模糊环境下基于遗传差分协同进化的多阶段投资组合模型

胡晨阳, 高岳林, 孙 滢

(1.北方民族大学数学与信息科学学院，银川 750021;2.宁夏科学计算与智能信息处理协同创新中心，银川 750021;3.宁夏智能信息与大数据处理重点实验室，银川 750021)

0 引言

自经济快速发展以来，投资组合选择问题就成为金融学领域研究的一个热点。对于该问题的探索，最早可以追溯到经典的Markowitz[1–2]在证券投资组合选择中对于单一周期均值–方差(Mean and Variance, MV)投资组合模型的研究，这一创新性的研究为现代投资研究者在组合选择问题的研究发展上奠定了坚实的基础，该模型假设所有的证券收益都是变量并且拥有足够多的历史数据，但这两个假设一般情况下是很难准确地实现的，大多数情况下还需要专家的判断和投资者根据主观意愿进行选择，这样就会导致最终结果的不准确。一直到Zedeh[3]对于模糊集合论和可能性理论的引入，这才使得投资组合选择问题在处理模糊不确定性问题方面有了进一步的提升。自此，研究者们在研究投资组合选择问题时大多都倾向于使用模糊变量的方法。

可能性投资组合选择模型最初由Tanaka 等[4]提出，他指出模糊变量与指数的可能性分布存在一定相关关系，表明研究者可以从该方面进行系列研究。因此，吴琦和高岳林[5]利用模糊集与可能性相关理论构建了基于不同风险态度不确定性的投资组合模型，并设计了一种求解所建立模型的带有选择规则的PSO(Particle Swarm optimization)算法。Deng 和Li[6]提出一种将证券收益假设为梯形模糊变量的具有不等式借用约束的二次规划问题。

虽然方差是一种用于度量风险比较流行的指标，但是它有一个非常显著的局限性[1–2]，即基于方差的分析结果通常被认为高回报和低回报一样不受欢迎，因为高回报同样也会导致方差趋向于极端。为了克服这种局限性，直接使用下半方差代替方差对风险进行度量，也就是只测量与参考收益率水平的负偏差的度量。文献[2]首次引入的半方差是最著名的下行风险度量之一，它只考虑比期望收益高的上半方差和比期望收益低的下半方差。张鹏等[7]结合下半方差和基本指数对投资组合模型进行研究。于孝建等[8]针对最大回撤和下半方差构建模型，研究了风险资产的动态配置过程。江璐瑶和邓雪[9]基于方差度量风险的局限性，引入熵约束，构建基于收益权重的均值–熵模型，针对传统的遗传算法所存在的全局搜索能力弱、收敛精度低等问题进行了研究。曾勇泉和张鹏[10]利用熵度量投资组合分散化程度，通过实证得出熵值越大，投资组合最终财富越小的结论。

需要注意的是，前面对于投资组合模型的研究都是单周期的，但是现实生活中投资者对资产的投资选择过程一般情况下都是多阶段的，即他们会在一个投资周期结束之后重新分配财富以求终端财富最大化。考虑该现实因素，对投资组合选择问题的研究就非常有必要从单周期过渡到多周期以更加贴合实际投资行为。因此，Mossin[11]用动态规划法提出一种多期组合优化选择的策略，经验证该方法效果最好。Calafiore[12]提出线性控制策略的多期优化.Yu 等人[13]提出一种新的有最大绝对偏差的多期投资组合模型，通过动态规划法得到封闭的解析最优策略。Yan 和Li[14]提出一类多期半方差模型，针对该模型，设计了一种混合遗传和粒子群优化的算法。王晓琴和高岳林[15]引入交易费用和投资比例限制两个摩擦因素，基于不可卖空原则建立了一个MV 多期组合模型。

在证券市场中，没有投资者会冒着巨大风险仅购买一只股票，倘若该股票经营不善，投资者就会面临血本无归的可能。所以，资产数量限制问题是投资者在投资过程中需要考虑的一个重要因素。基于此，本文利用交易限制引入基数约束，同时考虑多种摩擦因素在模糊环境下建立了一个可能性均值–下半方差–熵多阶段投资组合优化模型，该模型精确考虑了最优投资组合中所含资产的数量，是一个极度复杂的多阶段混合整数二次规划模型。利用外罚函数法对不等式约束进行适当处理，并设计了一个遗传差分协同进化算法对所建模型求解并进行了相应的数值实验。

