x ＞0，满足|f(t,x)|≤Ct,x‖f‖Lp,q。

若样本集合Γ={γj,k=(tj,xk):tj ∈R,xk ∈Rd,j,k ∈Z}满足

定理25[88]令1≤p,q ≤∞，核函数K(t,x;s,y)满足(9)式，相对分离样本集Γ={γj,k= (tj,xk) :tj ∈R,xk ∈Rd,j,k ∈Z}针对两类变量的间隔分别为δ1和δ2，U={uj,k(t,x)}j,k∈Z是与相对分离集合Γ有关的一致有界单位划分，δ1、δ2、a、M满足

若混合勒贝格空间中再生核齐次随机场X(t,x)的自相关函数RX满足

并且对任意的s ∈R,y ∈Rd,RX(s −·,y −·)∈V，则可知

上述结果可以利用随机场模拟实际应用中由于随机噪声干扰而具有随机特性的信号，从而使得相应的采样结果能够更符合实际情形。这一结果为在混合范数下时空随机场采样理论的研究打开了新的突破口。

7 未来研究展望

采样定理在信号处理领域有举足轻重的作用，但是在应用中弊端也日渐凸显，这也为学者们提供了新的研究方向。注意到时空随机场中时间变量和空间变量属性的区别，引入混合范进行时空随机场采样理论的研究成为新的研究焦点。结合目前基于混合范数下采样理论的研究，展望未来的研究还能在以下问题中打开新的局面：

1) 目前基于混合范数勒贝格空间中信号采样定理的研究主要针对的是确定性信号的随机采样，只是随机选取的采样点服从某个范围内的一般概率分布。有关随机信号的采样研究还比较少，尤其是考虑混合范数下时空随机场的采样逼近是一个新颖的研究课题；

2) 目前基于混合范数勒贝格空间中的采样研究中关于采样值的定义针对不同的信号有多种不同的形式。比如对称和非对称区间的加权局部平均采样、卷积平均采样等。这些只是从数学理论的角度讨论，有关实际应用中哪种平均采样形式更符合时空随机场还值得进一步探讨；

3) 目前基于混合范数勒贝格空间中采样的研究中对信号所属的空间从频谱有限空间扩展到平移不变空间和再生核空间，关于随机信号的讨论，也仅限于齐次时空随机场。现实中的信号不满足齐次性条件，多为非齐次的，很难得到理论上完美的结论。应用中也通常忽略信号的非齐次性而假设信号在观测时间内是平稳或齐次的，这一手段虽然为处理信号提供了便利，但是增大了信号重构的误差，有关非齐次随机信号采样的理论及其应用也成为亟待解决的问题。基于混合范考虑非齐次以及更宽泛条件的时空随机场局部平均采样研究有一定的挑战性；

4) 目前基于混合范数勒贝格空间的采样研究中考虑的范数都是Lp,q(R,Rd)中定义的范数形式。然而，关于混合范数时空随机场的采样研究一方面要从理论上得到漂亮的结论，另一方面也要切合应用背景，理论服务实践。目前尚未解决，也是今后研究要解决的核心问题是，由于应用背景不同，还没有一种统一的混合范形式来量化实际应用中需要描述的指标的测度。在时空随机场中引入能应用于不同物理场景不同时空尺度的统一混合范数，在理论分析和实际应用都表现出良好的精确度和普适性，并在此基础上建立相应的采样数学模型，不仅具有重要的理论价值，而且对于工程领域也有应用价值。