本文内容安排如下：第1 节给出相关概念；第2 节是对可能性均值–下半方差–熵多阶段投资组合优化模型的建立过程；第3 节介绍了所设计的遗传差分协同进化算法的相关概念以及算法具体步骤；第4 节是实证分析；第5 节是对本文的一个总结。

1 基础知识

上式中k为大于0 的一个实数。求解上述隶属度函数的导数可知，k越小，投资者越厌恶风险，越想逃避该风险；k越大，表明投资者越追求风险。

由定义2 和γ-水平截集的定义可知，～A的γ-水平截集[16]为

2 模型建立

考虑投资市场中有n个风险资产和1 个无风险资产，在模糊环境下构建多阶段投资组合优化模型。以便叙述，将本文所用到的符号含义表述如下：

考虑交易费用，第t期资产组合总的交易费用为

因此，第t期扣除掉交易费用之后投资组合的净收益为

那么，第t+1 期投资者所获得的财富可表示为

从而，整个投资期间投资者所获得的财富可表示为

第t期投资组合的收益～rpt的可能性下半方差可表示为

分散性的投资可以有效的降低风险，本文引用了Kapur[17]对多元化程度进行测度的方法，知道第t时期的多元化程度可以表示为

引入收益权重θt，式(15)可转化为

考虑基数约束，多阶段可能性均值–下半方差–熵投资组合选择的基数约束如下

基于以上讨论，利用式(6)～(17)建立可能性均值–下半方差–熵多阶段投资组合优化模型(V-S-M)如下

该模型以最大化终端财富为目标，其中第一个约束表示第t期投资组合的可能性下半方差不能超过给定的最小风险值νt；第二个约束表示第t期投资组合的多元化程度不得超过预先设定的值et；第三个约束表示第t期投资组合所需的资产数目不得超过预先设定的资产数目限制K；第四个约束表示zit是0-1 决策变量，是一个整数约束；第五个约束表示投资过程中资产i的投资比例不能超过预先给定的上下限；第六个约束要求第t期无风险资产的投资比例高于预先给定的下限xlft；第七个表示第t期所有资产的投资比例和为1。该模型在对风险进行全面度量的同时还充分考虑了精确的股票数量，是一个多阶段混合二次规划问题，可以帮助投资者在投资过程中及时规避风险。

由于上述模型(18)中含有不等式约束，该类问题往往较难求解。本文采用外罚函数法将不等式约束和等式约束放入目标函数中，则上述模型(18)可转化为如下优化问题

3 求解模型的算法设计

3.1 所需求解的问题

本文所建立的是一个在给定风险水平下以最大化终端财富为目标的多阶段投资组合优化模型，用外罚函数法对不等式约束进行处理，并利用智能算法对该模型进行求解。在算法求解的每一期都要对等式约束进行求解，最初投资者将初始财富选择性分配到几个风险资产中开始进行投资，将第一期期末所获的全部财富作为第二期投资的初始财富，在第二期投资者对所有资产的投资比例进行重新分配调整，一直重复进行该投资过程直到第T期获得最终财富。

3.2 遗传差分协同进化算法(GAHDE)

3.2.1 算法描述

1) 染色体编码与初始种群

随机初始化中间种群，一部分采用差分进化算法生成初始化中间种群X，另一部分采用遗传算法十进制实数编码方式。每一个染色体都是作为一个实数变量，来表示投资者对风险资产的投资策略。初始种群是由采用随机函数生成的一定数量的十进制实数组成的，对每个中间粒子分别进行如下归一化处理生成初始种群

2) 适应度函数

一般情况下，种群是利用个体的适应度进行随机搜索得到的，根据适应度值大小选择较好的个体。适应度函数被看作是区分个体优劣的一个指标，一般自然选择的唯一依据也是它，它是由目标函数转换形成的。本文该函数为

3) 变异操作

5) 选择操作

交叉后产生的个体和上一代种群产生的个体合并在一起之后，再进行选择操作，一半种群按GA(Genetic Algorithms)算法根据一定概率选择较优个体组成新种群，对新个体生成有影响的是适应度值的大小，其值越大，选中该个体的概率越大。用轮盘赌方法选择个体，可最大可能确保产生下一代的是优良个体，个体i被选中的概率为pi(x) = (Fi(x))/(∑Fi(x))，其中Fi是个体i的适应度值，∑Fi(x)是种群中所有个体适应值的和；另一半用DE(Differential Evolution)算法进行择优选取，即选择所有结果里面最优的值作为个体，确保产生更加合适的下一代个体。Differential Evolution

3.2.2 算法的具体步骤

步骤1 初始化，设置参数：种群规模sizepop，变异概率Pm，以及最大迭代次数Gmax，收缩因子F等。

步骤2 随机产生两部分初始中间种群，进行归一化操作，进化代数t=1。

步骤3 计算个体适应度，剖断其符合优化准则与否，如果符合，得到最优个体和最优解，结束；反之，转步骤4。

步骤4 根据公式(24)对两部分初始种群分别进行变异操作。

步骤5 根据公式(25)进行交叉操作，得到新个体。

步骤6 一半种群按照遗传算法用轮盘赌方式进行个体选择；另一半种群则用差分进化算法进行择优选取，其规则即选中适应度好的个体，淘汰适应度差的。

步骤7 进化代数t=t+1，返回步骤3，直到最终得到符合条件的最优个体为止。

4 实证分析

本节我们将通过模拟实验来验证本文所建模型V-S-M 和设计算法GAHDE 的有效性。假定投资者的资产收益率为梯形模糊数，将四只股票和一种无风险资产作为投资对象，整个投资过程分为三个阶段，其收益率可能性分布见文献[19]。

用上述所提的遗传差分协同进化算法对模型进行求解，参数设置如下：种群规模sizepop = 100，交叉概率Pc= 0.7，变异概率Pm= 0.01，最大进化次数Gmax=300，假设每个阶段的资产交易费用是相同的，都为cit= 0.003(i= 1,2,3,t= 1,2,3)。假设投资者初期所持有的财富W1= 1，投资比下限lit= 0.05，投资比上限µit= 0.2，无风险资产投资比下限xlft=−0.5，投资者所能承受的最小风险值为νt= 0.004，无风险资产借款利率rbt= 0.017，无风险资产贷款利率rlt= 0.009，资产数目K= 4，罚因子L=108，交叉概率CR=0.5。所有的实验都是在Matlab 2016a 中运行的。

按照以上参数计算得到的投资者在不同风险态度下的投资组合策略如表1 所示。

表1 不同风险态度下的投资组合策略

从表1 中可以看出，当风险态度k= 0 时，投资者在第二期对股票1、股票2、股票3、股票4 均降低投资比例，而在第三期对四只股票的投资比例均有所增加，表明投资者前期对四只股票均不太看好，尤其是股票2、股票4，后期对股票4 的投资比例相较于股票1、股票2、股票3 的投资比例也是更大的；当风险态度k= 0.5 时，投资者在第二期对股票1 增加投资，对股票2、股票3、股票4 减少投资，第三期对股票1、股票2、股票3、股票4 均减少投资，表明投资者前期看好股票1，后期对四只股票都不太看好，且后期对股票2 尤其不看好；当风险态度k= 1.0 时，投资者在第二期对四只股票的投资比例均减少，第三期对四只股票均增加投资比例，表明投资者前期对当前行情均不看好，所以减少了对所持股票的投资，后期又对四只股票都看好，增加投资比例，尤其是对股票3 增大了投资力度。同时，下半方差和收益值也是随着风险态度的变化在这三个时期不断变化的，且其变化规律符合实际市场实情，表明收益与风险是共存的。

图1 至图3 表示的是不同风险态度下最佳函数值和方差随迭代次数的变化趋势曲线，可以看出种群最优适应度值均以较快速度收敛并稳定，风险值在前期均不断增高，最后也均逐渐趋于稳定。较为明显的是当风险态度为k= 0 时，函数最优值在接近第160 次迭代时趋于平稳。而当风险态度为k= 0.5 时，最优值在第180 次迭代之后趋于平稳。当风险态度为k= 1.0 时，函数最优值在接近第240 次跌代时趋于平稳。通过以上分析可知风险态度大时收益值波动就较大，即追求风险的投资者需要承担更大的风险，且其收益值波动相较于规避风险者而言也是较大的。

图1 k =0 函数曲线图

图2 k =0.5 函数曲线图

图3 k =1.0 函数曲线图

从图4 可以看出随着风险态度适应值增加，风险也随之增加。同等收益值下持有不同风险态度的投资者面临的风险也是不同的，风险规避者相对于风险追求者面临的风险要小很多。风险态度适应度值小，投资者厌恶风险，投资就会较为谨慎；风险适应度值大，表明投资者追求风险，希望得到较高的收益，投资行为也会更加大胆。因此，不同风险态度的投资者进行投资最终都会组成不同的投资策略。

图4 不同风险态度下有效前沿对比

为验证本文所建模型优越性，我们与均值–下半方差模型(V-M)和均值–熵模型(SM)运用本文设计算法所得的数值结果进行对比，结果如表2 所示。

表2 不同风险态度不同模型数值结果对比

表2 表示的是在不同风险态度下，本文所建模型可能性均值–下半方差–熵模型(V-SM)与均值–下半方差模型(V-M)和均值–熵模型(S-M)进行模拟投资的数值结果比较。从表中可以看出，本文所建模型V-S-M 和V-M 及S-M 模型在每一个周期的收益值都明显高于前一个周期的收益值，即用该三种模型进行模拟实验的结果都符合证券市场实情。从数值实验结果可以看出，本文所建立的V-S-M 模型与V-M 和S-M 模型相比，除了风险态度为0.5 时的第一期和风险态度为1.0 时的第二期比其他两种模型收益低之外，其他均要高于用他两种模型进行模拟投资所获收益。风险态度为0 和0.5 时，本文所建模型V-S-M 在第一期投资中的风险小于V-M 模型，风险态度为1.0 时，V-S-M 模型在第二期投资中的风险均小于V-M 模型，其余在风险相同或相差不大的情况下，利用本文所建模型可以获得远超于V-M 模型的收益。在不同风险态度下V-S-M 模型的熵值均小于S-M 模型。综上所述表明，与V-M 和S-M 模型相比，本文所建模型V-S-M 能够保证在控制风险的同时获取更高收益。

为验证本文所设计算法GAHDE 的优越性，我们与标准的GA 算法和DE 算法对本文所建模型V-S-M 进行计算所得结果进行了比较，结果如表3 所示。

表3 不同风险态度下不同算法数值结果对比

表3 表示的是在不同风险态度下本文所设计的GAHDE 算法与标准的GA 和DE 算法所求解的各期收益及总收益结果比较。可以看出，本文所设计的GAHDE 算法和标准的GA 和DE 算法在每一个周期的收益值都明显高于前一个周期的收益值，即用三种算法对模型进行求解所得的收益值都是随着投资周期的不断迭代而不断增加的。从数值实验结果可以看出，本文所设计的GAHDE 算法比标准的GA 和DE 算法结果要好，尤其当风险态度为0 和0.5 时，设计的GAHDE 算法在每一期的收益值和总收益值都高于标准的GA 和DE 算法。当风险态度为1.0 时，设计的GAHDE 算法在第一期、第三期和总收益值也均高于其他两个算法的值，但第二期收益值相比与GA 算法少了0.080 5。同时，本文设计算法GAHDE 在模拟实验中的风险值在风险态度为0 时，各期风险值均小于GA 算法和DE 算法的风险。风险态度为0.5 时，第三期风险值相比于DE 算法小了0.000 4，相较于GA 算法也仅高了0.000 2。风险态度为1.0 时，第二期风险值相比于GA 算法小了0.001 0。熵值在三种不同风险态度均小于其他两种算法。综上所述表明，本文所设计的GAHDE 算法优于标准的GA 和DE 算法。

5 总结

在日益复杂的金融市场中，投资者要应对各种摩擦因素导致的不确定性风险。本文研究了模糊环境下的多阶段模糊投资组合问题，将投资过程分为多个阶段分别进行投资，考虑交易成本限制以及资产数目限制等约束构建模型。并采用设计的算法对所建模型进行求解，得到了不同的投资组合策略，实现了对资产组合的收益最大化和对风险的控制。同时，与其他模型及算法进行了对比，结果均优于其他模型及算法，表明所建模型可以帮助投资者获取更多的收益。此外，现实投资中还存在流动性约束、最大回撤约束及周期约束等现实约束均对投资行为存在影响，将这些因素以一种合理的方式融入模型是今后研究的方向之一。